Синтез полосовых волновых аналоговых фильтров с характеристикой Золотарева-Кауэра

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Общие и комплексные проблемы естественных и точных наук


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

Синтез полосовых волновых аналоговых фильтров
с характеристикой Золотарева-Кауэра
Борис ЛАпшин, д. т. н., профессор
balapshin@mail. ru Валерий петракоВ,
рассматривается теория волновых аналоговых фильтров шлейфного типа, которая является основой аналитического метода синтеза фильтров СВЧ и оптического диапазонов с заданными частотными характеристиками рабочего затухания. приводится пример расчета СВЧ-фильтра с характеристикой Золотарева-кауэра.
Введение
Во многих областях избирательной техники находят широкое применение фильтры с распределенными параметрами, то есть фильтры, построенные на отрезках передающих линий, соединенных между собой определенным образом. Такие фильтры получили название волновых аналоговых фильтров, причем термином «волновой» подчеркивается свойство периодического повторения полос пропускания и полос задерживания на оси частот с периодом изменения частоты Д/= 2/0, где /0 — средняя частота первой полосы пропускания фильтра.
При каскадном соединении отрезков в виде четырехполюсников с отличающимися друг от друга волновыми сопротивлениями получаем топологию волнового аналогового фильтра цепочечного типа (ВАФ-Ц). При соединении отрезков, когда чередуются четырехполюсники в виде проходных отрезков и неполные четырехполюсники с короткозамкнутыми (КЗ) или разомкнутыми (холостой ход, ХХ) отрезками-двухполюсниками, получаем топологию ВАФ шлейфного типа (ВАФ-Ш).
В теории фильтров с распределенными фильтрами [1] различают отрезки линий, выполняющие роль резонаторов с волновым сопротивлением р^, и отрезки линий, выполняющие роль элементов связи между резонаторами — связки с волновым сопротивлением рс. В роли связок всегда выступают проходные четвертьволновые или полуволновые отрезки линий, а в качестве резонаторов — четвертьволновые отрезки-двухполюсники в ВАФ-Ш или проходные четвертьволновые отрезки линий в ВАФ-Ц.
Одним из наиболее важных параметров ВАФ является коэффициент неоднородности V, определяемый как отношение вол-
новых сопротивлении соседних элементов — связки и резонатора, то есть:
частоты ж ФФК в частоту п НЧ-прототипа с помощью функции преобразования в виде:
V = Рс/Рр-
(1)
зования частоты:
(2)
х, п+1 х -1
Л= ,-X-5-
х220−1×2+1
= М,
х2−1
01×2+1'
(3)
Синтез ВАФ основывается на методе моделирования четвертьволновых отрезков линии схемами с сосредоточенными элементами индуктивности L и элементов емкости С в виде фазовых контуров (звеньев) первого порядка (ФК1П), при этом нормированная частота ж ФФК связана с частотой / ВАФ следующим выражением — функцией преобра-
где /0 — средняя частота ВАФ.
Из выражения (2) следует, что при изменении частоты / ВАФ в интервале 0 & lt- /& lt- 2/0 нормированная частота ж фильтра на фазовых контурах (ФФК) изменяется в интервале 0 & lt- ж & lt- а& gt-. Это означает, что ФФК полностью копирует частотные характеристики функций цепи ВАФ, изменяющиеся в пределах первого периода изменения частоты от 0 до 2/0. Важно и то, что ВАФ как система с распределенными параметрами имеет точную математическую модель — ФФК как систему с сосредоточенными элементами. А это означает, что задачу синтеза фильтров с распределенными параметрами можно перевести в задачу синтеза фильтров с сосредоточенными элементами и воспользоваться всем арсеналом наработанных методов синтеза электрических цепей. Более того, поскольку между схемами одного функционального назначения существуют единственно возможные взаимные преобразования частоты, то задачу синтеза, например, полосового ФФК (ПФФК), можно значительно упростить, воспользовавшись преобразованием
где х20 и х10 = 1/х20 — соответственно, верхняя и нижняя граничные частоты полосы пропускания ПФФК. Решение же задач синтеза фильтра нижних частот является наиболее разработанным разделом общеи теории 1С-фильтров.
Свойства полузвеньев волновых аналоговых фильтров
Моделью ВАФ-Ш является схема ФФК-Ш. В свою очередь, схема ПФФК-Ш с характеристикой Золотарева-Кауэра может быть найдена путем преобразования низкочастотного прототипа в виде ФНЧ с характеристикой Золотарева-Кауэра, который в литературе по фильтрам известен как фильтр с изоэкстремальной характеристикой, или эллиптический фильтр. Полузвено такого фильтра, в отличие от полиномиального полузвена НЧ-прототипа, имеет в своем составе резонансный контур, настроенный на частоту всплеска затухания, и относится к полузвеньям типа т (ФНЧ-т).
На рис. 1а приведена схема полузве-ньев ФНЧ-т с Т- и Пт-окончаниями, а на рис. 1б — схема с П- и Т т-окончаниями.
Характеристическое сопротивление полу-звена ФНЧ-т-Т на нулевой частоте равно:
(4)
Граничная частота собственной полосы пропускания полузвена ФНЧ-от-Т определяется по формуле:
Рірб
Plp5
Ао/4
^о/4
о^Г
И и
РірЗ
W4
w*
Plc2
Plp2
V4
Яо/4
Рис. 3. Схемы соединения двух резонаторов, обеспечивающие Тт окончание полосового полузвена:
а) параллельное- б) последовательное- в) каскадное
Рис. 2. Преобразование полузвена ФНЧ-т в полузвено ПФ-т с различными типами сдвоенных резонаторов: а) полузвено ФНЧ-т- б) полузвено ФНЧ-т с инвертором- в-д) полузвенья ПФ-т
Лі2 =
^(а1+а2)Р2
(5)
Из (4) следует, что в выражение для 2С (0) не входит элемент индуктивности а2 (рис. 1а), что дает возможность считать полу-звено ФНЧ-т на нулевой частоте полузвеном НЧ-прототипа. На всех остальных частотах элемент индуктивности а2 оказывает влияние на частотные характеристики полузвена ФНЧ-т, а на частоте п", равной:
1
/®2 Рг
Pi = 1/(аіПш).
представить в виде последовательного соединения двух параллельных контуров с резонансными частотами хм3 и хм4 (рис. 2г) или в виде короткозамкнутого полузвена ФФК-2-Ц (рис. 2д) с волновыми сопротивлениями ФК1П-резо-натора и ФК1П-связки, равными р1р и р1с.
Функции сопротивлений эквивалентных четырехэлементных двухполюсников, схемы которых представлены на рис. 2в-д, имеют общее выражение вида:
jac (x?-x2)(xj-x2) 2x (1+v)(jc2−1)
(9)
(6)
совместно с элементом емкости в2 обеспечивает всплеск затухания на резонансной частоте полузвена.
Поэтому для получения схемы полузвена ФНЧ-от с инвертором [1] в схеме, приведенной на рис. 2б, параллельно правой индуктивности а1 подключена емкость Р1, значение которой определяется из (6):
и отличаются только формой выражения коэффициентов через элементы соответствующих схем. Сравнение соответствующих коэффициентов функций сопротивлений двух эквивалентных двухполюсников позволяет выразить значения всех элементов полузве-ньев ПФ-от через значения элементов ПФ-прототипа и частот всплесков затухания.
Для схемы на рис. 2в:
(7)
а5
а*
: аШ& gt- в5 =
= 4arnv" =
Рш& gt-
= 1/(3б& gt-
(10)
Тогда от схемы полузвена ФНЧ-т с инвер- где = (хм4- х"3)2/4.
тором с помощью симметричного преобразования частоты [1]:
(8)
Для схемы на рис. 2г:
а3 = 4arnv"/(x «3+1) а4 = 4alk1V"/(x „4+1):
: 1/Р4& gt-
1/Рэ-
(11)
легко перейти к схеме полузвена ПФ-от, изображенного на рис. 2 В.
Четырехэлементный двухполюсник с элементами а5, Р5, а6 и вб в схеме на рис. 2 В может быть эквивалентно преобразован в другие канонические формы двухполюсника. Его можно
Для схемы рис. 2д:
1p2 '-
где Мт
— 2a1k1M“
а
1с2 '-
: (Хх, 4+Хх, 3.
2a1k1/(1+1/v»): 1/в1с2& gt-
: a1p2Vo& gt-
)/(x"
3).
1/в4& gt-
(12)
x
При образовании звеньев ПФ-от из двух соседних полузвеньев с одинаковыми частотами всплесков затухания соседние четырехэлементные двухполюсники объединяются в один четырехэлементный двухполюсник, при этом все однотипные элементы объединяются по правилам последовательного соединения.
Переход от схемы полузвена ПФ-от к схеме полузвена ВАФ-от осуществляется с помощью преобразования частоты (2) и с учетом условий:
Z (ж) = W{f), а'-(ж) = а/). (13)
Тогда каждый четырехэлементный двухполюсник на рис. 2в-д преобразуется в два отрезка линии, соединенные между собой, соответственно, параллельно (рис. 3а), последовательно (рис. 3б) или каскадно (рис. 3в).
Значения волновых сопротивлений отрезков линии, изображенных на рис. 3, определяются через элементы соответствующих четырехэлементных двухполюсников по формулам:
Р 1р2 = а 1 р2, Р1р3 = Ча--/2, Р 1р5 = 2a5,
Р1с2 = 1 с2., Р 1р4 = '-^а3(-½, Р1р6 = 2а6. (14)
На рис. 4 приведены схемы полузвеньев ПФ-от с П- и Тот-окончаниями, являющиеся дуальными по отношению к соответствующим схемам ПФ-от с Т- и Пот-окончаниями, изображенным на рис. 2. На рис. 4 видно, что четырехэлементные двухполюсники дуальны соответствующим двухполюсникам, представленным на рис. 2.
Значения элементов четырехэлементных двухполюсников, входящих в состав схем ПФ-от и приведенных на рис. 4в-д, определяются по следующим формулам:
• для схемы на рис. 4в:
в5 = Рш, а5 = а1И,
Рб = 4РшЧю = 1/аб- (15)
• для схемы на рис. 4г:
Рз = 4РшЧю/(ж Ш3+1) = 1/а4,
в4 = 4РшУш/(ж ш4+1) = 1/аз- (1б)
• для схемы на рис. 4д:
в1р2 = 2Рш/(1+^) = 1/а1р2,
в1с2 = в1р2/уш. (17)
«2
чн р2
Рі=г
и
& lt-*1к1
И
Рис. 4. Преобразование П полузвена ФНЧ-т в полузвенья ПФ-т с различными типами сдвоенных резонаторов: а) полузвено ФНЧ-т- б) полузвено ФНЧ-т с инвертором- в-д) полузвенья ПФ-т
Рб
Р5
Рз
? Р& lt- У Р1р2
/4 & lt-!>-
& gt--о/4 & gt-. з/4 А ^/4
И 0
I Р1с2
Рис. 5. Схемы соединения двух резонаторов, обеспечивающие Пт окончание полосового полузвена:
а) последовательное- б) параллельное- в) каскадное
Переход от схемы полузвена ПФ-от-П к схеме полузвена ВАФ-от-П осуществляется с помощью преобразования частоты (2) и условий (13).
Четырехэлементные двухполюсники на рис. 4в-д преобразуются с помощью (2) в два отрезка линии, соединенные между собой, соответственно, последовательно (рис. 5а), параллельно (рис. 5б) или каскадно (рис. 5в).
Синтез ПФФК-Ш с характеристикой Золотарева-Кауэра
Задача синтеза волновых аналоговых фильтров формулируется как задача определения наиболее приемлемой системы, реализуемой с минимальным количеством отрезков передающих линий.
Исходными данными для расчета ВАФ являются: граничные частоты ПП /10 и /20, неравномерность рабочего затухания в П П Да, граничные частоты ПЗ /1е и /2е, гарантированное рабочее затухание в ПЗ а1е и а2е, нагрузочные сопротивления на входе и выходе фильтра Rг и Rн. По требованиям к ВАФ с помощью преобразования частоты (2) определяются требования к ПФФК, а с помощью преобразования частоты (3) — требования к ФНЧ.
Рабочее затухание ФНЧ прототипа в виде ФНЧ-от с характеристикой Золотарева-Кауэра как в полосе пропускания, так и в полосе задерживания имеет изоэкстремальный характер. В [1] показано, что при заданном классе фильтра по затуханию Nз наименьшее значение рабочего затухания, начиная с частоты
we = 1/к, будет максимально возможным, и его можно выразить для симметричных (Nз — дробное число) фильтров формулой:
а = 101д[1+й2 $п (2иЖ/К-1)], (18)
и для антиметричных фильтровз — целое число) формулой:
а = 10^[1+й^п (2иШК+^1)]. (19)
В этих выражениях в соответствии с [1, 2] приняты обозначения:
I Ад
вп (м- к)-г, к- 1010−1,
к = ^1-к'-2. (20)
Краткое изложение метода решения задачи синтеза ФНЧ-от в общем виде приведено в [1]. Подробное изложение метода можно найти в [2]. Однако с появлением современных справочников по расчету ФНЧ-от для широкого спектра условий, например, [3], в большинстве практических случаев можно воспользоваться табулированными типовыми решениями.
Переход от известной схемы ФНЧ-тз — дробное число) к схеме ПФФК-Ш-т осуществляется с помощью преобразования (3). При таком преобразовании частоты, как это легко убедиться при анализе функций (18) и (19), частотная характеристика рабочего затухания ФНЧ-т, приведенная на рис. 6а для частного случая Nз = 3,5, в полосе частот от п = 0 до п = пт1 = М01 копируется на геометрически симметричные полосы частот ПФФК-Ш-т, соответственно, от х = 1 до х = 0 и от х = 1 до х = а& gt-. На частотах х = 0 и х = а& gt- рабочее затухание оказывается равным а, а не бесконечности, как это было бы при использовании преобразования частоты (8).
Частоты п», — всплесков затухания ФНЧ-т копируются на ось реальных частот ПФФК-Ш-т в виде:
=
М01−1
І М0і+ т] :х.- Х: х14
(21)
На рис. 6б приведена частотная характеристика рабочего затухания искомого ПФФК-Ш-т.
Минимально необходимое количество звеньев N/2 ПФФК-Ш-т определяется через значение класса по затухания N вспомогательного ФНЧ-т, которое находится по формуле [1, 2]:
N & gt- (ае+12−20^)/(ак+6), (22)
где ае=20%[(1+^к'-)/(1-^к'-)]-^! = N/2+0,5 = п/2- & lt-к' = х1 — левая граничная частота рабочей ПП ПФФК-Ш-т- пе1 = 1/к — граничная частота рабочей ПЗ ФНЧ-т- п — количество ветвей ФНЧ-т.
Пример расчета ВАФ-Ш с характеристикой Золотарева-Кауэра
Рассчитать шлейфный полосовой фильтр на отрезках передающих линий с изоэкстре-
н
Г6! I-^-1-к-і-& gt-Ы '- -І-ік------------1-^-А-к---?х
О Хсо- 1 Хсо-2 Хоо-З Хі 1 Х2 Хсо+З Хоо+2 Хсо+1 со
Рис. 6. Частотные характеристики затухания: а) исходного ФНЧ-т- б) полосового ПФФК-Ш-т
Таблица. Значения рассчитанных параметров
Параметр Номер полузвена і (і, і+1 — - индекс общего элемента)
1 2 3 4 5 6
а1, 0,91 789 0,84 122 0,79 175 0,86 996 0,52 318 0,52 873
Р21 0,68 243 0,62 543 0,58 865 0,64 680 0,38 897 0,39 310
а2, 0,21 595 0,23 563 0,64 819 0,62 268 1,41 766 1,40 278
Ш, 1,13 683 1,21 852 1,7 285 1,1 774 1,15 093 1,14 763
х1, 0,77 691 0,76 229 0,78 848 0,79 850 0,77 439 0,77 498
х2, 1,28 714 1,31 184 1,26 827 1,25 235 1,29 130 1,29 036
Хда3, 0,52 612 0,52 612 0,67 272 0,67 272 0,73 015 0,73 015
^"4/ 1,90 071 1,90 071 1,48 650 1,48 650 1,36 957 1,36 957
Уда, 0,47 237 0,47 237 0,16 556 0,16 556 0,10 221 0,10 221
а1к, 1,76 595 1,60 870 1,90 589 2,4 045 1,73 730 1,74 391
ас, 1,15 975 1,15 975 1,15 975 1,15 975 1,15 975 1,15 975
Р1к, 3,53 198 3,16 063 3,10 291 3,46 272 2,498 2,2 820
Р 1р2, 1,13 314 1,1 401 0,44 075 0,49 186 0,18 593 0,18 808
Р1с2, 0,53 527 0,48 760 0,59 517 0,6 372 0,2 794 0,28 045
Р1к, ,+ 1 3,53 198 6,26 327 5,46 770 2,2 820
Р1р2, ,+1 2,14 715 0,93 261 0,37 401
Р1с2, ,+1 1,02 287 0,12 324 0,55 985
^1кі, ,+1 264,9 469,7 410,1 152,1
87,0 87,0 87,0 87,0 87,0 87,0
^1р2і, ,+1 161,0 69,95 28,05
^1с2і, і+1 76,72 9,243 4,2
3, 616,67 616,67 753,99 753,99 803,001 803,001
^"4і 1383,34 1383,34 1246,01 1246,01 1196,99 1196,99
мальной характеристикой рабочего затухания без учета потерь, если:
• В полосе частот
/ = 860,46 & lt- /& lt- /2 = 1139,54 МГц рабочее затухание фильтра не должно превышать 0,044 дБ.
• В полосах частот 0 & lt- / & lt- /1е = 817 МГц и /2е = 1183 & lt- / & lt- 1817 МГц рабочее затухание фильтра не меньше а1е = а2е = 56 дБ.
• Фильтр должен включаться между нагрузками R =75 Ом.
Алгоритм расчета:
• /0 =1000 МГц- ж1е = 0,74 714- ж1 = 0,80 174- ж0 = 1- ж2 = 1,24 728- ж2 е = 1,33 843 (2) —
-'-•?к'- = ж1 = 0,80 174- к = 0,76 604 (20) —
П1е = 1,30 541 (3).
• h = 0,10 091 (20) — ак = 19,16 916 (18) — Щ = 3,5- N = 6- п =7 (22).
Расчет элементов НЧ-прототипа производим по методике, изложенной в [2] а1 = 0,91 789- а2 = 0,1 1268- в2 = 1,30 786
а3 = 1,63 297- а4 = 0,32 600- Р4 = 1,23 544
а5 = 1,39 314- а6 = 0,70 509- Р6 = 0,78 207
а7 = 0,52 873- п2с0 = 2,60 494- п4со = 1,57 574-
П6с0= 1,34 665- г0 = 1,15 975.
Разбиваем схему ФНЧ-от на N = 6 Г-полу-звеньев по варианту 1 [1]. Здесь и далее даются формулы только для первых двух полуз-веньев, а значения всех рассчитанных параметров приводятся в таблице:
• Значения денормированных относительно сопротивления нагрузки Кн = 75 Ом волновых сопротивлений отрезков фильтра:
^1кЗ& gt-1р2Р ^1с21 (в [1] 3,46).
• Значения денормированных резонансных частот ¼ отрезков линии:
?їй=її ри={ті=/0 = 1000 МГц-
/да3і^ /да4і (2).
В результате расчета получена топология ПВАФ-Ш-т, которая приведена на рис. 7 в виде эквивалентной схемы на отрезках
двухпроводных линий. Сдвоенные резонаторы представлены на этой схеме двухполюсником, изображенным на рис. 3 В.
На рис. 8 приведена расчетная характеристика затухания шестизвенного полосового ВАФ-Ш-от Золотарева-Кауэра.
При выборе типа сдвоенного резонатора из трех возможных (рис. 3а-в) предпочтение отдается схеме, практическая реализация которой будет наиболее технологичной.
В практике изготовления ВАФ-Ш-от может возникнуть необходимость использования в одном фильтре разных типов сдвоенных резонаторов. Такое решение возможно в силу эквивалентности их сопротивлений.
Сказанное в полной мере относится и к дуальным фильтрам, в которых используются двухполюсники, изображенные на рис. 5а-в.
Рассмотренная теория волновых аналоговых фильтров шлейфного типа является основой аналитического метода синтеза фильтров СВЧ [1] и оптического [4] диапазонов с характеристикой Золотарева-Кауэра. ¦
Литература
1. Лапшин Б. А. Новая теория и расчет фильтров и трансформаторов на отрезках передающих линий. СПб.: Наука, 1998.
2. Улахович Д. А. Основы теории электрических цепей / Учеб. пособие. СПб.: БХВ-Петербург, 2009.
3. Зааль Р. Справочник по расчету фильтров. М.: Радио и связь, 1983.
4. Лапшин Б. А., Петраков В. А. Синтез оптических многослойных фильтров // Компоненты и технологии. 2006. № 10.
в22 = в2 в2
в21 = а11/г20- а21 = 1/(п2& lt-х>-в21) —
1/(п2& lt-х>-Р22) — а12 = в22Г 0-
УКа^а^]1'-
М01 = 4,59 891 (3) — х1-, х2і, х,
12 22 22×4даі (21) —
1? 2 і' л3& lt-х"' 4даі
(10).
аа- = Рі = Г0 = 1,15 975 (14) — аш = г0/(х 2,-1) (в [1] - 2,158) —
РШ = 2а1кі (14) — Рlp2i, Р1с2і (в [1] - 3,139). Значения объединенных соседних сопротивлений: Р1кН& gt- i+l, Р1 к2і, i+1, Р1с2 і, і+1 (в [1] - 3,43).
100 90 80 Ш 70
60
I 50
К
40
(0
т 30 20 10
1-
— -
4 -І -
-
1 J =
700 740 780 820 860 900
940 980 1020 1060 1100
Частота, МГц
1140 1180 1220 1260 1300
Рис. 8. Характеристика затухания шестизвенного полосового ВАФ-Ш-т Золотарева-Кауэра (в полосе пропускания, А = 100а)
а
а
11
а
w
w
2

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой