Построение для простых подсистем неравновесных систем кинетических матриц потенциально-потоковых уравнений

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Общие и комплексные проблемы естественных и точных наук


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

УДК 536. 12 1Старостин И.Е.
гООО Экспериментальная мастерская «НаукаСофт», Москва, Россия
ПОСТРОЕНИЕ ДЛЯ ПРОСТЫХ ПОДСИСТЕМ НЕРАВНОВЕСНЫХ СИСТЕМ КИНЕТИЧЕСКИХ МАТРИЦ ПОТЕНЦИАЛЬНО-ПОТОКОВЫХ УРАВНЕНИЙ
Введение
В настоящее время для описания динамики протекания неравновесных процессов существуют два подхода [1]: макроскопический и микроскопический. Микроскопический подход основан на статистической физике и кинетической теории и базируется на кинетических уравнениях, например, кинетическом уравнении Паули, кинетическом уравнении Больцмана [1, 2]. Использование этого подхода подразумевает знание моделей молекул, на основе которых составляются эти уравнения [1 — 3]. В рамках макроскопического подхода состояние системы характеризуется макроскопическими переменными, связанными между собой уравнениями баланса, а причиной протекания неравновесных процессов являются термодинамические силы [4 — б]. Для составления математической модели динамики протекания неравновесных процессов необходимо знать связь термодинамических сил со скоростями протекания неравновесных процессов (скоростями изменения независимых переменных состояния) [5]. В работе [7] на основе
анализа кинетического уравнения Паули [2], было показано, что особенности протекания неравновесных процессов помимо термодинамических сил определяются еще и кинетическими свойствами системы, определяемыми вероятностями перехода [2], входящими в уравнение Паули. Т.к. макроскопические параметры системы, в том числе и энтропия, а значит и термодинамические силы [4 — б], определяются вероятностями состояния системы, то эти параметры не зависят от вероятностей перехода [2, 3, 7].
Таким образом, связь термодинамических сил со скоростями определяется кинетическими свойствами системы [7].
Для связи термодинамических сил со скоростями в работах [8, 9] была введена матрица восприим-
чивостей (или кинетическая матрица [7]), характеризуемая кинетическими свойствами системы [7]. На основе этой матрицы был в [8, 9] разработан в общем случае математического моделирования неравновесных процессов потенциально-потоковый метод, уравнения которого имеют вид [8, 9]:
уу=A (x (t)& gt- у (t), U (t))X (x (t), у (t), U (t))+ут ,
X (xy, U) = -VyF (x у (x P), u)| P=P (- y),
(1)
dy (t) _ f ду (У, P) dt dx1
ду (x, P) ^
dx (t)
dxm
J
y_ x (t)
p_p (y (t), m)
V
dt
d (e) xd (e) у
---- ±---
dt J dt
где x, у — координаты состояния системы- P
параметры баланса системы
d (e)x (t) dt
d (e) у (t) —
dt
внешние составляющие скоростей изменения координат состояния системы x и у соответственно- U -внешние условия, в которых находится рассматриваемая система- F (x, y, U) — свободная энергия системы- X (x, у, и) — термодинамические силы, движущие неравновесные процессы внутри системы-
A (x, у, и) — положительно определенная матрица восприимчивостей системы к термодинамическим силам.
В работах [10, 11] на основе кинетической матрицы делается качественный анализ динамики протека-
ния неравновесных процессов.
Но в систему уравнений (1) входят только параметры состояния системы, однако на практике удобно пользоваться величинами, не являющимися параметрами состояния системы, например, количеством теплоты. С этой целью в [8, 9] рассматривается замена термодинамических координат x величинами
приращений Dx, не являющихся параметрами состояния системы. Это дает возможность записать потенциально-потоковые уравнения (1) в более практичном виде [8, 9].
В работе [8, 9] рассматривается декомпозиция системы на простые подсистемы, несопряженные между собой (системы отдельных протекающих процессов, несопряженных между собой). Приращение векторов x и у в сложной системе связано с независимыми приращениями dAjx в j -й совокупности сопряженных процессов (j -й простой подсистемы) и представляется следующим образом [8, 9]
dx _ Z
j_i
djX
djx

dA jxi dA jXm
dA fx + d (e)x
где матрицы
dd
dd
dA jxi
d jxm,
dy _ Z
j1
dd
dj: y
dA jx d, у
djf
dAjxm, J
dAjx + d (e)у, (2)
dA jx
(1), (2) и в силу независимости приращений dAjx
djУ djУ ^ ду (x, P) ду (x, P) djx djx
dA jx dAjxmj j dx^ dxm J P_P (xd) dA jx dAjxmj J
получаются из уравнений баланса [8]
j _ 1, N. (3)
Согласно
Термодинамические силы AXj (x, y, U), j _ 1, N в [8, 9] согласно
f JT7(y У T~l'- f JT7(y У T~l'-
AXj (x, y, U) _ -
dF (x, y, U)
dA jxi
dF (x, y, U)
d jxmJ
простых подсистемах определяются в соответствие с
j _ 1, N, (4)
d Jxm
имеем
P. U
P. U
XJ (x, y, U) =
d JX S X
dx
x
(X, y, U), J = 1N ¦ (5)
В силу несопряженности простых подсистем запишем потенциально-потоковые уравнения простых подсистем [8, 9]
dXr- = A (x (')¦ y ('), U (' '-))dXj (x (')¦ у ('), U (')), J =1N, (6)
где Aj (x, y, U) — матрица восприимчивостей простой J -й подсистемы. Из (2), (5), (6) видно, что
A (x, y, U) определяется в соответствие с [8, 9] в силу
матрица восприимчивостей сложной системы N Ґ ^ Л Ґ
А (X, y, U)= 2 j=1
djX djX AJ (y, U) djX djX
d jXi SDJXmj j d jX JXmj /
(7)
Из уравнений (2) — (7) несложно получить систему уравнений (1)¦ Таким образом, уравнение (7)
показывает, каким образом зная из эксперимента матрицы восприимчивостей простых подсистем (имея известную из эксперимента базу данных матриц восприимчивостей простых подсистем (отдельных процессов), входящие в различные сложные системы), можно определить матрицу восприимчивостей сложной системы, а значит, потенциально-потоковые уравнения (1).
Задачей, рассматриваемой в настоящей работе, является разработка методики построения матриц
восприимчивостей простых подсистем
aj (x, y, U)
из экспериментальных данных.
Построение матриц восприимчивостей простых подсистем
В работах [4, 6] рассматривается применения формализма Онзагера — частного случая уравнений
потенциально-потокового метода [8, 9] к различным видам неравновесных процессов. В этих работах
[4, 6] на основе перекрестных коэффициентов матрицы Онзагера (частного случая матрицы восприимчивостей в случае линейной околоравновесной области [8, 9]) вводятся коэффициенты увлечения термо-
динамических координат. Например, в случае термоэлектричества — теплоты Пельтье и коэффициент термоЭДС. Часть из коэффициентов увлечения строится экспериментально, а часть — определяется из матрицы Онзагера, которая строится на основе измеренных из эксперимента коэффициентов увлечения одних координат другими и коэффициентов эквивалентности термодинамических сил [4, 6]. Поэтому, для того, чтобы разработать методику построения матрицы восприимчивостей, необходимо установить связь между матрицей восприимчивостей и матрицей коэффициентов увлечения одних термодинамических координат другими и матрицей коэффициентов эквивалентности термодинамических сил в случае простых подсистем.
Исследование и анализ неравновесных процессов у современных авторов сопровождается выделением обратимой и необратимой составляющей неравновесных процессов. Увлечение теплоты диффузионным потоком и выделение или поглощение теплоты Пельтье, рассмотренные в [4, 6], является обратимой составляющей неравновесного процесса, т. к. при изменении направления увлекающей величины изменяется направление увлекаемой величины [6]. Именно, как было отмечено выше и в [6], из анализа обратимой составляющей явления термоэлектричества была определена теплота Пельтье и коэффициент термоЭДС. Таким образом, зная характеристики обратимых составляющих неравновесных процессов, а также необратимых составляющих (в случае термоэлектричества — электрического сопротивления и коэффициента теплопередачи), можно построить матрицу Онзагера — частный случай матрицы восприимчивостей [4, 6].
Симметричная составляющая матрицы восприимчивостей является необратимой составляющей матрицы восприимчивостей, а кососимметричная — обратимой [9].
В случае рациональной термодинамики некоторая составляющая обратимой составляющей матрицы восприимчивостей может быть известна из эксперимента, например, инерционная составляющая [9]. Отсю-
A (jc, y, U) можно представить в виде
да, матрицу восприимчивостей
A (X, y, U) = A (X, y, U) + A (X, y, U)
где
(8)
имчивостей
A (X, y, U) — известная из эксперимента составляющая обратимой составляющей матрицы воспри-
A (X, y, U) (в силу сказанного выше антисимметричная матрица [9]) — A (X, y, U) —
a (X, y, U).
оставшаяся
составляющая матрицы восприимчивостей
В силу положительной определенности матрицы
a (X, y, U)
и антисимметричности матрицы
A (X, y, U)
матрица
A (X, y, U)
согласно
(8) положительно опре-
делена.
Используя разложение (8), нетрудно скорость протекания неравновесных процессов внутри системы разложить на две составляющие
dX d^e)X
dt dt
где
dX dX
= - + - - (9)
dt dt
-X = A (X, y, U)x (X, y, U), -- = A (X, y, U)x (X, y, U). (10)
dt
Т
jXm
Т
dX
Составляющая — обусловлена известной из эксперимента обратимой составляющей неравновесных
dt
dX
процессов- составляющая — - оставшимися эффектами протекания неравновесных процессов. Из урав-
dt
нений (8) — (10) непосредственно следует первое уравнение системы (1). Из уравнения (9) всегда
можно, используя (10), определить составляющую
dx
dt
, которая будет использована для построения
составляющей A (x, y, U) матрицы восприимчивостей А (x, y, U) — составляющая A (x, y, U) непосредственно известна из эксперимента.
Рассмотрим увлечение одной части dx1 координат dx другой частью dx11 этих координат. Для это-
го, используя блочное представление вектороЕ
векторов -, X (X, y, U) ,
rlt V & gt-
dt
и матрицы
A (x, y, U) ,
dx =
(dXі л
У dx11 j
, X (X, y, U) =
(Xі (x, y, U) ^ X11 (x, y, U)
, (11)
((I
A (x, y, U) =
A1 (x, y, U) A111 (x, y, U)
A11 -I (x, y, U) A11 (x, y, U)
, (12)
получим согласно (10) — (12)
-- = A1 (x, y, U) Xі (x, y, U)+A1 ~n (x, y, U) Xn (x, y, U), (13)
dx11 = (11-dt
-- = A111 (x, y, U)Xі(x, y, U)+A11 (x, y, U)Xі1 (x, y, U). (14)
Введя матрицу увлечения (Xі 11 (x, y, U) координат dx1 координатами dx11 b11 -і (x, y, U) термодинамических сил XI (x, y, U) силам XII (x, y, U) ,
A1 (x, y, U)
неувлеченной составляющей величины
матрицу эквивалентности, а также матрицу восприимчивостей
dx I в
соответствие с
а~п (x, y, U) = АІ~Іі (jR, y, U)(An (jR, y, U)) 1, (15) Ьіі-і (j, y, U) = (An (x, y, U))-1 AII-I (x, y, U), (16)
Аі(x, y, U) = A (x, y, U) — a іі(x, y, U)AII і(x, y, U), (17)
получим согласно (13) — (17)
d- = An (x, y, U)(Ьіі-і(x, y, U)Xі(x, y, U)+X11 (x, y, U)), (18)
dt
А- = Аі(x, y, U)Xі(X, y, U) + аі-іі(x, y, U)d^. (19)
Покажем, что матрица
Аі (X, y, U), вводимая согласно (17), положительно определена. Согласно
(12), (15)
(17) имеем:
'-б -аі-іі (X, y, U)
AI (x, y, U) (x, y, U)'-
(б о ^
-а1-ііт (X, y, U) Б

Б JAn і(x, y, U) An (x, y, U)
Xі (x, y, U) о
An (X, y, U)(Ьіі-і (X, y, U) — a1−11T (X, y, U)) An (X, y, U)
Из полученного уравнения видно, что в силу положительной определенности матрицы A (X, y, U) матрица в правой части полученного уравнения положительно определена, а значит и матрица Xі (X, y, U) также положительно определена.
Представим блочные матрицы AI -II (x, y, U) и AII -I (x, y, U) в виде
-іі I fr (і-іі ! r іі і
AI-II (x, y, U)-кі-іі (r, y, U) = Xі-іі (x, y, U) An (x, y, U), An-і (x, y, U)+K-ііт (x, y, U) = An (x, y, U) Хі-ііт (x, y, U),
(20)
где Кі іі (X, y, U) — матрица обратимого сопряжения, а а1 іі (X, y, U) — матрица увлечения несопряженных обратимо составляющих, аналогичная матрице Xі іі (X, y, U). Согласно (15), (16), (20) получим
(21)
Кі-іі (X, y, U) = (Xі-іі (X, y, U) — (Ьіі-і (X, y, U)) J х х A11T (x, y, U)(An (x, y, U)+A11T (x, y, U))-1 An (x, y, U) —
a 11 (x, y, U) = i1 11 (x, y, U) A11 (x, y, U'-) + (bIi 1 (x, y, U)) AIIT (x, y, U)jx x (A1 (x, y, U) + AnT (x, y, U))-1.
Также введем матрицу Л1 (x, y, U), аналогичную матрице Л1 (x, y, U)
л1 (x, y, U) = A1 (x, y, U) — a-Ii (x, y, U) A11 (x, y, U) a-IIT (x, y, U). (23)
(22)
Согласно (12), (20), (23) получим.
Хт i
A (x, y, U) =
(e a-11 (x, y, U)'-(л1 (x, y, U)
0
E
о A11 (x, y, U)
(E 0 ^
a-iit (x, y, U) e
о KI-Ii (x, y, U) ^
CKI-IIT (x, y, U) о y
Согласно (10) — (12), (24) получим
dx1 dt
(24)
-----K -I (x, y, U) Xй (x, y, U)-a1 11 (x, y, U) f --+ K 1IT (x, y, U) Xі (x, y, U) | = ЛІ (x, y, U) Xі (x, y, U),
(25)
-=A11 (xx, y, U)(bIi -I (x, y, U) Xі (x, y, U)+Xі1 (x, y, U)).
Из уравнений (25) виден физический смысл матриц a 1^
г (x, y, U), K 11 (x, y, U).
Из уравнения (24) видно, что матрица A (x, y, U) положительно определена тогда и только тогда,
Ті/
когда положительно определены матрицы
Л1 (x, y, U) и A11 (x, y, U). В работах [5, 6] было доказано, что
матрица восприимчивостей, входящая в потенциально-потоковые уравнения может быть построена положительно-определенной тогда и только тогда, когда произведение термодинамических сил на скорости протекания неравновесных процессов положительно [8, 9]. Положительность этого произведения гарантируется вторым началом термодинамики, отсюда матрица восприимчивостей положительно определена.
Отсюда, для того, чтобы матрица восприимчивостей A (x, y, U) была положительно определенной, необходимо и достаточно выполнения условий
XIT (x, y, U)i-KI-Ii (x, y, U)Xі1 (x, y, U)-a-Ii (x, r, U)(-A+K1 -IIT (x, y, U)Xі(x, y, U)'-ll& gt-о, (26)
0
+
(b11 -I (x, y, U) Xі (x, y, U) + Xі1 (x, y, U))T — & gt- 0
dt
(27)
причем знак равенства относится к случаям
Xі (x, y, U) = 0
и bII-i (x, y, U) Xі (x, y, U) + Xі1 (x, y, U) = 0
соответственно. Условия (26) и (27) — условия корректности задания матриц увлечения термодинами-
ческих координат и матриц эквивалентности термодинамических сил.
Для любой простой подсистемы сложной системы, как видно из (1) и (6), можно выполнить преобразования, аналогичные (8) — (27). Поэтому, для каждого блочного разбиения матрицы (12), можно, используя уравнения (8) — (12), (21) — (25) разработать методику построения матрицы восприимчивостей простой подсистемы сложной системы. Условия (26) и (27) гарантируют положительную определен-
ность матриц
Л1 (x, y, U), A11 (x, y, U)
а значит
и матрицы восприимчивостей
A (x, y, U).
Заключение
Итак, в настоящей статье мы получили формализм построения кинетической матрицы простых подсистем (8) — (12), (21) — (27). Для построения этой матрицы необходимо знать из экспериментальных
данных термодинамические силы, скорости протекания неравновесных процессов, а также матрицы увлечения термодинамических координат и матрицы эквивалентности термодинамических сил в этой простой подсистеме. В работе [12] рассматривается пример определения коэффициентов матрицы восприимчивостей.
ЛИТЕРАТУРА
1. Старостин И. Е., Халютин С. П. Потенциально-потоковый метод — инструмент качественного анали-
за и моделирования динамики неравновесных процессов // Материалы X Всероссийской научнотехнической конференции «Научные чтения по авиации, посвященные памяти Н.Е. Жуковского». — М. :
Издательский дом Академии им. Н. Е. Жуковского, 2013. — С. 40 — 45.
2. Квасников И. А. Термодинамика и статистическая физика. Т. 3: Теория неравновесных систем. -
М.: Едиториал УРСС, 2002. — 432 с. В 3-х т.
3. Квасников И. А. Термодинамика и статистическая физика. Т. 2: Теория равновесных систем: Статистическая физика. — М.: Едиториал УРСС, 2002. — 432 с. В 3-х т.
4. Агеев Е. П. Неравновесная термодинамика в вопросах и ответах. — М.: Эдиториал УРСС, 2001. -136 с.
5. Эткин В. А. Энергодинамика (синтез теорий переноса и преобразования энергии). — СПб.: Наука, 2008. — 409 с.
6. Гроот. С. Р. Термодинамика необратимых процессов. — М.: Гос. изд. техн. -теор. лит., 1956. -281 с.
7. Старостин И. Е., Халютин С. П., Быков В. И. Связь матрицы восприимчивостей потенциально —
потоковых уравнений с физическими свойствами неравновесной системы // Инновации на основе инфор-
мационных и коммуникационных технологий: Материалы Х международной научно-практической конференции «Инфо-2013». — М.: МИЭМ НИУ ВШЭ, 2013. — С. 260 — 262.
8. Халютин С. П., Старостин И. Е. Потенциально-потоковый квазиградиентный метод моделирования неравновесных процессов // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физикоматематические науки, 2012, Т.2. — С. 25 — 35.
9. Халютин С. П., Тюляев М. Л., Жмуров Б. В., Старостин И. Е. Моделирование сложных электроэнергетических систем летательных аппаратов. — М.: Изд-во ВУНЦ ВВС «ВВА им. проф. Н. Е. Жуковского и Ю.А. Гагарина», 2010. — 188 с.
10. Быков В. И., Халютин С. П., Старостин И. Е. Качественный анализ динамики процессов в неравновесных системах на основе потенциально-потокового метода // Труды международного семинара «Надежность и качество — 2012», т. 1. — Пенза: Издательство ПГУ, 2012. — С. 488 — 491.
11. Быков В. И., Старостин И. Е., Халютин С. П. Качественный анализ динамики процессов в неравновесных системах на основе потенциально-потокового метода методом обратной связи // Информатика и системы управления: кибернетическая физика, 2013, № 3(37). — С. 75 — 89.
12. Старостин И. Е. Определение параметров схемы замещения потенциально-потоковой модели никель -кадмиевого аккумулятора методом гидрооксидных пленок // Надежность и качество: тр. Междунар. симп. (Пенза, 2011). — Пенза: Издательство ПГУ, 2011. — С. 318 -324.

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой