Физическая модель движения спутника Юпитера Пасифе

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Астрономия и космонавтика


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

ВЕСТНИК УДМУРТСКОГО УНИВЕРСИТЕТА
ФИЗИКА 2005. № 4
УДК 521. 11
Н. В. Островский
ФИЗИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ДВИЖЕНИЯ СПУТНИКА ЮПИТЕРА ПАСИФЕ
Уравнение всемирного тяготения Ньютона строго соответствует лишь гравитационному взаимодействию двух тел. Используя его нельзя например, объяснить движение Луны вокруг Земли, поскольку Луна находится в сфере тяготения Солнца, а также движения внешних спутников Юпитера. В данной работе использовано оригинальное уравнение для описания гравитационного взаимодействия в системе из многих тел, использование которого устраняет имеющееся противоречие. На его основе построена физическая модель орбитального движения Пасифе вокруг Юпитера.
Ключевые слова: небесная механика, Юпитер, Пасифе, обобщенное уравнение гравитационного взаимодействия.
1. Описание базовой модели
Для создания модели движения спутников Юпитера была использована модель орбитального движения небесных тел, описанная в [1]. В данной модели движение небесного тела по эллиптической орбите разделено на движение по эллипсу (линейное) и движение вдоль радиус-вектора (радиальное). Скорость радиального движения вычисляется c использованием величины радиального ускорения, равного векторной сумме ускорения силы тяжести (ас) и центробежного ускорения (ас):
ая = ас + ас. (1. 1)
Центробежное ускорение вычисляется по уравнению
ас = v2/r, (1. 2)
где v — линейная скорость тела, r — радиус кривизны траектории. 2. С. 844]
Обе силы — притяжения и центробежная — являются центральными по определению. Поэтому их моменты относительно центра притяжения равны нулю, а величина момента количества движения тела является величиной постоянной [2. С. 438], то есть
vr = const, (1. 3)
Радиальное ускорение определяет скорость движения тела по оси радиус-вектора и изменение его величины (индекс & quot-0"- относится к произвольному моменту времени, принятому за начальный):
VR (t)= VR, 0 + aя (t)At (1. 4)
т (г) = Г0 +
(1. 5)
Исходя из вычисленного значения длины радиус-вектора, могут быть получены соответствующие ему значения линейной скорости:
и ускорений.
Несмотря на свою простоту (а может быть, по причине своей простоты), подобная модель не описана в доступных изданиях [3−15]. Конечно, она не обеспечивает точности, необходимой для астрономических наблюдений (см., напр. [16]), но наглядно демонстрирует, как влияют на движение тела те или иные параметры, и позволяет оценить, к чему может привести их изменение.
2. Результаты использования базовой модели для Земли
Данная модель была использована для расчета орбитальных параметров Земли [1]. Вычисленный, исходя из табличных значений массы Солнца (Ms = 1,9891 ¦ 1030 кг [17. С. 31]), большой полуоси орбиты (а = 1, 495 979 • 1011 м [17. С. 30]), эксцентриситета (е =0,16 722 [17. С. 204]) и периода обращения (Те =365,256 суток [17. С. 35]) с использованием интервала времени Дt = 1 час, угол поворота Земли за период обращения оказался равным 359,995 о, а значение радиус-вектора в перигелии отличалось от исходного на 1, 4 ¦ 10−5. Расчет параметров перигелия для периода в 100 лет дал сдвиг положения перигелия в направлении движения Земли на 4,4 о по сравнению с астрометрическим значением 1,5 о [17. С. 36]. При этом радиус орбиты в перигелии уменьшается до 1, 468 ¦ 1011 м (сходимость 2 • 10−3), а линейная скорость движения Земли по орбите возрастает до 30 346 м/с.
Применительно к Луне результаты расчетов для системы из двух тел (Земля, Луна) оказались неудовлетворительными [1]. В качестве исходных параметров были использованы следующие значения: полуось орбиты —
3, 844 • 108 м [17. С. 212], масса Земли — 5, 9764 ¦ 1024 кг [17. С. 31], масса Луны, равная 1/81,3 массы Земли [7. С. 62] - 7. 35 • 1022 кг, сидерический период обращения Луны 27,32 166 [17. С. 35], эксцентриситет орбиты 0,055. Интервал времени Дt = 1 минуте. За время, равное сидерическому периоду обращения, Луна совершает поворот лишь на 351,85 °.
Можно полагать, что причиной данного расхождения является игнорирование влияния Солнца. Но построить модель, учитывающую влияние Солнца, на основании закона Ньютона [8. С. 54]:
где — сила притяжения, М и т — массы взаимодействующих тел, г — расстояние между телами, О — гравитационная постоянная, не представляется возможным, так как сила притяжения Луны к Солнцу оказы-
¦и (?) = УоТо/г (г)
(1. 6)
= О • М • т/г2,
(2. 1)
вается в два раза больше, чем сила притяжения Луны к Земле. Факт обращения Луны вокруг Земли не имеет объяснения в рамках классической физики [18−19].
3. Обобщенное уравнение гравитационного взаимодействия
В работе [20] было предложено для описания силы гравитационного взаимодействия между телами 1 и 2 в гравитационном поле п тел использовать следующее уравнение (обобщенное уравнение гравитационного взаимодействия):
п
12 = СШ1Т122 Шг/Т%, (3. 1)
г=2
где? П=2 т / г 3 г является векторной величиной.
В случае системы из двух тел уравнение (3. 1) сводится к уравнению Ньютона (2. 1). Для системы из трех тел мы получаем уравнение
?Ъ = СШ1Т12[М2/Т?2 + (Мз/т?а) сов (а)], (3. 2)
где, а — угол между радиус-вектором тела 1 относительно тела 2 и радиус-вектором тела 1 относительно тела 3.
Для описания гравитационного взаимодействия в системе из трех тел необходимо определиться с направлением вектора силы тяготения. Речь идет о том, что для тела 1 мы можем вычислить как силу12, так и силу
. Вопрос в том, куда будет направлен результирующий вектор. Ответ состоит в том, что направление силы тяготения определяется соотношением величин М / [20]. Вектор силы тяготения направлен в сторону тела, для которого последняя величина больше. Таким образом, уравнение (3. 2) можно использовать в том случае, если
(М1/ТЗ2) & gt- (Мз/т3з). (3. 3)
В противном случае тело 1 будет притягиваться к телу 3 и необходимо вычислять силу13 по аналогичному уравнению.
Использование соотношения (3. 3) свидетельствует о том, что в системе Солнце-Земля-Луна сила тяготения должна быть направлена в сторону Земли. В случае Юпитера граница между сферой тяготения Солнца и сферой тяготения Юпитера, вычисленными по уравнению Ньютона, проходит на расстоянии 2, 33 • 1010 м от Юпитера, так что большинство спутников Юпитера оказывается внутри классической сферы тяготения. Однако внешние спутники Юпитера — Ананке (средний радиус орбиты 2,12 • 1010 м), Карме (2, 26 • 1010), Пасифе (2, 35 • 1010) и Синопе (2, 37 • 1010) — находятся на границе этих сфер, а в апогее даже Ананке (т = 2, 52 • 1010 м) выходит за границу сферы тяготения Юпитера, определяемую уравнением Ньютона.
Используемые в данной работе уравнения (3. 1) и (3. 2) и соотношение (3. 3) являются новыми и не использовались ранее для описания гравитационного взаимодействия в системах из трех и более тел [15- 19- 21].
В работе [20] была показана на качественном уровне применимость уравнения (3. 2) для описания движения Луны в системе Солнце-Земля-Луна. В данной работе мы проанализируем результаты расчетов орбиты Пасифе для изолированной системы Юпитер-Пасифе, а также для системы трех тел Солнце-Юпитер-Пасифе с использованием уравнения Ньютона (2. 1) и уравнения (3. 2). Но в начале рассмотрим результаты расчетов орбиты Юпитера.
4. Использование базовой модели для Юпитера
Для расчета орбиты Юпитера было использовано несколько наборов начальных параметров. Два из них взяты из различных литературных источников [22- 23], а третий вычислен исходя из данных, полученных с использованием программы расчета эфемерид Planeph 4.2 [24]. Собственные расчеты были сравнены с данными, полученными при использовании статистических моделей. Это уже упомянутая программа Planeph и программа Института небесной механики (The Natural Satellites Data Center (NSDC), Париж) [25]. Сопоставление различных данных приведено в таблице.
Во-первых, нужно отметить различие в ориентации орбиты Юпитера в программах Planeph и NSDC (на 8,19 °). Во-вторых, при том, что программа NSDC дает долготы с точностью до 0,0001 с, угловая скорость движения Юпитера, вычисленная по суточным данным, имеет порядок 130 с/сут, тогда как реальная средняя угловая скорость движения Юпитера 299 с/сут. Что касается угла поворота, то относительное расхождение между результатами, которые дают Planeph и NSDC, составляет 0,0012. Для длин радиуса орбиты относительное расхождение — 1, 5 ¦ 10−5. Угловую скорость, как было отмечено выше, сравнить оказалось невозможно.
Использованные в собственных расчетах исходные параметры имеют значительную вариацию: по периоду обращения — 0,0012, по угловой скорости — 0,0022, по эксцентриситету — 0,0042, по начальному радиусу лишь 9 ¦ 10−4. Сходимость между собой результатов расчетов имеет тот же порядок — на уровне 0,003. Таким образом, можно говорить о том, что точность результатов расчетов используемой модели является вполне приемлемой.
5. Расчеты параметров орбиты Пасифе
Параметры орбиты Пасифе описаны в литературе недостаточно полно. Известен период обращения — 735 суток, средний радиус — 2, 35 ¦ 1010 м (полуось 2, 54 • 1010 м), эксцентриситет — 0,38 и угол наклона орбиты к экватору планеты — 147 ° [23]. Для точных расчетов требуется дополнительно знать ориентацию линии узлов орбиты и положение перигея. Ввиду отсутствия этих данных мы проанализируем, как влияют их начальные значения на движение спутника.
Но начнем расчеты, как было сказано выше, с изолированной системы Юпитер-Пасифе. В перигее Пасифе будет обладать следующими значениями параметров: радиус, м = 1, 5748 ¦ 1010, линейная скорость, м/с =
3749, ускорение силы тяжести, м/с 2 = 5,11 • 10 4, центробежное ускорение, м/с 2 = 8. 93 ¦ 10−4, радиальное ускорение, м/с 2 = -3. 82 • 10−4.
Имея такое большое значение радиального ускорения, тело начинает быстро удаляться от Юпитера, теряя линейную скорость, и за время периода обращения поворачивается лишь на 155 °.
Параметры его орбиты при этом оказываются равны: радиус, м = 8, 56 • 1010, линейная скорость, м/с = 689, 5, линейное ускорение, м/с 2 = -5. 36 • 10−6, ускорение силы тяжести, м/с 2 = 1, 73 ¦ 10−5, центробежное ускорение, м/с 2 = 5, 55 ¦ 10−6, радиальное ускорение, м/с 2 = 1,17 • 10−5, радиальная скорость, м/с = -665.
Тело достигнет апогея лишь через 1580 суток имея радиус 1, 083−1011 м и линейную скорость 545 м/с. Следующий перигей наступит через 3156 суток с радиусом 1, 574 ¦ 1010 м и линейной скоростью 3750 м/с, что прекрасно сходится с начальными параметрами. Но с каждым оборотом период обращения будет нарастать. Таким образом, известные орбитальные параметры Пасифе не отвечают изолированной системе Юпитер-Пасифе. Расчеты показывают, что в этом случае орбита с периодом обращения 735 суток средним радиусом 2, 35 • 1010 м должна быть близка к круговой.
Оценку влияния Солнца начнем с применения закона Ньютона. Вначале уточним положение спутника относительно Юпитера. Будем считать, что Юпитер находится в перигее, спутник также находится в перигее, а долгота его перигея равна нулю относительно радиус-вектора Юпитера (& quot-новолуние"-). Угол наклона орбиты и её эксцентриситет примем равными нулю. При этом напряженность гравитационного поля Юпитера будет равна 2, 299 • 10−4 м/с 2, а напряженность гравитационного поля Солнца 2, 579−10−4 м/с 2. Поэтому вектор радиального ускорения будет направлен в сторону Солнца. За 735 суток тело совершит оборот на 253 °. При этом его радиус увеличится до 3,1 ¦ 1011 м, а линейная скорость уменьшится до 177 м/с. Если мы изменим начальное положение спутника, переместив его на 180 °, чтобы напряженности гравитационного поля Юпитера и Солнца складывались, то получим аналогичный результат: угол поворота 244 ° и радиус 4, 8 ¦ 1011 м. Таким образом, мы в очередной раз показали неприменимость закона Ньютона для системы из трех тел.
Перейдем теперь к апробации уравнения (3. 2). Влияние силы тяготения Солнца приводит к искажению орбиты. Если мы & quot-запустим"- тело вокруг Юпитера по круговой орбите в плоскости эклиптики, то через интервал времени, равный периоду кругового обращения, орбита окажется эллиптической, причем эллипс будет искаженным. Причиной является то, что в каждый момент времени влияние Солнца определяется не только расстоянием между ним и телом, но и углом между радиус-векторами. Таким образом, степень искажения орбиты будет зависеть от начального положения тела относительно радиус-вектора Юпитера. На рис. 1 отображены значения эксцентриситета, который приобретает первоначально круговая орбита за один оборот (длина радиус-вектора тела — 2, 354 ¦ 1010 м, период обращения 735 суток). Как мы видим, влияние оказывается вполне
Таблица 1.
Сопоставление результатов расчета по различным моделям для орбиты Юпитера
Наименование па- Авторская модель Р1аперЬ N800
раметра 4. 2
Начальные параметры
Начальная дата — - - а а
Начальная долго- 0 0 0 12,40 953 4,21 194
та, град.
Большая полуось, м-1011 7,7834 6 7,7783 в 7,7830 г 7,7830 д Н/д
Т, сут. 4332,586 4332,71 В г 4337,92д Н/д
е 0,0481 6 0,0483 в 0,4 823 г 0,4 823д Н/д
Радиус, м -1011 7,40 902 7,40 264 7,40 763 7,40 760 7,40 770
Угловая скорость, 329,74 330,13 329,42 330,13 128,2
с/сут
Уя, м/с 0 0 0 & lt-0,01 +0,49
Конечные параметры
Дата — - - е е
Интервал, сут. 4332. 583 4332,708 4337,916 4337,917 4337,917
Угол поворота, 359,185 360,673 360,40 360,6031 360,1692
град. (13,0164) (4,3916)
Радиус, м-1011 7,40 900 7,40 261 7,40 770 7,40 900 7,40 911
Угловая скорость, 329,74 329,84 329,42 329,84 —
с/сут
Уя, м/с -7,33 +1,83 +16,3 -0,23 +0,24
Конечные параметры
Дата — - - ж ж
Интервал, сут. 69 406,66 69 406,66 69 406,66 69 406,67 69 406,67
Угол поворота, 5754,71 5781,94 5782,38 5769,986 5762,816
град. (22,3952) (7,0381)
Радиус, м-1011 7,40 888 7,43 265 7,43 545 7,41 118 7,41 129
Угловая скорость, 329,75 329,80 326,96 329,83 —
с/сут
Уя, м/с -34,5 +257 +247 +74,0 +74,5
Примечания: а 01. 06. 1904 21: 00- б По данным [22]- в по данным [23]-
г взяты равными для Planeph 4. 2- д вычислено автором с использованием данных для следующего апогея (10. 05. 1910 20: 00:00, долгота 192 ° 43'- 13. 84"-, радиус 8,15 840 -1011 м, угловая скорость 272,0 сек. /сут., радиальная скорость & lt-0. 01 м/с) — е 17. 04. 1916 19: 00- ж 11. 06. 2094 13: 00
существенным, так что орбита Пасифе, так же, как орбита Луны и орбита любого тела в аналогичных условиях, должна быть оскулирующей. С позиций общей оценки устойчивости орбиты важно начальное значение полной механической энергии, которое при прочих равных условиях зависит и от эксцентриситета орбиты. В этом плане диапазон, в котором будет изменяться эксцентриситет, зависит от его начальной величины.
0,085 0,080 0,075
а& gt-
? 0,070
| 0,065
Q.
i 0,060
3& quot- 0,055
& lt-*>- 0,050 0,045 0,040
0 45 90 135 180 225 270 315 360 Начальная долгота Пасифе
Рис. 1. Влияние начального положения тела относительно радиус-вектора Юпитера на эксцентриситет плоской орбиты
Характер взаимодействия спутника с Солнцем должен существенным образом зависеть от угла наклона орбиты спутника относительно плоскости орбиты Юпитера. На рис. 2 представлена зависимость эксцентриситета от угла наклона (начальные параметры орбиты те же, что и в предыдущем случае, начальный угол спутника равен нулю). Функция имеет период 180 0. Это связано с тем, что если угол наклона менее 90 0, то, двигаясь из & quot-новолуния"- спутник удаляется от Солнца (у Пасифе обратное движение), а если угол наклона больше 90 0 — приближается. Таким образом, характер движения оказывается различным. Удивительным является то, что для угла 90 0 эксцентриситет оказывается отличным от нуля, хотя можно было бы ожидать обратного.
В уравнении (3. 2) мы учли нормальную составляющую солнечного притяжения (g sn = (Gr jpMs / r|p)cos a). А тангенциальная составляющая (g ST =(Gr JPmPMs / r|P)sin a) оказалась & quot-забыта"-. Тангенциальная составляющая должна действовать непосредственно на вектор линейной скорости, вызывая его смещение и, тем самым, смещение плоскости орбиты спутника. Таким образом, движение спутника происходит не в одной плоскости, а во множестве плоскостей, имеющих один и тот же угол наклона, но различную ориентацию в пространстве. Иными словами, влияние тангенциальной составляющей солнечного притяжения ведет к вращению линии узлов. Сдвиг линии узлов можно приближенно описать уравнением
Д7 = gsT • Ai2/v • Ai. (5. 1)
Обратимся теперь к наклонной орбите и проведем тот же вычислительный эксперимент, прняв угол наклона орбиты равным 140 0. Результаты
Рис. 2. Влияние наклона плоскости наклона орбиты спутника к плоскости орбиты Юпитера на ее эксцентриситет
расчетов представлены на рис. 3 и 4. Период обращения достаточно быстро возрастает от начального значения 735 до 787 суток, затем изменяется в относительно узких пределах от 770 до 802 суток при среднем значении 776 суток Приблизительно то же среднее значение имеет период между нисходящими узлами орбиты. Разброс величин значительно выше — от 573 до 996 суток Еще более значительные колебания в период между перигеями орбиты — от 494 до 1139 суток со средним значением 813 суток.
1200
0 2 4 6 8 10 12 14 16 1820 22 24 26 28 30 32 34 36 38 Длительность обращения в периодах
Рис. 3. Зависимость периода обращения, периода между перигеями и периода между нисходящими узлами от времени
Среднее значение радиуса за один оборот оказалось равным 2,44 • 1010 м. Он колеблется в пределах от 2,33 до 2, 52 • 1010 м, тогда как эксцентриситет изменяется в пределах от 0,005 до 0,22 при среднем значении 0,13. Полученные параметры орбиты спутника Юпитера значительно отличаются от параметров Пасифе, описанных в литературе. Но стоит напомнить, что за основу для расчетов мы взяли круговую орбиту со средним радиусом 2, 35 • 1010 м и периодом обращения 735 суток, а получили оскулирующую эллиптическую орбиту с приведенными выше средними параметрами. Нетрудно убедиться, что если бы мы в качестве начальных взяли средние табличные параметры Пасифе, мы бы получили иную орбиту, также не отвечающую реальности. Для того чтобы построить мо-
Рис. 4. Зависимость среднего значения радиуса (Д) и эксцентриситета орбиты (?) за один оборот от времени обращения
дель, адекватную астрометрическим данным, нужно точно знать в заданный момент времени ее основные параметры: расстояние от Пасифе до Юпитера и до Солнца, ее линейную и радиальную скорости и положение радиус-векторов в пространстве. А для того чтобы выйти на усредненные параметры, нужно & quot-угадать"- значение полной механической энергии для выбранного положения спутника. Но эту задачу мы рассматривать не будем ввиду ограниченности размеров статьи. Выводы
Использование обобщенного уравнения гравитационного взаимодействия (3. 2) позволяет:
-объяснить характер взаимодействия в системе трех тел Солнце-Юпитер-Пасифе-
-построить динамическую модель, включающую обращение Юпитера вокруг Солнца и Пасифе вокруг Юпитера-
-объяснить оскулирование орбиты внешних спутников Юпитра- -объяснить смещение перигея и вращение линии узлов спутников за счет влияния Солнца-
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Островский Н. В. Модель орбитального движения небесных тел//Естественные и технические науки. 2003. № 2 С. 22−25.
2. Физический энциклопедический словарь. М.: Сов. энцикл., 1983. 928 с.
3. Куликов К. А., Сидоренков Н. С. Планета Земля. М.: Наука, 1972.С. 5−18.
4. Белецкий В. В. Очерки о движении космических тел. М.: Наука, 1977. 432 с.
5. Жирнов Н. И. Классическая механика. М.: Просвещение, 1980. 303 с.
6. Драчев М. М., Демин В. Г., Климишин И. А., Чурагин В. М. Астрономия. М.: Просвещение, 1983, 384 с.
7. Бялко А. В. Наша планета — Земля. М.: Наука, 1983. 208 с.
8. Климишин И. А. Астрономия наших дней. М.: Наука, 1986. 560 с.
9. Астрономия и небесная механика: Под ред. А. А. Ефимова. М-Л.: Изд-во АН СССР, 594 с.
10. Аксенов Е. П. Теория движения искусственных спутников Земли. М.: Наука, 1977. 360 с.
11. Белецкий В. В. Движение искусственного спутника относительно центра масс. М.: Наука, 1975. 308 с.
12. Брюно А. Д. Ограниченная задача трёх тел. Плоские периодические орбиты. М.: Наука, 1990. 295 с.
13. Дубошин Г. Н. Небесная механика. Методы теории движения искусственных небесных тел: Учеб. пособие для студентов университетов. М.: Наука, 1983. 352 с.
14. Аким Э. Л., Бажинов И. К., Павлов И. П., Почукаев В. П. Поле тяготения Луны и движение искусственных спутников/ Под ред. В. С. Авдуевского. М.: Машиностроение, 1984. 288 с.
15. Себехей В. Теория орбит ограниченной задачи трех тел/ Пер. с англ.- Под ред. Г. Н. Дубошина. М.: Наука, 1982. 655 с.
16. Chapront J. Representation of planetary ephemerides by frequency analysis. Application to the five ounter planets// Astronomy and Astrophysics Supplement Series. 1995, January, Vol. 109. P. 181−192.
17. Аллен К. У. Астро-физические величины/ Пер. с англ.- Под ред. Д. Я. Мартынова. М.: Мир, 1977.
18. Николай Островский об обращении Земли и Луны вокруг общего центра инерции. www. membrana. ru/articles/readers/2002/12/19/182 600. html
19. Холшевников К. В. Луна — спутник или планета? http: //www. astronet. ru/db/msg/1 171 221
20. Островский Н. В. Решение задачи трех тел на примере системы Солнце-Земля-Луна//Наука — производство — технологии — экология: Сб. материалов Всерос. науч. -техн. конф. Киров: Изд-во Вят. гос. ун-та, 2003. Т. 4. С. 74−75.
21. Хильми Г. Ф. Качественные методы в проблеме n тел. М.: Изд-во АН СССР, 1958. 123 с.
22. Дагаев М. М., Дёмин В. Г., Климишин И. А., Чарушин В. М. Астрономия. М.: Просвещение, 1983.
23. Новосибирская открытая образовательная сеть. http: //www. edu. nsu. ru/noos/metod/astronom/System/ Sol_Sistema2/Jupiter. htm
24.apront J., Francou G. Ephemerides of planets between 1900 and 2100 (1998 update). Bureau des Longitudes, Group: Dynamics of Solar System (1996). ftp: //cdsarc. u-strasbg. fr/pub/cats/VI/87/
25. Serveur d'-ephemerides de l'-Institut de mecanique celeste et de calcul des ephemerides. http: //www. bdl. fr/ephemeride. html
Поступила в редакцию 10. 01. 05
N. V. Ostrovskiy
Physical model of the orbital movement of the Jupiter satellite Pasiphe
The physical models cannot compete on accuracy of calculation of ephemeris with statistical models. On the other hand, the known equation of the world gravitation of Newton strictly corresponds only to gravitational interaction of two bodies. Using it is impossible, for example, to explain movement of the Moon around the Earth, as the Moon is in the sphere of Sun gravitation. The similar situation exists in the case of the external satellites of Jupiter: Pasiphe and Sinope. In the given work the original equation for the description of gravitational interaction in system of many bodies is used (for system of two bodies it is converted in the Newton equation).
Островский Николай Васильевич Вятский государственный университет 426 034, Россия, г. Киров, ул. Московская, 36 e-mail: nvo@k: rt3. kirovenergo. ru

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой