Применение уравнения Штурма - Луивилля

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Физико-математические науки


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

Сборник научных трудов

¦----------------------------------------------------------------------------------¦

ЕСТЕСТВЕННЫЕ И ТОЧНЫЕ НАУКИ

ПРИМЕНЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ШТУРМА — ЛУИВИЛЛЯ

Курбанов М. Ш., Мустафаева П. М., Мамедова Д. М., Гусейнова Ш. Н. ,

Зейналлы С. М.

Гянджинский Государственный Университет.

DIRECT AND INVERSE PRIBLEM OF THE ONE CLASS POTENTIAL.

A.F. Mammadova, M. Sh. Qurbanov, B.A. Mustafayev, P.M. Mustafayeva, D.M. Mammadova, Sh.N. Guseynova

In the present work direct and inverse problem of the theory of scattering for the operator defined by some differential expression with zero boundary condition.

Рассмотрим дифференциальное уравнение Штурма — Луивилля

— y& quot-+p (x)y = ЛУ (1)

с вещественным коэффициентом (потенциалом p (x)). Как было отмечено выше, обратная задача теории рассеяния преследует цель восстановления потенциала по известному асимптотическому поведению на бесконечности нормированных собственных функций граничной задачи, порождаемой дифференциальным уравнением (1) и граничным условием у (0) = 0.

Исчерпывающее решение этой задачи в случае, когда потенциал удовлетворяет условию

J x|p (x)|dx & lt- ад (2)

0

получено В. А. Марченко. Эти результаты были затем обобщены на системы уравнений с коэффициентами, удовлетворяющим условию (2) в книге

Э. С. Аграновича, В. А. Марченко.

В данной работе рассматривается прямая и обратная задача теории рассеяния для оператора L в L2 (0,ад), определенного дифференциальным выражением l (у) = - у& quot- - xa — p (x)]у, 0 & lt- а & lt- 2, а Ф 1 с граничным условием у (0) = 0.

Мы предполагаем, что вещественная непрерывно — дифференцируемая функция P (x) удовлетворяет условию

ад

J (l + xa+j)• p (x)|dx & lt- ад, (j = 0,1,2) (1)

0 3

3

¦

Проблемы современной науки. Выпуск 16

¦

1. Равенство Парсеваля для P (x) = 0.

В случае P (x) = 0 доказывается, что функция

?а (Х *) = c1 (Х a) Zc (a)(a, х) (2)

где c1 (x, a) = ce

2i a+1 0

-x2 +ln x 4

a + 2

c — const

c (a) = -,/0(02) является решением уравнения

y& quot- + xa y + X = 0 (3)

Обозначим через фа (x, X) решение уравнения (3), удовлетворяющее условиям Фа (0,X) = о, К (0,X) = 1 (4)

Используя формулу (2), мы доказываем, что

+ад

j Ф 0 (x, X) ф 0 (t, X) K0 (X)dX = S (x -1) (5)

-ад

где

2

K 0 (X)= X (+ 2) (6)

n • X (a + 2)

2. Оператор преобразования с условием на бесконечности.

Здесь мы найдем условие существования оператора преобразования типа, введенные Б. Я. Левиным.

Теорема. Пусть выполняется условие (1). Тогда при любом X, (JmX & gt- 0) уравнение l (y) = X2 у имеет решение у (x, X) с условием

limy (x, X) у- (x, X) = 1 (7)

x^ад

и существует ядро H (x, t) такое, что

У (x, X) = У a (x, X) + j H (x, t К (t, X) dt, (8)

где H (x, t) удовлетворяет уравнению H'-& quot-x — H& quot-"-+ (xa — ta H = H (x, t) p (x) (9)

4

Сборник научных трудов

¦--------------------------------------------------------------------------------------¦

¦у ад

H (x, x) = - I P (a)da (10)

2 x

H (x, t) = 0, x & gt- t, lim H (x, t)= lim 6H (x, t) = о (11)

x+t ^+ад x+t ^+ад dt

H (x, t) & lt- C1 (X, a) aI x +t je ^ 2) (12)

dH (x!, x2)+ 1 J x + x2

6x, 4

4

& lt- Cfy, a 1f+b.)jc

+

a

(x)

(x1 + x2) a

(13)

aa+j = I u + f

ад

/(l + ta+j)P (t)d, (j = 0,1,2) (14)

x+t

Для доказательства этой теоремы мы решаем задачу (9) — (11), используя функцию Римана уравнения (9), при P (x) = 0, которая найдена в работе.

3. Разложения по собственным функциям оператора L.

Обозначим через ф (x, X) решение уравнения l (y) = X2 у, удовлетворяющее условиям (4).

Мы доказываем справедливость существования разложения:

/ф (x, x ф (t, x) —)(X)dx =3 (x _ t) (15)

где

— 1(х)

У (x, X)

У a (x, X)

(16)

Таким образом, функция

U (X)

ф (x, X)

п 1(X)

является нормированной собственной функцией непрерывного спектра оператора L.

— (X)

Введя обозначение S (X) = -А^г, мы замечаем, что для вещественных

-1(X)

U (x, X) = U 0 (x, X) + / H (x, t) U0(t, X) dt (17) 5

5

¦

Проблемы современной науки. Выпуск 16

¦

где

U0 (x, X) = Уа (x, X Уа (°Д)S (X)-Уа (ОД)ра (ОЛ) (18)

Из этой формулы следует, что при хда асимптотическое поведение U (x, X) определяется функцией S (X). Эту функцию мы назовем S — функцией рассеяния оператора L.

Лемма 1. Функция рассеяния S (X), определенная на всей вещественной оси, унитарна:

а) S (X) = S -1 (X)

б) У, а (0,X Ґ [S (X) — і]є L2 [- ,+да-К0 (X)]

Лемма 2. Интегральное уравнение

+да

j V (X U 0 (x, X) k 0 (X)dX

-да

= 0

имеет тривиальное решение

V (X) є L2 [- да,+да- K0 (X)].

4. Основное уравнение ядра H (x, t).

Умножим обе части равенства (17) на U0 (t, X) к0 (X) и проинтегрируем по параметру X є(- да ,+да).

Используя равенство Парсеваля (15) после элементарных преобразований мы получим основное интегральное уравнение типа В. А. Марченко:

F (x, t) + H (x, t) + j H (хЛ F (Lt № = 0 (19)

x

где

F (x, t)= j

Уа (x, X) Pa (t, X M1 — S (X)] Уа (0,X), Уа (x, X) Pa (t, X M1 — S (X)] Уа (0,X)

Уа (0,X)

W (X)



Уа (0,X)

W0 (X)

dX (20)

функцию F (x, t) будем называть функцией перехода. Она играет важную роль при решении обратной задачи.

Лемма 3. Функция перехода F (x, t) є L

f 0,

да

v0, дау

и непрерывные частные

2

6

¦

Сборник научных трудов

¦

производные F'-x (x, t), Ft'-(x, t) удовлетворяют неравенству

|F, 1 + |F/|& lt- Св f ^ I, C = const

где в (x) — убывающая интегрируемая функция на (0, да).

Лемма 4. При фиксированном x = x0, основное интегральное уравнение (19) является уравнением типа Фредгольма и имеет лишь тривиальное решение в L2 (0, да).

5. Основная теорема. Предположим, что функция S (X), определенная на вещественной оси, удовлетворяет следующим условиям:

10. а) S (X)= S -1 (X)

б) функция

V a (0,X Л [S (X) — і] Є L2 [- даK0 (X)].

20. Функция F (x, t), определенная с помощью формулы (20), принадлежит

L

ґ 0, да^ v 0, дау

и имеет непрерывные частные производные

K (x, t), F'-(x, t),

удовлетворяющее условию

|f-|+|f/|& lt- св f j,

где в (x) — убывающая интегрируемая функция на (0, да).

30. Однородное уравнение

да

Ф (t)+ J F (x? р (%)d? = 0

x0

имеет лишь тривиальное решение из L2 (x0 ,+да).

+да

40. Интегральное уравнение J V (X U (x, X) к0 (X)dX = 0 имеет лишь тривиальное

-да

решение 7

7

¦

Проблемы современной науки. Выпуск 16

¦

V (X)є L2 [- да,+& lt-х- K0 (Х)].

Условия 10 — 40 также достаточны для того, чтобы функция S (X) была бы функцией рассеяния оператора типа L с потенциалом

P (x) є L1 (0,+да).

Список литературы:

1. В. А. Марченко. Спектральная теория операторов Штурма — Луивилля. Киев,

1972.

2. В. А. Марченко. Разложение по собственным функциям несамосопряженных сингулярных дифференциальных операторов второго порядка. Мат. Сб. 52(94), 1960, № 2.

3. В. А. Марченко. Некоторые вопросы теории линейных дифференциальных операторов второго порядка. Труды Моск. Мат. о-ва 1.

4. М. Г. Крейн. УМН, т. XIII, 5(83), 1958.

ПРЯМАЯ И ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА ТЕОРИИ РАССЕЯНИЯ ДЛЯ НЕКОТОРОГО КЛАССА ПОТЕНЦИАЛОВ.

Мамедова А. Ф., Курбанов М. Ш., Мустафаев Б. А., Мустафаева П. М., Мамедова Д. М., Гусейнова Ш. Н.

Гянджинский Государственный Университет.

Отметим, что под обратными задачами спектрального анализа понимают задачи восстановления линейного оператора по тем или иным его спектральным характеристикам. Такими характеристиками могут быть спектры (при различных граничных условиях), спектральная функция, данные рассеяния и др. Первым из математиков, кто обратил внимание в этом направлении, был шведский математик Борг [1].

Дальнейшие существенные успехи в теории обратных задач были достигнуты советскими математиками Л. А. Чудовым [2], В. А. Марченко [3], [4], [5], М. Г. Крейном [б], Ю. М. Березанским [7], И. М. Гельфандом [8], Б. М. Левитаном [9], Л. Д. Фадеевым [10], М. Г. Гасымовым [11] и др.

Рассмотрим дифференциальное уравнение Штурма — Луивилля

— У'-+p (x)y = ху (1)

с вещественным коэффициентом (потенциалом p (x)). Как было отмечено выше, обратная задача теории рассеяния преследует цель восстановления потенциала по известному асимптотическому поведению на бесконечности нормированных собственных функций граничной задачи, порождаемой дифференциальным уравнением (1) и граничным условием y (0) = 0.

Исчерпывающее решение этой задачи в случае, когда потенциал удовлетворяет условию 8

8

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой