Численное и аналитическое решение краевой задачи дифракции для тела в волноводе

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Общие и комплексные проблемы естественных и точных наук


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

УДК 517.9 Васюнин Д. И.
ФГБОУ ВПО «Пензенский Государственный университет», Пенза, Россия
ЧИСЛЕННОЕ И АНАЛИТИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДИФРАКЦИИ ДЛЯ ТЕЛА В ВОЛНОВОДЕ
Введение
Восстановление электрофизических параметров тел, помещенных в волновод, является весьма актуальной задачей в связи с применением результатов ее решения при изучении нанокомпозитных материалов и сложных наноструктур. Исследования в этой области электродинамики привели к необходимости применять численные методы для решения обратных задач [1]. В [2] предложен двухслойный итерационный метод решения обратной краевой задачи определения диэлектрической проницаемости неоднородного тела, помещенного в волновод. При тестировании метода и его программной реализации на суперкомпьютере предлагается использовать аналитическое решение краевой задачи для тела Q, являющегося
секцией волновода с постоянной диэлектрической проницаемостью. Аналитическое решение задачи для секции в волноводе.
Пусть тело Q представляет собой секцию волновода Q = {x-Q& lt-
X & lt- a, 0 & lt- x2 & lt- b, 0 & lt- X3
& lt-c}
женного на рис. 1.
Рис. 1. Секция волновода, заполненная

диэлектриком
изобра-
Будем предполагать, что размеры волновода удовлетворяют условию
Р, Р
-& lt-ко & lt--, a b
к
при котором распространяется только одна волна в волноводе [2]. Здесь 0 — волновое число свободного пространства, ко -Юе°т°, w — круговая частота, е° - диэлектрическая проницаемость, —
магнитная проницаемость.
Рассмотрим поведение поля внутри тела. Предположим, что падающее поле имеет вид:
E = A sin Іґ ^ j Лтле2.
Тогда в области х є (_? 0) полное поле (как сумма падающей и отраженной волн) имеет представление:
E = sinfAe-gx +)e2, (1)
где 1,2 Р2, 1,2 Р2.
1,'-У_ 02 1Чк_ 02
В области X Е (0c) поле имеет вид:
1 pXl^j (Ce-gX + De, gx
(2)
E = sin I -'- j (Ce a
В области x є (c +?) поле имеет представление:
E = sin |pX- j Fe-'-& quot-x-'e1. (3)
На границе областей I и II, а также на границе областей II и III должны выполняться условия сопряжения:
[e2 U=[ e2 Lc=0
[H1L =0 =[HX. =c = 0& lt-
ЭЕ2 ЭЕ2
Эх3 Хз=0 Эх3

A, B, C, D и
= 0,
A + B = C + D, g (B _ A) = g (D _ C)
откуда находим
л
2K™& quot- g
D=2 |A+B+y (B _ A)),
C = 2 fA+B _g (B _ A) j
При x3 = c:
2 f g
Fe' g'-c = Ce-'T + Dlgc,
_F gf'-g'-c =g (_Ce_ gc + D, gc)¦
Коэффициент A известен, для коэффициентов B, C, D и F получаем формулы:

где E = E2e2.
1 -g2 |sin (ic)
1 -II] e-T — (і + ІІ I -У
B = 2iA-
1 У) V y,
D =^ A| 1 -1-) + Bfl + I^ F =-
C = -| A 1 + Ii1 + BI 1 -^
(4)
21 І У
2 Ay/1
У
Уі
1 -л I e-1 -I 1 + -± I Є
Уі
2 '-
Покажем, что поле
= sin I -1 I (Ce
V a
удовлетворяет уравнениям Максвелла. Имеем
У) I У,
(px, с найденными выше значениями коэффициентов С и D,
E = sin (Ce-yx + Deiyx3) e2
J G E (Е2Є2)f — -1 I dy = f -^ -1 ] J GlE, dy Є2
Q V e0) V e0) Q
Обозначим
W ° JGEE2dy.
Q
Тогда
= -M Jdy3 Jdy2 jdy3 (Ce-yy3 + Deiyy') sin2 py- ¦ e-h°lX3-ЛІ sinpX- =
nh'-M J J J ^ '- n n
W
abii0 0
10 0 0 0
= - j dy3 (Ce-iy"j + Deiyy3) ¦ e-1°X-y31 sin pX- = 2Уіо 0 a
¦ PX-
sin-1 (
2Уіс
Обозначим x3
Имеем
e-il0X3 J (Ce-iyyi + Deiyy3) ¦ еУісЛdy3 + eil0X J (Се-УУз + Deiyy3) ¦ e-& quot-3dy3
0 X3
X3 и c
a = J (Ce-yy3 + Deiyy3) ¦ eyi°y3dy3 p = J (Ce-iyy3 + Deiyy3) ¦ e^dy, '-
W =-----^ (ae& quot-™3 + PeIl0X3).
2У10 1 '
Так как gW, получаем
grad------= 0
Эх2
(graddiv+ k02)(We2) = grad gW + kffle2 = k02We2
Вычислим a и p:
P = J (Ce-113 + Del3)¦ e-™3 dy3 = J (CM™0)У3 + De (y-yi)У3) dy3 =
x-3 X3
e (-lI-!m)c е (1У-Уш)c e (-lT-Ti0)x3 e (lT-Ti0)x3
= Ce--------+ D-------+ C----------+ D-
-ІУ- У10 1У-Уі0 1У + Уі0 -іУ + Уі0
X3
a = J [Ce-iy, 3 + Deiy, 3)¦ eyi0y3 dy3 =
0
З^У+Ую)x3 Лі+Ую)x3 — -
= Ce-------+ D---------C-----1----D-1-.
-ІУ + У10 ІУ + Уі0 -ІУ+У10 ІУ + У-0
Зная что y = Іу, находим /10 Чі
ae п3 +pe
+ PeIl0X3 = (Ce-'yX3 + DeiyX3 У 2y' + e-yX3 [, C s — D N I 1 'і (у2-У2) V І (У-Уі) І (У + Уі)J
--і(у+Уі)с -і (У_Уі)с
+єіу-хЧ -C-------------- + D-
І(у + Уі) 1 (і- Уі)
Так как
E — E0 =(Ce-yx3 + DeiyX3) sin П — Ae '- ґі
. -iy-x3 sinpx-
a
остается проверить что
kl I e
-Ae-IlX3 ^^ - -1 Ну- V Є0
eiy-XH C
,-i (y+Ii)c
+ D
,і(У-Уі)с
-І (y + Уі) і (і - Уі)
C
D
V1 (у — Уі) 1 (y + Уі))
Последнее тождество равносильно двум следующим:
1
У
a
+
a
+
A = -Kl --1
D
2ъіeo A (g-gi) (y+y))
(5)
«-'(ї+їі)° el (l-1i& gt-
сЄ------ = D
(Y + Yi) (Y-Yi)
Покажем, что верно первое равенство:
2Yi і e
kf±- M с
D
Y-Yi Yi +y
2Yi I e
kLI _L-1
L aI 1 +l I, 1 '- +LВ B1 -1−1
Y J (Y-Yl) 2 1 — L в Ii+Yl^ 1
Y J (Y-Yi)
Y J (y + Yl)
=ko2f-1|A -(y21 Y 2 Ї
— L A1-TL
2 I YJ (Y + Yi) 2
Покажем также, что выполняется второе равенство: Ce~lT DelT ,
(y2 -Yl2)
= A
с
1
y + Yl Y-Yl
& quot- Afi + 1l j + в fi -Yl І e-1c '- Afi-Il j + в fl + 1- Y e1c
_ 1 y J і y J. 1 y J і y J.
y + Yl Y-Yl
Ae~lT + Be-y J-y = Aelgc + ВИ ,
Y y (y + Yl) Y y (Y-Yl)
откуда
В = 2lAsin (Yc) —
1 —
y2
-rpl -Yl. j — elgc |l + І1. 1
Таким образом,
E = sin | PXl j (Ce-1 1×3 + Del1x3) e
является решением уравнении
что формулы (1) — (4) дают аналитическое решение поставленной задачи,
для тестирования численного метода и его программной реализации.
e
Максвелла. Отсюда следует, которое можно использовать
Численное решение задачи для тела в волноводе.
В таблице 1 представлены результаты расчетов относительной диэлектрической проницаемости тела
q двухслойным итерационным методом [2]. Таблица представляет зависимость расчетов вещественной
части относительной диэлектрической проницаемости от начального приближения. Таблица 1
Начальное значение є Вычисленное значение є
1,100 000 1,507 570
1,200 000 1,507 500
1,300 000 1,507 430
1,400 000 1,507 360
1,500 000 1,507 300
1,600 000 1,507 250
1,700 000 1,507 200
1,800 000 1,507 150
1,900 000 1,507 110
2,0 1,507 060
2,100 000 1,507 020
2,200 000 1,506 980
2,300 000 1,506 950
2,400 000 1,506 920
2,500 000 1,506 920
2,600 000 1,507 090
2,700 000 1,507 710
Точное значение? = 1.5. В левом столбце таблицы указаны начальные значения ?. В правом столбце
указаны вычисленные (приближенные) значения двухслойным итерационным методом. В качестве точек коллокации выбирались центры элементарных параллелепипедов. Параметры задачи:
а = 2 b = 1 c = 2 k = 25 N = 1 N =8. Коэффициент F вычислялся с помощью аналитического решения прямой
задачи дифракции.
Расчеты показывают высокую точность метода (порядка 0. 4%) при определении относительной диэлектрической проницаемости образца материала. Метод быстро сходится даже при выборе сильно отличающегося начального приближения от точного значения.
Задача определения диэлектрической проницаемости решалась и для образцов материалов произвольной геометрической формы, помещенных в прямоугольный волновод. Результаты определения вещественной части диэлектрической проницаемости однородного тела, не являющегося параллелепипедом (рис. 2), представлены на рис. 3.
Представленный на рисунке график отражает процесс сходимости приближенных значений вещественной части относительной диэлектрической проницаемости к точному значению, равному g = 1. 3
ЛИТЕРАТУРА
1. Смирнов, Ю. Г. Метод коллокации решения объемного сингулярного интегрального уравнения в задаче определения диэлектрической проницаемости материала / Ю. Г. Смирнов, М. Ю. Медведик, Д.И. Ва-сюнин // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. -2009. — № 3 — С. 68−78.
2. Васюнин, Д. И. Двухслойный итерационный метод определения диэлектрической проницаемости неоднородного образца материала. — В кн.: Надежность и качество — 2011: Труды Международного симпо-
зиума: в 2 т. под ред. Н. К. Юркова. — Пенза: Изд-во Пенз. ГУ, — 2 том, с. 114−116.
3. Валовик, Д. В. Метод псевдодифференциальных операторов для исследования объемного сингулярного интегрального уравнения электрического поля / Д. В. Валовик, Ю. Г. Смирнов // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. — 2009. — № 4.- С. 70−84.

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой