Управление линейным дискретным регулятором стохастической линейной системой

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Физико-математические науки


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

Гурьянов А.Е. (c)
Доцент, кандидат физико-математических наук, Санкт-Петербургский государственный университет
УПРАВЛЕНИЕ ЛИНЕЙНЫМ ДИСКРЕТНЫМ РЕГУЛЯТОРОМ СТОХАСТИЧЕСКОЙ ЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМОЙ
Аннотация
С целью решения задачи стабилизации даётся формула линейного дискретного регулятора преобразующего линейную стохастическую систему управления в такую систему, общее решение которой совпадает с общим решением другой системы в равные моменты дискретизации регуляторов
Ключевые слова: общее решение системы обыкновенных дифференциальных уравнений, линейный дискретный регулятор, стабилизация, случайный процесс
С целью решения задачи дискретной стабилизации [1] рассмотрим замкнутую линейным дискретным регулятором систему управления
--^ - Ax (t) + Bx (t0 + kh), te[t0 + kh, t0 + (k + 1) h), (1)
где t & gt- t0, t0eR1, k — 0,1,2,…, h — положительная случайная величина, абсолютно непрерывная при t & gt- t0 и непрерывно дифференцируемая при te[t0 + kh, t0 + (k + 1) h), k= 0,1,2,., случайная векторная функция x (t)eRn- A, B суть nxn — матрицы, элементами которых являются случайные величины, n — натуральное число.
Теорема 1. Нулевое решение (x (t) = 0) стохастической системы дифференциальных уравнений (1) глобально асимптотически устойчиво по А. М. Ляпунову с вероятностью 1 тогда и только тогда, когда все собственные числа матрицы
P (h) — Е + h (Е + (A + B),
по модулю меньше единицы с вероятностью 1. Если det (A) А 0, то
P (h) = exp (hA) (Е + A_1B) — A_1B.
п ••• °Л
Здесь и далее Е -I •: 1]. То есть, Е — единичная nxn — матрица.
V 0 — 1//
Например, пусть в системе уравнений (1) n = 2,
a-с & gt- * -с J)
.)¦
Случайные величины a, J, k и S таковы, что Jk — 0. Тогда
P (h)-(T J
По теореме 1 для глобальной экспоненциальной асимптотической устойчивости по А. М. Ляпунову нулевого решения (x (t) = 0) необходимо и достаточно, чтобы выполнялись следующие два неравенства -2 & lt- ha & lt- 0 и -2 & lt- hL & lt- 0.
Заметим, что условиям теоремы 1 могут удовлетворять такие стохастические матрицы A и B, что вещественные части собственных чисел матриц A, B и A + B не являются отрицательными числами.
Например, пусть в системе уравнений (1) n — 2,
,/0 a * (0 -0. 5a)
V-a 0), * V0. 5a 0),
a — такая случайная величина, что ha, А 2рт, т — 0, ±1, ±2,….
© Гурьянов А. Е., 2016 г.
_ л,. /1 + cos (fra) sin (fra) _
Тогда Р (Л) = I., л ^7л), и модули собственных чисел этой
-sin (na) 1 + cos (na)/ J
-sin (fra) 1 + cos (fra),
матрицы меньше единицы [1,19].
Более того, условиям теоремы 1 могут удовлетворять такие стохастические матрицы A и В, что вещественные части собственных чисел матриц, А и, А + В являются положительными числами.
Например, пусть в системе уравнений (1) п _ 2,
J, а в H-0. 5J -0. 5аМ
-а рГ B _ V 0. 5а -0. 5J
Y
а и J суть такие случайные величины, что, а _ -, 0 & lt- J & lt- 1п (3)/Л. Тогда Р (Л)
'-1 -«
01
Далее рассмотрим замкнутую нестационарным линейным дискретным регулятором стохастическую линейную нестационарную систему управления
А_

/1 — еР- 0
H 0 i p-J, и модули собственных чисел этой матрицы меньше единицы [2, 267].
dx (t)
dt
_ A (t)x (t) + B (t)x (t0 + fcft), te[t0 + fcft, t0 + (fc + 1) Л),
(2)
где t & gt- t0, t^ft1, fc _ 0,1,2,…, Л — положительная случайная величина, абсолютно непрерывная при t & gt- t0 случайная векторная функция x (t)eftn- A (t), B (t) суть п х п -матрицы, элементами которых являются измеримые интегрируемые случайные процессы, такие, что операторные нормы этих матриц интегрально ограничены некоторой неотрицательной случайной величиной при t& gt- t0, п — натуральное число.
Обозначим через _(t, s) матрицу Коши (матрицант) соответствующей системе уравнений (2) однородной линейной системы обыкновенных дифференциальных уравнений
_ A (t)x (t).
Определим с помощью равенства следующую матрицу
@(h, fc) _ Е + Jtt-++fc (g+1)-_(t0 + (fc + 1) Л, s)(A (s) + B (s))ds, fc _ 0,1,….
Теорема 2. Нулевое решение (x (t) = 0) стохастической системы дифференциальных уравнений (2) глобально асимптотически устойчиво по А. М. Ляпунову с вероятностью 1 тогда и только тогда, когда
lim n. g=0@(fi, fc --) _ 0.
Теорема 3. Если существуют такие случайная величина де (0,1) и натуральное число ш, что каждое сингулярное число матрицы а (Л, fc) при fc _ ш, ш + 1, ш + 2, … меньше или равно 1, то тогда нулевое решение (x (t) = 0) стохастической системы дифференциальных уравнений (2) глобально асимптотически устойчиво по А. М. Ляпунову с вероятностью 1.
Доказательства теорем 1−3 приведены в работе [1].
Теорема 4. Для любой случайной величины де (0,1) для системы управления (2) существует такая измеримая интегрально ограниченная при t & gt- t0 стохастическая п х п — матрица B (t), что модули всех собственных чисел матрицы а (Л, fc), fc _ 0,1,2,., соответствующей системе (2) с этой матрицей B (t), равны д.
Доказательство. Если в системе управления (2)
B (t) _ -A (t) + _(t, t0 + (fc + 1) Л)^при te[t0 + fcft, t0 + Л),
то а (Л, fc) _ дЕ, fc _ 0,1,2,. Модули всех собственных чисел этой матрицы а (Л, fc) равны 1.
Далее рассмотрим другую замкнутую нестационарным линейным дискретным регулятором стохастическую линейную нестационарную систему управления
ppp _ C (t)y (t) + S (t)y (t0 + fcft), te[t0 + fcft, t0 + (fc + 1) Л), (3)
где t & gt- t0, t0e1, fc _ 0,1,2,., Л — та же положительная случайная величина, что и в системе (2), абсолютно непрерывная при t & gt- t0 случайная векторная функция y (t)eftn- C (t), S (t) суть п х п -матрицы, элементами которых являются измеримые
интегрируемые случайные процессы, такие, что операторные нормы этих матриц интегрально ограничены некоторой неотрицательной случайной величиной при t & gt- t0, п -то же натуральное число, что и в системе (2).
Обозначим через Y (t, s) матрицу Коши (матрицант) соответствующей системе уравнений (3) однородной линейной системы обыкновенных дифференциальных уравнений dy (t)
dt
q (t)y (t).
Теорема 5. Если в системе управления (2)
B (t)= -A (t)+X (t, t0 + (к + 1) h)Y (t0 + (к + l) h, t)(C (t)+D (t)) при
te[t0 + kh, t0 + (к + 1) h), к = 0,1,2,…, (4)
то тогда общее решение x (t, t0, х0) системы уравнений (2) и общее решение y (t, t0, у0~) системы уравнений (3) таковы, что
x (tg, t0, Х0) = y (tg, t0, Х0) при к = 1,2,… (5)
Доказательство. Применяем лемму 1 работы [1] к системе управления (2) с матрицей B (t), имеющей вид (4), и применяем эту же лемму к другой системе управления (3). В результате этих применений леммы устанавливаем, что действительно выполняются равенства (5) с вероятностью 1.
Заметим в заключение, что, согласно лемме 2 работы [1], из глобальной асимптотической устойчивости по А. М. Ляпунову с вероятностью 1 нулевого решения (y (t) = 0) стохастической системы дифференциальных уравнений (3) при выполнении равенств (5) следует глобальная асимптотическая устойчивость по А. М. Ляпунову с вероятностью 1 нулевого решения (x (t) = 0) системы уравнений (2).
Литература
1. А. Е. Гурьянов — Стабилизация стохастической системы управления линейным дискретным регулятором //Вестник Санкт-Петербургского ун-та. -1999. — Сер 1, вып. 2 (№ 8). — С. 14−19.
2. А. Е. Гурьянов — Стабилизируемость линейной стохастической системы управления линейным дискретным регулятором//Устойчивость и процессы управления: Материалы III международной конференции (Санкт-Петербург, 5 — 9 октября 2015 г.)/Под ред. А. П. Жабко, Л. А. Петросяна. СПб.: Издательский дом Федоровой Г. В.- 2015.- С. 267−268.

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой