Использование метода сеток для численного решения уравнения Лапласа

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Физико-математические науки


Узнать стоимость новой

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

УДК 517. 1
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ МЕТОДА СЕТОК ДЛЯ ЧИСЛЕННОГО РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ ЛАПЛАСА
1Жунусова Л.Х., 2Тойганбаева Н.А.
'-Казахский национальный педагогический университет им. Абая, Алматы, e-mail: khafizovna_66@mail. ru 2Казахский национальный университет им. аль-Фараби, Алматы
Сложные вычислительные задачи, возникающие при моделировании технических устроиств и процессов можно развить на ряд элементарных: вычисление интергалов, решение дифференциальных уравнениии, определение экстремумов функции и т. д. Для таких задач уже разработаны методы решения, созданы компьютерные программы их решения В данной работе рассмотрены методы решения задач эллиптического типа. Несмотря на то, что постановка задач является классической, благодаря бурному развитию информационно-коммуникационным технологиям решение такого рода задач нетеряют свою актуальность. Применяется метод сеток. И проанализирован численный результат.
Ключевые слова: математическое моделирование, вычислительная математика, аппроксимация, уравнение Лапласса, метод сеток.
USING NETS FOR NUMERICAL SOLUTION OF THE LAPLACE EQUATION
1Zhunussova L. Kh., 2Toiganbayeva N.A.
'-Kazakh National Pedagogical University named after Abai, Almaty, e-mail: khafizovna_66@mail. ru 2Kazakh National University named after AL-Farabi, Almaty
Complex computational problems arising in the modeling of technical devices and processes can be developed into a series of elementary: integral calculation, solution of differential equations defined extremum of the function, etc. For such problems, methods have been developed solutions, created a computer program to solve them. In this paper some methods for solving elliptic type. Despite the fact that setting goals is a classic, thanks to the rapid development of information and communication technologies solve such problems captive, its relevance. The method of nets. And analyze the numerical result.
Keywords: mathematical modeling, computational mathematics, approximation, equation Laplassa, grid method.
Введение
Современные компьютеры дали в руки исследователей эффективное средство для математического моделирования сложных задач науки и техники. Поэтому количественные методы исследования в настоящее время проникли практически во все сферы человеческой деятельности.
Реализация математических моделей на компьютере осуществляется с помощью методов вычислительной математики, которая непрерывно совершенствуется вместе с прогрессом в области информационно-коммуникационных технологии [1],[2]. Рассмотрим уравнение Лапласса
du du Au = -- + -- = 0. dx, dx-
(1)
& quot-a
Будем искать его решение, непрерывное в прямоугольнике и
G = GUГ = {х = (x1,x2):0 & lt- xa & lt- la, a= 1,2),
принимающее на границе Г заданные значения:
и |г=^(х). (2)
Задача, определяемая уравнением (1) и условием (2), называется задачей Дирихле (первой краевой задачей).
Постановка задачи. Для численного решения задачи (1), (2) введем в О сетку
= ®и и Уи = {х, =(ilhl, /2 Ь2, а = 0,1,…, Ыа, На= 1а /Ыа, а = 1,2}
и обозначим через
У = Ук, 2 = y ((1, Ч) = У (хг) сеточную функцию, заданную на — и
Н2 — шаги сетки по координатам х1 и х2.
Чтобы написать разностную схему для (1), (2), аппроксимируем каждую из производных д2 и / дх^ на трехточечном шаблоне, полагая
d2u u (x1 -hj, x2)-2u (, x2) + u ((+ h1, x2)
dx2
h2
= u
x1xj
= и
д2и и (х1, х2 — к2) — 2и (, х2) + и (х1, х2 + к2)
дх22 к22×2×2'-
знак ~ означает аппроксимацию. Пользуясь этими выражениями, заменим (1) разностным уравнением
У (- 1, /2) — 2У (1, ?2) + ((1 + 1, ?2) + У (, ?2 — 1) — 2У (, ?2) + У (1, ?2 + 1) = 0
к2 к
2
или, в сокращенной записи,
УХ! Х! ('-2)+ УХ2 Х2 ('-2)= 0. В безындексных обозначениях имеем
у- (х) + у- (х) = 0,
х^ ^ '- у х2×2 4 7
х = (ilкl, ^)е®к (о)
(4)
К этому уравнению надо присоединить краевые условия
У = Дх), х = (ilкl, ?2к2)еГк. (5)
Граница ук сетки состоит из всех узлов (0, ?2), (N1, ?2), (?1,0), (?1, N2), кро-
ме вершин прямоугольника (0, 0) (0, N),
(, 0), (, N2), которые не используются. Разностное уравнение (3) записано на пятиточечном шаблоне
(?1 — l, ?2), (+ l, ?2), (?2),
(?2 — l), (?2 + 1) Схему (4) часто называют схемой крест. Если к = к2 = к, т. е. сетки по х1 и х2 совпадают, то сетку 0) к называют квадратной. На такой сетке разностную схему (4) можно записать в виде
у (?2)= У (г1 — 1, ?2) + У (1 + 1 ?2) + У (1, ?2 — 1) + У (1, ?2 + 1)
Для однородного уравнения ((= 0) получаем
У (1, ?2) = ~ - 1 ?2) + У (1 + 1 ?2) + У (1, ?2 — 1) + У (1, ?2 + 1)
т. е. значение в центре шаблона определяется как среднее арифметическое значений в остальных узлах шаблона[3],[4],[5].
Пусть и = и (х) — решение задачи Дирихле (1), (2), а У = у (, ?2) — решение разностной задачи (4), (5). Рассмотрим погрешность
г (х) = у (х) — и (х), х = (?1к1, ?2к2) е а& gt-к.
Подставляя у = 2 + и в (4), (5), получаем для погрешности 2 = 2(х) неоднородное уравнение
Л = ^ + 2×2×2 = х), х е ® к (О) (6)
с однородным краевым условием
здесь
2 = 0 при х еук. (7)
щ (х) = Ли = и- + и- (8)
'- 4 у х1×1×2 х2
есть невязка или погрешность аппроксимации для схемы (4) на решении и = и (х) уравнения (1). Покажем, что
I I Л, к, 2 + к22
У& lt-М4 1 2
где
М 4 = тах
хеО
24
д 4и
(9)
дх
д 4и
дх4
В самом деле, учитывая формулы
Su h2 S2u д3u h д4u —
u (X1 ± hi, X2) = u (X1, X2) ± hi — (X1, X2) + - - (X1, X2) ± у (X1'- x2) + 24 X1'- X2^'-
xi = x1 +01h1, 0 & lt-в1 & lt- 1,
,, ч ^ ч 7 5u.. h22 д2 u..
u (X1, X2 ± h2) = u (X1, X2) ± h2 T- (X2) + ~ГТ (X1, X2) ±
h2 5 u
6 cX3
(X2) +
йх.
h24 д4 u. —.
2 (X1, X 2),
27 24 Эх4 1
2 ЭХ22
x 2 = х2 + в2 h2,
находим
0 & lt-^2 & lt- 1,
? =
d 2u д 2u
V
2 + 2
йх1 Эх2
— f (x)
h2 д4 u —
24 Эх-
(Xb X2) +
h2 д 4 u
Отсюда и из (1) следует (9).
2'- 24 Эх2 1
(Х1з X2).
Таким образом, схема (4) имеет второй порядок аппроксимации.
Рассмотрим на примере следующую задачу:
Найти непрерывную функцию и (х, у), удовлетворяющую внутри прямоугольной
области О = {(х, у)|0 & lt- х & lt- 1,0 & lt- у & lt- 1} уравнению Лапласа
д 2и д2и Аи =-- + -- = 0. дх1 дх2
и принимающую на границе области W заданные значения, т. е.
и (0, у) = -10у2 — 8у + 6, У е [0,1] и (а, у) = -10у2 — 30 у + 22, У е [0,1], и (х, 0) — 9×2 + 7х + 6, х е [0,1] и (х, Ь) = 9×2 — 15х -12, х е [0,1]
?
Для ее решение составлена программа вычисление алгоритма метода сеток. Полученный численный расчет проанализиро-ванны и поведение решение показано на рисунке.
Поведение решение
Заключение
Понятие аппроксимации, устойчивости и сходимости создали необходимую базу широкого поиска эффективных разностных схем для решения задач математической физики. Алгоритмы решения задач с помощью конечно-разностных методов, представляют собой сочетание методов построения разностных аналогов задач и методов их решения. Поэтому прогресс в теории конечно-разностных методов обязан взаимосогласованному развитию этих направлении исследовании.
Список литературы
1. Буслов В. А., Яковлев С. Л. Численные методы: в 2-х ч. — СПб., 2001.
2. George W. Collins, II. Fundamental Numerical Methods and Data Analysis. 2003.
3. Формалев В. Ф., Ревизников Д. Л. Численные методы. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. — 400 с.
4. Петров И. Б., Лобанов А. И. Лекции по вычислительной математике: учебное пособие — М.: Интернет-Университет Информационных Технологий- БИНОМ. Лаборатория знаний, 2006. — 523 с: ил.
5. Джон Г. Мэтьюз, Куртис Д. Финк. Численные методы. Использование MatLab. 3-издание / перевод с английского. М.: Вильямс, 2001. — 720 с.

Показать Свернуть
Заполнить форму текущей работой