Нестационарные режимы излучения акустических волн пьезокерамическим слоем, который контактируетс идеальной сжимаемой жидкостью и ограничен жесткой поверхно

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Механика


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

ЭЛЕКТРОННЫЙ НАУЧНЫЙ ЖУРНАЛ «ДРтот. СЕРИЯ: ЕСТЕСТВЕННЫЕ И ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ»
№ 1 2015
УДК 539. 3
НЕСТАЦИОНАРНЫЕ РЕЖИМЫ ИЗЛУЧЕНИЯ АКУСТИЧЕСКИХ ВОЛН ПЬЕЗОКЕРАМИЧЕСКИМ СЛОЕМ, КОТОРЫЙ КОНТАКТИРУЕТ С ИДЕАЛЬНОЙ СЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТЬЮ И ОГРАНИЧЕН ЖЕСТКОЙ ПОВЕРХНОСТЬЮ
Бабаев Александр Арташесович
канд. физ. -мат. наук
Штефан Наталья Ильинична
канд. тех. наук
Гнатейко Нонна Валентиновна
канд. тех. наук Киевский политехнический институт, Киев (Украина) аи^ог@аргюг1-]оигпа! ги
Аннотация. Данная статья посвящена нестационарным режимам излучения акустических волн пьезокерамическим слоем, который контактирует с идеальной сжимаемой жидкостью и ограничен жесткой поверхностью. Выполнена постановка и метод решения задачи. Получены формулы для определения физических характеристик исследуемого переходного процесса.
Ключевые слова: пьезокерамический слой- преобразование по Лапласу- электроупругость- акустическая среда.
THE NONSTATIONARY MODES OF RADIATION OF ACOUSTIC WAVES A PIESOCERAMIC LAYER WHICH CONTACTS TO THE IDEAL COMPRESSED LIQUID AND IT IS LIMITED BY A RIGID SURFACE
Babaev Alexander Artashesovich
candidate of physical and mathematical sciences
Shtefan Natal'-ja Il'-inichna
candidate of technical sciences
Gnatejko Nonna Valentinovna
candidate of technical sciences Kyiv Polytechnic Institute, Kyiv (Ukraine)
Abstract. This article is devoted to the non-stationary modes of radiation of acoustic waves by a piezoceramic layer which contacts to the ideal compressed liquid and is limited by a rigid surface. Setting and a method of the solution of the task is executed. Formulas for determination of physical characteristics of the researched transient phenomenon are received.
Key words: piezoceramic layer- conversion according to Laplace- electroelasticity- acoustic environment.
1. Постановка задачи. Рассматривается бесконечно длинный в продольном направлении пьезокерамический слой, который контактирует с идеальной сжимаемой жидкостью и возбуждается нестационарными электрическими импульсами, которые подводятся непосредственно на
токопроводящие поверхности. Считается, что пьезокерамический слой (рис. 1) поляризован в радиальном направлении и имеет толщину, контактирует с идеальной сжимаемой жидкостью толщиной к2 плотностью р и скоростью звука с.
& lt-
Рис. 1.
При описании переходных процессов в данной гидроэлектроупругой системе используется соотношения линейной теории связанной электроупругости и акустического приближения. С учетом сделанных предположений исходная система включает в себя уравнение движения пьезо-керамического слоя
Э Ч «2 Э V
Эг7
— а
Э/2
= 0,
(1)
где, а =
2 _ рт?33С
Е „б, 2
Се + 4 ,
уравнение вынужденной электростатики (уравнение Максвелла)
Э2 у.е.зз Э Ч _
Эг2
е'-з Ъг
_ 0,
(2)
механического напряжения, которое возникает в пьезокерамическом слое
_ С
Е 33
Эй.
Эг
+ в
зз
ЭУ
ЭГ
(3)
волнового уравнения
Э 2ф _ 1 Э2 ф
Эг2 с2 Э/2
соотношения между гидродинамическим давленим и волновым потенциалом:
Эф
Р __Ро
Ъ1
(5)
где ф — потенциал скорости. Напряженность Ег, индуктивность О и перемещения, которые возникают в пьезокерамическом слое связаны следующими соотношениями
ЭУ
г Эг '-
__ а эу Эи,
(6)
(7)
Эг Эг
Постановку задачи (1)-(7) необходимо дополнить граничными условиями. Перемещения, которые возникают на жесткой поверхности равны нулю (г = 0)
_ 0. (8)
Также выполняется условие равенства скоростей в пьезокерамическом слое и идеальной сжимаемой жидкости (на поверхности пьезоке-рамического слоя г = 1п1)
Эи“ Эф
Э1
г1
Эг
г1
(9)
Равенство механического напряжения в пьезокерамическом слое и гидродинамического давления в месте контакта с жидкостью (г = 1п1)
о
г _Ь[
(10)
г_Ъ1 _ Р
и условие которое обеспечивает равенство нулю на жесткой поверхности скорости (г = 1п1 + Л2) которая распространяется в жидкость
Эф
Эг
г1 + Ь2
_ 0
(11)
На токопроводящие покрытия пьезокерамического слоя подается
нестационарный электрический сигнал 0(0.
4
0 — -ак)н (Ъ у и (о
(12)
где — единичная функция Хевисайда.
Начальные условия — нулевые.
2. Решение задачи. Решение задачи находилось с применением интегрального преобразования Лапласа по времени. В пространстве изображений исходная система уравнений (1)-(7) и граничные условия (8)-(12) принимают вид (отметим, что в дальнейшем постановка задачи и ее решение было выполнено с учетом безразмерных коэффициентов согласно которым величины и2, Ь1,1п2, г отнесены к толщине слоя жидкости Ь1: и, Ф — к Ь2/бзз- Р, о2 — к рс2- ф, — к Л2с- Е — до 1/бзз- t -к Ь2/с- - е5зз/бзз):
д и2
дг2
а2 5 X = 0,
д 2У1 дг2
а
— Ь
д2−1
д (
С33 ди
ит = 0, где Ь — ^^
33
?
33
ь
рс дг рс ё33 дг
Ь
э& gt-
дг2
и»
52рЬ — 0 — 0
г-0
5Ы"


др1
г-Ъ[
дг
г-Ъ[
др
г-?1 Ь
Р
г-?1
г — Ьу + ?2
— 0
дг
г- 0 --01 (5), ^ г-?-01 (5)
13)
14)
15)
16)
17)
18)
19)
20) 21)
Тут индексом ^ обозначены соответствующие трансформанты, 5 — параметр преобразования по Лапласу. Из системы уранений (13)-(21) получим формулы для:
нормального перемещения пьезокерамического слоя
ыгь = С1 (б)-е352 + С21 (б)-е~а5(1 — 2) (22)
5 5
электрического потенциала
?1 = Ь
СЧ (б) — е~а52 + СЧ (б) — е~а5(А-2) + С51 (б) 2 + С6Ь (б) б
(23)
механического напряжения пьезокерамического слоя
а1г = -таСЧ (Б)е~а52 + таСЧ (б3*1- - 2) + пСЧ (б), (24)
С3Е3е3 + & amp- 4
где т = 2 Б, п = -?рт-
рс Е33 — С Е33
волнового уравнения
рь = СЪ1 (б)-е Б (2-ю + С41 (б)-е Б (1 + 12 — 2) (25)
Б Б
и гидродинамического давления
рь = -С31 (б)е-Б (2-^ - С41 (Б)е Б (1+112−2). (26)
После подстановки полученных соотношений (22)-(26) в трансформированные по Лапласу граничные условия (17)-(21) получим систему пяти уравнений относительно неизвестных функций С2ь (б), 03ь (б), 04ь (б), 05Ь (8), Об
СЧ (б) + СЧ (Б) = СЧ (Б)е 3512 + СЧ (Б)е 2аБ1
таСЧ (б) — СЧ (б) + пС (б) = С1-(Б)е 512 — таСЧ (Б)е2а51а, (27)
СЧ (Б) = С!(Б)е-5112, СЧ (Б) = -П1 (Б) ,
С2Ь (Б) — + С5 (Б)1- + СЦ (Б) = а 1 (Б) + ЬС2ь (Б) — е-2 3511.
При решении системы уравнений (27) и нахождения неизвестных функций С2ь (в), С3ь (в), С4ь (в), С5ь (в), С6ь (з) возникает необходимость раскрытия определителя в явном виде. Это связано с математическими трудностями принципиального характера. Предлагается выполнить инверсию каждого уравнения — непосредственно, и удовлетворить граничным условиям в пространстве оригиналов. В результате система уравнений (27) будет иметь вид:
С2(1) + Съ (!) = С4(1 — аЬ,) + С2(1 — 2аЬ,), таС2 (0 — Сз (0 + лС5 (0 =- К,) — таС2 ^ - 2аЬ1), (28)
С4(0 = Сз (1-к,), С6(1) = -П (1),
? 1−2 аЬ1
I С2(т)ёт+ С5({)Ь + Сб (г) = т + Ь | С2(т)ёт.
0 0 Система уравнений (28) была получена с использованием теоремы
про свертку оригиналов и таблиц операционного исчисления [5]. Полученная система интегральных уравнений (28) может быть решена численно путем разбиения временного интервала на отрезки и использования на каждом шаге по t метода квадратурных формул [3]. Сдвиг в аргументах у неизвестных которые входят в правые части уравнений позволяют находить решения уравнений шаг за шагом, независимо. В результате находятся неизвестные функции С2(У, С3(У, С4(^, С5(^, Сб (У. После их нахождения определяются физические характеристики исследуемого переходного процесса, такие как: гидродинамическое давление
р (I) = -Сз (1 — Ь — Ъ + г) — С4(1 — г + Ь,)
(30)
перемещения пьезокерамического слоя
*) = С™ С1(т)^т + С2(т) ёт (31)
и механического напряжения пьезокерамического слоя
г) = -таС (^- аг) + таС2(^- а (Ь — г)) + лС5(()
Список использованных источников
1. Верлань А. Ф., Сизиков В. С. Методы решения интегральных уравнений с программами для ЭВМ. Киев: Наукова думка, 1978. 291 с.
2. Головчан В. Т., Кубенко В. Д., Шульга Н. А., Гузь А. Н., Гринченко В. Т. Пространственные задачи теории упругости и пластичности: В 6-ти т. Т. 5. Динамика упругих тел. К.: Наукова думка, 1986. 286 с.
3. Градштейн И. С., Рыжик И. М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М.: Физматгиз, 1962. 108 с.
4. Гринченко В. Т., Улитко А. Ф., Шульга Н. А. Электроупругость. Т. 5. Механика связанных полей в элементах конструкций. Киев: Наукова думка, 1989. 280 с.
5. Диткин В. А., Прудников А. О. Справочник по операционному исчислению. М.: Высшая школа, 1965. 466 с.
6. Пьезокерамические преобразователи / под ред. С. И. Пугачева. Л.: Судостроение, 1984. 256 с.
7. Слепян Л. И. Нестационарные упругие волны. Л.: Судостроение, 1972. 374 с.

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой