Свертки по рангам и кватернионным типам в алгебрах Клиффорда

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Физико-математические науки


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ. -мат. науки. 2015. T. 19, № 1. С. 117−135
ISSN: 2310−7081 (online), 1991−8615 (print) doi: http: //dx. doi. org/10. 14 498/vsgtu1387 УДК 517. 958
СВЕРТКИ ПО РАНГАМ И КВАТЕРНИОННЫМ ТИПАМ В АЛГЕБРАХ КЛИФФОРДА
Д. С. Широков12
1 Институт проблем передачи информации им. А. А. Харкевича РАН,
Россия, 127 994, Москва, Б. Каретный пер., 19.
2 Московский государственный технический университет им. Н. Э. Баумана,
Россия, 105 005, Москва, 2-я Бауманская ул., 5/1.
Аннотация
В работе рассмотрены выражения в вещественных и комплексных алгебрах Клиффорда, называемые свертками или усреднениями. Свертка берется от произвольного элемента алгебры Клиффорда, при этом ведется суммирование по различным элементам фиксированного базиса алгебры Клиффорда. Рассмотрены четные и нечетные свертки, свертки по рангам и свертки по кватернионным типам. Представлена связь сверток с операциями проецирования на выделенные подпространства алгебры Клиффорда — четное и нечетное подпространство, подпространства фиксированных рангов и подпространства фиксированных кватер-нионных типов. С помощью метода сверток дано решение различных систем коммутаторных уравнений в алгебрах Клиффорда. Особое внимание уделено двум частным случаям — случаям коммутатора и антикоммутатора. Полученные результаты могут применяться при изучении различных уравнений теории поля — уравнений Янга-Миллса, простейшего полевого уравнения и других.
Ключевые слова: алгебры Клиффорда, свертки, операции проецирования, кватернионный тип.
doi: http: //dx. doi. org/10. 14 498/vsgtu1387
Введение. Алгебра Клиффорда была предложена в 1878 году У. Клиффордом [1]. В своих исследованиях он объединил идеи, связанные с кватернионами Гамильтона [2] и внешней алгеброй Грассмана [3]. В дальнейшем алгебра Клиффорда развивалась усилиями многих известных математиков — Р. Липшицем [4], Э. Картаном, Э. Уиттом, К. Шевалле [5], М. Риссом и другими. Существенное влияние на развитие теории алгебр Клиффорда оказало открытие уравнения Дирака для электрона в 1928 году [6]. В настоящее время алгебры Клиффорда широко применяются в различных разделах современной математики и физики — теории поля [7,8], робототехнике, небесной механике, обработке сигналов и изображений, вычислительной технике, химии, геометрии.
© 2015 Самарский государственный технический университет.
Образец для цитирования
Широков Д. С. Свертки по рангам и кватернионным типам в алгебрах Клиффорда // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ. -мат. науки, 2015. T. 19, № 1. С. 117−135. doi: 10. 14 498/vsgtu1387.
Сведения об авторе
Дмитрий Сергеевич Широков (к.ф. -м.н.- dm. shirokov@gmail. com), научный сотрудник, лаб. 7 «Обработка биоэлектрической информации"1- доцент, каф. ФН-1 „Высшая математика"2.
117
Широков Д. С.
В настоящей статье мы рассматриваем выражения в алгебре Клиффорда вида
^ eAUeA, ea = (eA)-1,
лея
где eA — элементы базиса алгебры Клиффорда, S есть подмножество множества I всех упорядоченных мультииндексов A длины от 0 до п. Будем называть такие выражения свертками, или усреднениями, в алгебре Клиффорда.
Отметим, что метод сверток напрямую связан с методом усреднения в теории представлений конечных групп [9,10].
В работе автора [11] изучены полные свертки (случай S = I), простые свертки (множество S состоит из одного элемента) и свертки по сопряженным наборам мультииндексов.
В настоящей работе продолжено изучение сверток в алгебрах Клиффорда. Рассматриваются четные и нечетные свертки (когда множество S содержит мультииндексы четной или нечетной длины), свертки по рангам (участвуют мультииндексы фиксированной длины), свертки по кватернионным типам. Доказываются теоремы о связи различных сверток с проекциями на выделенные подпространства алгебры Клиффорда.
Даны решения систем коммутаторных уравнений в алгебрах Клиффорда
eAX + eXeA = qA, A e S С I, e e C {0}
для неизвестного элемента X e C?(p, q) и известных элементов qA e C?(p, q).
Техника сверток напрямую связана с изучением различных уравнений теории поля. Так, в работе [12] рассматривается простейшее полевое уравнение и с помощью техники сверток найдено его общее решение. Там же с помощью техники сверток предложен новый класс решений уравнений Янга- Миллса.
В работе [13] рассмотрены обобщенные свертки, построенные по двум наборам антикоммутирующих элементов алгебры Клиффорда. С помощью обобщенных сверток дано обобщение теоремы Паули [14] на случай алгебры Клиффорда [13] и решен ряд вопросов о связи спинорных и ортогональных групп [15−17].
1. Вещественные и комплексные алгебры Клиффорда, кватернионный тип элемента. Рассмотрим комплексную алгебру Клиффорда C?(p, q) (или вещественную C? R (p, q)), где p + q = n, n ^ 1. Построение алгебры Клиффорда подробно приведено в [18] и [19]. Будем называть размерностью алгебры Клиффорда C?(p, q) число n, хотя ее размерность как линейного пространства равна 2n.
Единичный элемент обозначим через e, а генераторы алгебры Клиффорда C?(p, q) через ea, a = 1,…, п. Генераторы удовлетворяют определяющим соотношениям
eaeb + ebea = 2pabe,
где n = ||nab|| = llnab|| = diag (1,…, 1, -1,…, -1) — диагональная матрица с p единицами и q минус единицами на диагонали. Элементы
eai. -ak = eai … eak, a1 & lt- … & lt- ak, k = 1,…, n,
118
Свертки по рангам и кватернионным типам в алгебрах Клиффорда
вместе с единичным элементом e образуют базис алгебры Клиффорда. Всего имеется 2n элементов базиса.
Через I будем обозначать множество мультииндексов длины от 0 до n I = {-, 1, …, n, 12, 13, …, 1 … n},
где через — обозначен пустой мультииндекс, соответствующий единичному элементу алгебры Клиффорда. Итак, мы имеем базис алгебры Клиффорда {eA, A Е I}, где A есть произвольный упорядоченный мультииндекс. Обозначим длину мультииндекса A через |A|.
Будем рассматривать различные подмножества S С I:
iEven = {A Е I, |A| - четно}, Iodd = {A е I, |A| - нечетно},
Ik = {A е I, |A| = k}, k = 0,1,…, n,
Ik = {A е I, |A| = k mod 4}, k = 0,1, 2, 3.
Индексы опускаются и поднимаются с помощью матрицы п, т. е. ea = Паьеь, ea = паЬеь. Мы пользуемся соглашением Эйнштейна о суммировании по повторяющемуся нижнему и верхнему индексу. Имеем
eai… ak = naibi … Пакькebk … ebl = eak … eax = (eab& quot-ak)-1, ai & lt- … & lt- ak.
Произвольный элемент алгебры Клиффорда U Е Cl (p, q) может быть записан в виде
U = ue + Uaea +2 Ua1a2eaia2 + … + Mi… neL"-n = u^eA, ai& lt-a2
где {ua} = {u, ua, uaia2, …, ui… n} - произвольные комплексные (или вещественные) константы.
Обозначим через Clk (p, q) векторные подпространства, натянутые на элементы eai… ak. Элементы C? k (p, q) называются элементами ранга k. Имеем
Cl (p, q) = ® Clk (p, q), dimC4(p, q) = СП = ^(J- k).
Рассмотрим проекционные операторы на подпространства Clk (p, q)
Пк: Cl (p, q) ^ Clk (p, q), nk (U) = ^ Uai… akeai… ak.
ai& lt-… <-ak
Центром алгебры Клиффорда
cenCl (p, q) = {U Е Cl (p, q) | UV = VU VV Е Cl (p, q)} является следующее множество:
cen Cl (p, q) =
Cl0(p, q), если n четно-
Cl0(p, q) ® Cln (p, q), если n нечетно.
119
Широков Д. С.
Алгебра Клиффорда C?(p, q) является супералгеброй. Она может быть представлена в виде прямой суммы четного и нечетного подпространства:
C?(p, q) = C? Even (p, q) © C? odd (p, q), dim C? Even (p, q) = dim C? odd (p, q) = 2n-1, C? Even (, P, q) = 0 C? k (p, q), C? odd (p, q) = 0 C? k (p, q).
k-even k-odd
Представим алгебру Клиффорда C? R (p, q) как прямую сумму четырех подпространств кватернионных типов 0, 1, 2 и 3 (см. [20−22]):
C? R (p, q) = C? R (p, q) © C? R (p, q) © C? R (p, q) © C? f (p, q), (1)
где
C?|-(p, q) = 0 C? R (p, q), m = 0,1, 2, 3.
k=m mod 4
Соответствующие операции проецирования на подпространства алгебры Клиффорда фиксированного кватернионного типа обозначены через
: C?(p, q) ^ 6%(p, q), k = 0,1, 2, 3.
Обозначая для краткости C? R (p, q) через k, можем записать свойства для этих подпространств относительно действия коммутатора
[U, V] = UV — VU
и антикоммутатора
{U, V} = UV + VU
(см. более подробно [20,21]):
[k, k] С 2, {k, k} С 0, [k, 2] С k, {k, 0} C k, k = 0,1,2,3-
[0,I] C 3, [0, 3] С I, [T, 3] C 0, {I, 2} C 3, {T, 3} C 2, {2, 3} С T.
Комплексную алгебру Клиффорда C?(p, q) можно представить в виде прямой суммы восьми следующих подпространств:
C?(p, q) = 0 © I © 2 © 3 © i0 © iT © i2 © i3.
2. Свертки по рангам. Рассмотрим следующую свертку генераторов [18] в алгебре Клиффорда C?(p, q):
Fi (U) = ^ e^UeA = e"Ue“, U e C?(p, q).
Aeii
Теорема 1 [18]. Для произвольного элемента U e C?(p, q) имеем
n
Fi (U) = e"Ue» = ^(-1)k (n — 2k) nk (U).
k=0
120
Свертки по рангам и кватернионным типам в алгебрах Клиффорда
Отметим, что в работе [12] мы представили связь между сверткой генераторов и проекциями на подпространства алгебры Клиффорда фиксированного ранга. Используя эту связь, удалось предъявить класс новых решений уравнений Янга-Миллса.
Теперь рассмотрим более общие выражения (совпадающие с предыдущими при m = 1) -свертки по фиксированным рангам
Fm (U)=? eAUeA, Im = {A е I, |A| = m} m = 0,1,…, n.
Aeim
Теорема 2. Для произвольного элемента U е C?(p, q) имеем
n / m
Fm (U) =? eAUeA = ?(-1)km (?(- 1)^^-iMnk (U). (2)
AeIm k=0 '- i=0 '-
Заметим, что, используя свертку Вандермонда cm = ^(=0 СгкCrm_ki, можем записать
m
E (-i)ick cm-
i=0
m
C
2? ck cm-
i-odd
m
C
+ 2 T. ck cm-

i m- i k.
i-even
Доказательство. В силу линейности достаточно доказать следующую формулу для произвольного элемента базиса алгебры Клиффорда:
?
(ebi… bm)-Vi-. "-* e
bi& lt-… <-bn
m
?(-i)ick cm-, i
i=0
ai… ak
Пусть i — число совпадающих индексов в упорядоченных наборах, а … о, и bi… bm. Пусть для определенности k ^ m. Для каждого i будет c, cm-k различных наборов bi… bm. В каждом случае при перестановке местами элементов ebi… bm и eai… "-fc будем получать коэффициент (-i)km-i. Из этих соображений получаем нужную формулу. При k & lt- m получаем ту же формулу, т.к. c, = 0 для i & gt- k. ?
Приведем несколько примеров (m = 2, 3, 4, n):
ebib2 Uebib2
ebib2bs Uebib2b3
ebib2bsb4 Uebib2b3b4
ei… nUei… n
?(cn — 2k (n — k))nk (U^
k
?(-i)k (cn — 2(kcn-, + c, 3))nk (U),
k
?(cn — 2(kcn-k + (n — k) c3))nk (U),
k
?(-i)k (n+i4 (U).
Рассмотрим систему коммутаторных уравнений по рангам, сначала в частном случае — по генераторам. Верна следующая теорема.
121
Широков Д. С.
Теорема 3. Пусть элемент X? Cl (p, q) удовлетворяет следующей системе n уравнений для некоторых элементов qa? Clip, q):
[e°, X ]= qa, a = 1, 2,…, n.
Тогда система либо не имеет решения, либо имеет единственное с точностью до элемента центра решение вида
X
/
& lt-
Е
k= 1 n- 1
Е
k=1
nk (qaea)
(-1)k (n — 2k) — n nfc (qaea)
(-1)k (n — 2k) — n
+ Uo,
+ Uq +
если n четно, если n нечетно,
где Uo, Un -произвольные элементы рангов 0 и n соответственно.
Доказательство. Домножим уравнение справа на ea и просуммируем:
eaXea — Xeaea = qaea.
Отсюда получаем
^(- 1) k (n — 2k) nk (X) — nX = qaea.
k=o
Расписывая X = ^П=0 nk (X), получаем
^((-1)k (n — 2k) — n) nk (X) = ^ nk (qaea).
k=0 k=0
Выражение (-1)k (n — 2k) — n равняется нулю только при k = 0 и при k = n, если n нечетно. Отсюда получаем утверждение теоремы. ?
Теперь рассмотрим более общий случай, а именно систему Cm уравнений для неизвестного X? Cl (p, q) и известных qai. -am? Cl (p, q) (число m фиксировано) вида
eai… am x + eXeai… am = qai-am, A = ai … am? Im, e? C {0}.
Утверждение для общего случая довольно громоздко, поэтому опишем лишь сам метод решения таких систем уравнений, который лучше применять уже для конкретных m и e. В частности, при e = -1 и m = 1 получаем утверждение из предыдущей теоремы.
Домножая справа каждое уравнение системы на соответствующий обратный элемент и суммируя уравнения, получаем
eai… am Xe,
a1… am
+ eXeai-am eai… am = qai& quot-J
-& quot-¦ai … a^
m
Тогда
?(- 1) km У МЩ Cm--ink (X) + eXC
n
ai … am
eai … a
k=0
i=0
m
122
Свертки по рангам и кватернионным типам в алгебрах Клиффорда
Подставляя X = ^П=0 nk (X), получаем
m n
(-1)km E (-!)iCkcm-k + ecm) nk (X) = Е nk (qai^me0l… am).
k=0 v i=0 '- k=0
Далее действуем так же, как при доказательстве предыдущей теоремы. Система либо не будет иметь решения (в зависимости от элементов qai-am), либо будет иметь решение, расписанное через сумму различных проекций. При этом решение будет единственным с точностью до прибавления произвольных элементов некоторых рангов. Эти ранги к определяются тем, при каких к выполнено
(-i)k'-mE (-i)ici cn-k+cc,
i=0
0
и зависят, таким образом, от n, m и c.
3. Четные и нечетные свертки. В работе [11] были рассмотрены полные свертки F (U) = eAUeA. Они проецируют произвольный элемент алгебры
Клиффорда на центр:
F (U) = 2П eAUeA
no (U), если n четно-
n0(U)+ nn (U), если n нечетно.
Теперь рассмотрим четные и нечетные свертки:
FEven (U) = 2П-Г Е eAUeA, FOdd (U) = 2П-Г Е eAUeA.
AGIe ven AGlOdd
Теорема 4. Для произвольного элемента алгебры Клиффорда U G C?(p, q), n = p + q имеем
FEven (U) = 2П-1 Е eAUeA = n0(U) + nn (U), (3)
AgIe ven
Fodd (U) = 2n-T Е eAUeA = n0(U) + (-1)n+Vn (U).
AGlOdd
Рассматриваемые операторы являются проекторами FEven = FEven, FOdd = = Fodd. В случае нечетного n имеем F = FEven = Fodd. В случае четного n имеем F = 2(FEven + Fodd).
До ка з, а т е л ь с т в о. В силу линейности достаточно проверить, как действуют рассматриваемые свертки на произвольный элемент алгебры Клиффорда фиксированного ранга Uk G C? k (p, q), k = 0,…, n. Случай k = 0 тривиален, т.к.
Е eAeA = Е eAeA = 2n-1.
AGIe ven AGlOdd
В случае нечетного k = n элементы ранга n лежат в центре, поэтому
Е eAe1… neA = Е eAeL"neA
AgIe ven AGlOdd
2 n- 1 e 1 … n
123
Широков Д. С.
В случае четного k = n элемент eL& quot-n антикоммутирует со всеми нечетными элементами алгебры Клиффорда и коммутирует со всеми четными элементами алгебры Клиффорда, поэтому
2 еле1-пеА AgIe ven
2 елe1& quot-'-neA Aeiodd
2n-iei… n
Для всех остальных рангов k = 1,…, n — 1 можем воспользоваться (2), просуммировать по всем четным (или нечетным) m, перегруппировать слагаемые и получить
2 eAUk еА
agIe ven
г
nk
Е °k (Е сп
n '- Ч-even
Е сVЕ с
г-odd
г
nk
г odd
Uk =
= (2k-12
k-1r& gt-n-k- 1 _ 2k- 12п- k- 1
L) Uk = 0,
2 eAUkeA
AGlOdd
(-i)'((Е cj)(Е c-k) —
'- '-i-even '- -odd '-
— (Е ck) (Е c-k
-odd '- ч-even
Uk =
= (-1)k (2
k- 1 2n-k- 1
— 2k-12n-k-1)uk = 0.
Теорема доказана. ?
Теорема 5. Для произвольного элемента U & lt-Е C?(p, q) в случае четного n = p + q имеем
по (U) = 2n (Е eAUeA + Е eAUeA) = 2neAUeA,
'-AgIe ven AGlOdd
nn (U) = 2n.{ Е eAUeA — Е eAUeA
AgIe ven AGlOdd
Доказательство. Используя (3), получаем утверждение теоремы.? Итак, в случае четного n проекцию элемента на подпространства рангов 0 и n можно получить как линейную комбинацию двух рассматриваемых сверток. Если n нечетно, то можем получить только проекцию на центр (с помощью любой из трех рассматриваемых сверток):
Пcenter (U)
1
2 n-1
eAUeA
agIe ven
1
2n-1
eAUeA
AGlodd
1
2n
eAUeA,
где ncenter — проекция на центр алгебры Клиффорда.
124
Свертки по рангам и кватернионным типам в алгебрах Клиффорда
Теперь рассмотрим системы коммутаторных уравнений по четным и нечетным мультииндексам.
Теорема 6. Пусть элемент X? C?(p, q) удовлетворяет следующей системе 2n-1 уравнений для некоторых элементов qA? C?(p, q):
eAX + eXeA = qA, |A| - even, e? C {0}.
Тогда в случае e = -1 (случай коммутатора) система либо не имеет решения, либо имеет решение (единственное с точностью до прибавления произвольных элементов рангов 0 и n):
X = - 2 n-1 Y qAeA + Uo + U",.
A-even
В случае e = -1 система либо не имеет решения, либо имеет единственное решение:
X=
1
2n-1e
Y qAeA
1
(no (qAeA) + n",(qAeA)).
A
A — even
(e +1)
Доказательство. Имеем
Y eAXeA + eX Y eAeA = Y qA eA,
A-even A-even A — even
откуда
2n-1(no (X)+ nn (X)) + e2n-1X = Y q^
A- even
Расписывая элемент по рангам X = Y^n=onk (X), получаем решение. ?
Теорема 7. Пусть элемент X? C?(p, q) удовлетворяет следующей системе 2n-1 уравнений для некоторых элементов qA? C?(p, q):
eAX + eXeA = qA, |A| - odd, e? C {0}.
Тогда в случае e = -1 (случай коммутатора) система либо не имеет решение, либо имеет решение (единственное с точностью до прибавления элементов заданных рангов) вида
X = - 2п=л (Y qAeA- 2nn (Y qA+ Uo
A — odd A — odd
в случае четного n и
X = - 2n-1 Y qAeA + U0 + Un
2 A- odd
в случае нечетного n.
125
Широков Д. С.
В случае е = 1 (случай антикоммутатора) система либо не имеет решения, либо имеет решение вида (единственное с точностью до прибавления элементов заданных рангов) вида
X = Mr) E qAeA — 2 ME qAeA)) + Un
| A | - odd
| A | - odd
в случае четного n и
| A|- odd
X = 2n-г (E qAeA-1 n°(E qAe^ - 2 ME qAeA
| A | - odd
| A|- odd
в случае нечетного n.
В случае е = ±1 система либо не имеет решения, либо имеет единственное решение вида
X = 2n-ME qAeA- 7ТГ M E qAeE + ME qAeA
2n-le^'-1 «A е + 1'- 4
| A | - odd | A| - odd
в случае четного n и
1
X = 2n-M E qAeA — 7+7M E qAeE — ТЛME qAeA
2n- 7 V ^ & quot- „A е + 1'- 4
| A | - odd |A| -odd
в случае нечетного n.
Доказательство. Имеем
A
1
|A|- odd
|A|- odd
^ eAXeA + eX ^ eAeA = ^ qAeA. |A|-odd |A|-odd |A|-odd
Отсюда в случае четного n имеем
n-1
2n 1 ((e + 1) no (X) + (e — 1) nn (X)) + e2n 1^nfc (X)= ^ qAeA,
k=1 |A| -odd
а в случае нечетного n
n1
2n-4 (e + 1) no (X) + (e + 1) nn (X)) + e2n- 1? nk (X) =? qAeA.
k=1 |A| -odd
Рассматривая всевозможные случаи, получаем утверждение теоремы. ?
4. Свертки по кватернионным типам. Несложно подсчитать размерности подпространств (1) кватернионных типов dm (n) = dim (p q) = E k
m = 0,1, 2, 3:
do (n)
2n-2
n — 2
+ 2 2 cos
nn
T,
d1(n)
2n 2
n — 2
+ 2 2 sin
nn
T,
126
Свертки по рангам и кватернионным типам в алгебрах Клиффорда
d2(u) = 2n 2 — 2П22 cos ПП, d3(u) = 2n 2 —22 sin nu.
4
4
Будем рассматривать следующие свертки по кватернионным типам (нормировать на множители dm (n) в дальнейшем иногда не будем):
Fo (U) =
1
1
do (n)
1
Е Fl (U) = Х7Х Е eAUe*'-
Aein
di (u) 1
AeiT
F2(u) = ^ E e*UeA. F5(u) =E e*UeA.
Ae%
d3(u)
AeI3
Теорема 8. Пусть Uk — элемент алгебры Клиффорда Gt (p, q) ранга к. При
k = 1…, u — 1 свертки '-равны следующим величинам:
ETT A (пк ППТТ
eAUkeA = 2 2 cos^-----)Uk.
де%
AeiT
E eAUkeA = (-1)k+12"f2 sin (*4 — =)Uk.
Err A n-f /пк nnTT
eAUkeA = -2 2 cos (------)Uk.
Ae%
24
E a / n-2. (пк nu
eAUkeA = (-1)k2 2 sm^--------J Uk
Aei3
(4)
При к = 0 и к = u имеем (для m = 0.1. 2. 3)
E eAeA = dm (u)e. E eAe1& quot-'-neA = (-1)m (n+1)dm (u)e1& quot-'-n. (5)
AeIm AeIm
Заметим, что формулы (5) не являются частным случаем формул (4). Как следствие теоремы, имеем следующие формулы для сверток по кватернионным типам от произвольного элемента алгебры Клиффорда U? G?(p. q):
3
AeIn
X eAUeA = XX ^ COs (T — ^)*k (U) + 2n ^*0(U) + *n (U^.
k=0
E eAUeA = E (-Dk+12H2 sin (f ^)4(U)+
AeIT k=o
+ 2n-2(no (U) + (-1)n+1 nn (U)). (6)
E eAUeA = E -2& quot- 2 COKl“ — t) nk (U) +2n 2 (п0(U) + *n (U))
AeI2
k=o
127
Широков Д. С.
Е tAUe* = ЕМ)*2f2 sin (П
Aelg k=о
тт
т
ч (U)+
+ 2n-2 (MU) + (-1)n+1nn (U)).
Доказательство. Формулы для рангов k = 0 и k = n очевидны и следуют из формул для размерности соответствующих подпространств. Для остальных к = 1,…, n — 1, используя (2), имеем
E^AUk eA = ((? СШ Е C%n-k) —
A€% '- '-i=0 mod 4 4=0 mod 4
— (Е сй (? С-*) + (Е ci)(? cn-k
4=1 mod 4 4=3 mod 4 '- 4=2 mod 4 '- 4=2 mod 4
— (Е с0(Е с-0)Uk =
4=3 mod 4 4=1 mod 4
= (d0(k)d0(n — k) — d1(k)d3(n — k) + d2(k)d2(n — k) — d3(k)d1(n — k)) Uk.
Далее, пользуясь формулами для коэффициентов и тригонометрическими тождествами, получаем первое из утверждений теоремы. Остальные случаи рассматриваются аналогично. ?
Согласно доказанной теореме, свертки по мультииндексам фиксированных кватернионных типов сводятся к операциям проецирования на подпространства кватернионных типов и операциям проецирования на ранги 0 и n. Однако в случае четного n верно и обратное: можно выразить операции проецирования на подпространства кватернионных типов через четыре рассматриваемые свертки и две дополнительные свертки по рангам 0 и n. А именно, имеет место следующая теорема.
Теорема 9. Для произвольного элемента U & lt-Е C?(p, q) в случае четного n = p + q имеем
п0(U)
3
2 -2^ ?(-1)k cos
k=0
nk
Т
~д) Е eAUeA + 2 2(U + e1… nUe1… n),
.. — n-2 у-л (irk
n (U) = 2 2 E sin (- k=0 2
Щ (U) = 24−2 E (& quot-1)kcos (Y
k=0 2
mu) =2 -- Е (-1) si4ik k=0 2
Е eAUeA + 2−2(U — e^Ue1^),
AeIk
— M) Е eAUeA + 2−2(U + el… nUe1"-jn)
AeIk
— T) Е eAUeA + 2−2(U — e^Ue1^).
AeIk
5
Доказательство. Добавляем к рассматриваемым выше четырем урав-
128
Свертки по рангам и кватернионным типам в алгебрах Клиффорда
нениям (6) два следующих уравнения:
3 3
eUe =? nk (U), e1… nUe1"-.n = ?(-1)k nk (U).
k=0
k=0
Получающаяся квадратная матрица размера 6 рассматриваемой линейной системы уравнений имеет вид
(2 V cOs (22t)
2 — sin ()
ПП
4
nn) 4) nn) 4)
1
-1
(nn)
(ф)
i (nn) s (ПП)
-2& quot-- 2 cos (пп) -2 n22 sin (n4n) 2n-2 2n-2
n 2 4 -2 2 sin (nn) n 2 4 n 2 4 -2cos (Пт) n 2 4 2n-2 -2n-2
2cos (Щ) n 2 4 2 — sin (nn) n 2 4 2n-2 2n-2
2−2- sin (nn) 2cos (np) 2n-2 -2n-2
14 14 0 0
1 -1 0 0
Определитель этой матрицы равен
23n | cos
2(nn 2(nn
t) — sm4 t)
В случае нечетного n определитель равен нулю и матрица необратима. В случае n = 0 mod 4 определитель равен 23n, а в случае n = 2 mod 4 определитель равен -23n и матрица обратима. Можем записать в случае четного n, что определитель матрицы равен (-l)n/223n.
Обратная матрица имеет вид
-n-2
& lt- ПП N
-n-2
& lt- ПП '-
4 — 4 -22 sin (ni) 2-'-2- cos (En)
-2−2^ cos (П1) 2−2^ sin (П1)
-n-2
V
2-n
2-n
(nn '- (4)
-n-2
2-n -2-n
(nn)
-2 2 cos (nn) 2 n2 sin (np) n24 2−2 2−2
2- 2 sin (п1) -2 2 cos (ПР) n24 2−2 -2−2
2- 2 cos (щ1) -2 n2 sin (np) 2−2 2−2
-2 2 sin (np) 2 2 cos (П4р) 2−2 -2−2
2-n 2-n 0 0
2-n -2-n 0 0
Таким образом, получаем в случае четного n связь между проекциями на кватернионные типы и свертками, указанную в формулировке теоремы.? Заметим, что в случае нечетного n выписанная матрица необратима. Более того, имеем
e^UeA = e^UeA, У^ e^UeA = У^ e^Ue

а значит
e^UeA = 21? e^UeA +? e^UeA j = 2^? e^UeA +? e^UeA
Aein
Aei,
MeiT
Aei3
AeIo
2[^2 e^UeA + y^ e^UeA j = 2(y^ e^UeA + y^ e^UeA j. AeiT

Aei3
n- 2
n — 2
n2
n2
n2
n2
129
Широков Д. С.
Теперь рассмотрим системы коммутаторных уравнений по кватернион-ным типам, как это делалось выше для рангов, четных и нечетных сверток:
eAX + eXeA = qA, |A| = m mod 4, m = 0,1,2,3, e G C {0}.
В силу громоздкости получающегося утверждения в общем случае рассмотрим в следующий теореме только случай e = -1 (случай коммутатора). В других случаях система уравнений решается аналогично.
Теорема 10. Пусть элемент X G C?(p, q) алгебры Клиффорда размерности p + q = n ^ 5 удовлетворяет следующей системе уравнений для некоторых элементов qA G C?(p, q):
[eA, X]= qA, V|A| = m mod 4, m = 0,1,2,3.
Тогда система либо не имеет решения, либо имеет решение вида (единственное с точностью до прибавления указанных произвольных элементов фиксированных рангов)
v_ 1 П-1 Пк (Е|A|=0 mod 4 qAeA)
X — n-2 / v 1 n -2 + U0 + Un
2--- cos (f. — nn) — cos (nn) — 2---
в случае m = 0,
X=
n-1
E
Пк (Е|A|=1 mod 4 q eA)
2--2 k=1 (-1)k+1 sin (^ - nn) — sin (nn) — 2--2
Пп (Е|A|=1 mod 4 qAeA) 2n-1 +2- sin (nn)
+ Uo
в случае m = 1 и четного n,
Пк (E|A| = 1 mod 4 q eA)
n- 1
X = A- V —
2--2 k=1 (-1)k+1 sin (^ - nn) — sin (nn) — 2
n -2 2
+ U0 + Un
в случае m = 1 и нечетного n,
1
X
1
2
n -2 2
n- 1
E-
k=1 —
nk (E|A|=2 mod 4 qAeA) cos (f — nn) + cos (nn) — 2 --2
+ U0 + Un
в случае m = 2,
1 n- 1
Пк (E|A|=3 mod 4 q eA)
X = -у V — _
2--2 k= (-1)k sin (f — nn) + sin (Tf) — 2--
Пп (E|A|=3 mod 4 qAeA) 2n-1 — 22 sin (nn)
+ U0
130
Свертки по рангам и кватернионным типам в алгебрах Клиффорда
в случае m = 3 и четного n,
X =
1 n- 1
-_2 ^ Л ---------Т 1------------------_- + Uo + Un
2 — k= (-1)k sin (f — ЛЛ) + sin (n) — 2-_-
nk (E|A|=3 mod 4 qAeA)
2 4 '- '- 4
в случае m = 3 и нечетного n.
Доказательство. Имеем для m = 0, l, 2, 3
?
eAXeA — X
?
eAeA
|A|=m mod 4 |A|=m mod 4
Пользуясь (4) и (5), получаем для случая m = 0
n1
?
|A|=m mod 4
qAeA.
2 — 1^ cos (
(nk nn
k=1
2
4
)nk (X) + (V 2 + 2V cos (-4-^no (X) +
+ (2n-2+2 V cos
(t))^)-(2n-2+2-r cos (^X = ?
|A|=o mod 4
qAeA.
В случаях m = l, 2,3 действуем аналогично. Далее рассматриваем всевозможные случаи. Заметим, что выражения, стоящие в формулировке теоремы в знаменателях, не обращаются в ноль ни для какого k при n ^ 5. ?
Отметим, что можно сформулировать аналог этой теоремы и для случая n ^ 4. В этом случае некоторые коэффициенты из доказательства предыдущей теоремы будут обнуляться для фиксированных рангов k. В таком случае решение будет содержать в качестве слагаемого вместо проекции на соответствующий ранг — произвольный элемент указанного ранга. Например, для m = 0 коэффициент обнуляется при n = 4 и k = 2:
/ nk
It
n
т
/7Г n
It
-2
-2 „2-
0,
а значит, вместо проекции 2 в качестве слагаемого будет присутствовать произвольный элемент U2.
Заметим, что в случае размерностей n ^ 3 понятие кватернионного типа совпадает с понятием ранга элемента алгебры Клиффорда, поэтому все сводится к рассмотрению коммутаторных уравнений по рангам (см. рассуждения в конце параграфа 2).
Заключение. В настоящей статье представлены и доказаны утверждения для сверток в алгебрах Клиффорда разного вида, построенных с помощью фиксированного базиса алгебры Клиффорда. Доказанные утверждения могут непосредственно применяться при решении уравнений в формализме алгебр Клиффорда, как это было сделано в работе [12] при изучении уравнений Янга-Миллса и простейшего полевого уравнения.
Заметим, что во всех теоремах настоящей статьи мы могли рассматривать не генераторы алгебры Клиффорда ea, а произвольный набор элементов алгебры Клиффорда ya? C?(p, q), который удовлетворяет определяющим соотношениям уaYb + YbYa = 2r]abe. Этот набор может порождать другой базис yA
131
Широков Д. С.
алгебры Клиффорда Cl (p, q), но в некоторых случаях нечетной размерности n этот набор может не порождать новый базис C?(p, q) (см. более подробно [13]). В работе [13] рассматриваются обобщенные свертки, построенные по двум таким наборам 7“, в».
Благодарности. Работа выполнена при поддержке Российского научного фонда (РНФ 14−11−687, Математический институт им. В. А. Стеклова).
ORCID
Дмитрий Сергеевич Широков: http: //orcid. org/0000−0002−2407−9601
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Clifford W. K. Application of Grassmann’s Extensive Algebra// American Journal of Mathematics, 1878. vol. 1, no. 4. pp. 350−358. doi: 10. 2307/2 369 379.
2. Hamilton W. R. II. On quaternions, or on a new system of imaginaries in algebra // Philosophical Magazine Series 3, 1844. vol. 25, no. 163. pp. 489−495. doi: 10. 1080/ 14 786 444 408 644 924.
3. Grassmann H. Die Lineale Ausdehnungslehre ein neuer Zweig der Mathematik. Leipzig: Verlag von Otto Wigand, 1844. xxxii+282 pp., Internet Archive Identifier: dielinealeausdeOOgrasgoog — Grassmann H. Die Lineale Ausdehnungslehre ein neuer Zweig der Mathematik. Cambridge: Cambridge University Press, 2012. xxxii+282 pp. doi: 10. 1017/CBO9781139237352
4. Lipschitz R. Untersuchungen uber die Summen von Quadraten. Bonn: Max Cohen und Sohn, 1886. 147 pp.
5. Chevalley C. Collected works. vol. 2: The algebraic theory of spinors and Clifford algebras / eds. Pierre Cartier and Catherine Chevalley. Berlin: Springer, 1997. xiv+ 214 pp.
6. Dirac P. A. M. The Quantum Theory of the Electron// Proc. R. Soc. (A), 1928. vol. 117, no. 778. pp. 610−624. doi: 10. 1098/rspa. 1928. 0023 — Dirac P. A. M. The Quantum Theory of the Electron / Special Theory of Relativity / The Commonwealth and International Library: Selected Readings in Physics, 1970. pp. 237−256. doi: 10. 1016/ b978−0-08−6 995- 1. 50 017-x.
7. Hestenes D., Sobczyk G. Clifford Algebra to Geometric Calculus. A Unified Language for Mathematics and Physics. Reidel Publishing Company, 1984. 314 pp.
8. Марчук Н. Г. Уравнения теории поля и алгебры Клиффорда. Ижевск: РХД, 2009. 304 с.
9. Dixon J. D. Computing Irreducible Representations of Groups // Math. Comp., 1970. vol. 24, no. 111. pp. 707−712. doi: 10. 2307/2 004 848.
10. Babai L., Friedl K. Approximate representation theory of finite groups// Foundations of Computer Science, 1991. pp. 733−742. doi: 10. 1109/sfcs. 1991. 185 442.
11. Shirokov D. S. Method of averaging in Clifford algebras, 2015. 15 pp., arXiv: 1412. 0246 [math-ph]
12. Marchuk N. G., Shirokov D. S. New class of gauge invariant solutions of Yang-Mills equations, 2014. 35 pp., arXiv: 1406. 6665 [math-ph]
13. Shirokov D. S. Method of generalized contractions and Pauli’s theorem in Clifford algebras, 2014. 14 pp., arXiv: 1409. 8163 [math-ph]
14. Pauli W. Contributions mathematiques a la theorie des matrices de Dirac // Annales de l’institut Henri Poincare, 1936. vol. 6, no. 2. pp. 109−136.
15. Широков Д. С. Обобщение теоремы Паули на случай алгебр Клиффорда// Докл. РАН, 2011. Т. 440, № 5. С. 1−4.
16. Широков Д. С. Теорема Паули при описании n-мерных спиноров в формализме алгебр Клиффорда// ТМФ, 2013. Т. 175, № 1. С. 11−34. doi: 10. 4213/tmf8384.
17. Широков Д. С. Использование обобщённой теоремы Паули для нечётных элементов алгебры Клиффорда для анализа связей между спинорными и ортогональными группами произвольных размерностей // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ. -мат. науки, 2013. № 1(30). С. 279−287. doi: 10. 14 498/vsgtu1176.
132
Свертки по рангам и кватернионным типам в алгебрах Клиффорда
18. Marchuk N. G., Shirokov D. S. Unitary spaces on Clifford algebras// Adv. Appl. Clifford Algebras, 2008. vol. 18, no. 2. pp. 237−254, arXiv: 0705. 1641 [math-ph]. doi: 10. 1007/ s00006−008−0066-y.
19. Lounesto P. Clifford Algebras and Spinors/ London Mathematical Society Lecture Note Series. vol. 239. Cambridge: Cambridge University Press, 1997. ix+306 pp. — Lounesto P. Clifford Algebras and Spinors (second edition) / London Mathematical Society Lecture Note Series. vol. 286. Cambridge: Cambridge University Press, 2001. ix+338 pp. doi: 10. 1017/ cbo9780511526022
20. Широков Д. С. Классификация элементов алгебр Клиффорда по кватернионным типам // ДАН, 2009. Т. 427, № 6. С. 758−760.
21. Shirokov D. S. Quaternion typification of Clifford algebra elements // Adv. Appl. Clifford Algebras, 2012. vol. 22, no. 1. pp. 243−256. doi: 10. 1007/s00006−011−0288−2.
22. Shirokov D. S. Development of the method of quaternion typification of clifford algebra elements // Adv. Appl. Clifford Algebras, 2012. vol. 22, no. 2. pp. 483−497, arXiv: 0903. 3494 [math-ph]. doi: 10. 1007/s00006−011−0304−6.
Поступила в редакцию 15/XII/2014- в окончательном варианте — 17/II/2015- принята в печать — 25/II/2015.
Vestn. Samar. Gos. Techn. Un-ta. Ser. Fiz. -mat. nauki
[J. Samara State Tech. Univ., Ser. Phys. & amp- Math. Sci. ], 2015, vol. 19, no. 1, pp. 117−135
ISSN: 2310−7081 (online), 1991−8615 (print) doi: http: //dx. doi. org/10. 14 498/vsgtu1387
MSC: 15A66, 70S15
CONTRACTIONS ON RANKS AND QUATERNION TYPES IN CLIFFORD ALGEBRAS
D. S. Shirokov1'2
1 A. A. Kharkevich Institute for Information Transmission Problems,
Russian Academy of Sciences,
19, Bolshoy Karetny per., Moscow, 127 994, Russian Federation.
2 N. E. Bauman Moscow State Technical University,
5/1, 2-ya Baumanskaya st., Moscow, 105 005, Russian Federation.
Abstract
In this paper we consider expressions in real and complex Clifford algebras, which we call contractions or averaging. We consider contractions of arbitrary Clifford algebra element. Each contraction is a sum of several summands with different basis elements of Clifford algebra. We consider even and odd contractions, contractions on ranks and contractions on quaternion types. We present relation between these contractions and projection
© 2015 Samara State Technical University.
How to cite Reference
ShirokovD. S. Contractions on ranks and quaternion types in Clifford algebras, Vestn. Samar. Gos. Tekhn. Univ., Ser. Fiz. -Mat. Nauki [J. Samara State Tech. Univ., Ser. Phys. & amp- Math. Sci. ], 2015, vol. 19, no. 1, pp. 117−135. doi: 10. 14 498/vsgtu1387. (In Russian)
Author Details
Dmitry S. Shirokov (Cand. Phys. & amp- Math. Sci.- dm. shirokov@gmail. com), Scientific Researcher, Lab. 7 «Bioelectric Information Processing"1- Assistant Professor, Dept. of Higher Mathematics2.
133
Широков Д. С.
operations onto fixed subspaces of Clifford algebras — even and odd subspaces, subspaces of fixed ranks and subspaces of fixed quaternion types.
Using method of contractions we present solutions of system of commutator equations in Clifford algebras. The cases of commutator and anticommutator are the most important. These results can be used in the study of different field theory equations, for example, Yang-Mills equations, primitive field equation and others.
Keywords: Clifford algebras, contractions, projection operations, quaternion type.
doi: http: //dx. doi. org/10. 14 498/vsgtu1387
Acknowledgments. This work was supported by Russian Science Foundation (RSF 14−1 100 687, Steklov Mathematical Institute).
ORCID
Dmitry S. Shirokov: http: //orcid. org/0000−0002−2407−9601
REFERENCES
1. Clifford W. K. Application of Grassmann’s Extensive Algebra, American Journal of Mathematics, 1878, vol. 1, no. 4, pp. 350−358. doi: 10. 2307/2 369 379.
2. Hamilton W. R. II. On quaternions, or on a new system of imaginaries in algebra, Philosophical Magazine Series 3, 1844, vol. 25, no. 163, pp. 489−495. doi: 10. 1080/ 14 786 444 408 644 924.
3. Grassmann H. Die Lineale Ausdehnungslehre ein neuer Zweig der Mathematik. Leipzig, Verlag von Otto Wigand, 1844, xxxii+282 pp., Internet Archive Identifier: dielinealeausdeOOgrasgoog — Grassmann H. Die Lineale Ausdehnungslehre ein neuer Zweig der Mathematik. Cambridge, Cambridge University Press, 2012, xxxii+282 pp. doi: 10. 1017/CBO9781139237352
4. Lipschitz R. Untersuchungen uber die Summen von Quadraten. Bonn, Max Cohen und Sohn, 1886, 147 pp.
5. Chevalley C. Collected works, vol. 2, The algebraic theory of spinors and Clifford algebras, eds. Pierre Cartier and Catherine Chevalley. Berlin, Springer, 1997, xiv+ 214 pp.
6. Dirac P. A. M. The Quantum Theory of the Electron, Proc. R. Soc. (A), 1928, vol. 117, no. 778, pp. 610−624. doi: 10. 1098/rspa. 1928. 0023 — Dirac P. A. M. The Quantum Theory of the Electron, Special Theory of Relativity, The Commonwealth and International Library: Selected Readings in Physics, 1970, pp. 237−256. doi: 10. 1016/b978−0-08−6 995−1. 50 017-x.
7. Hestenes D., Sobczyk G. Clifford Algebra to Geometric Calculus. A Unified Language for Mathematics and Physics. Reidel Publishing Company, 1984, 314 pp.
8. Marchuk N. G. Uravneniia teorii polia i algebry Klifforda [Equations of Field Theory and Clifford Algebras]. Izhevsk, Regulyarnaya i Khaoticheskaya Dinamika, 2009, 304 pp. (In Russian)
9. Dixon J. D. Computing Irreducible Representations of Groups, Math. Comp., 1970, vol. 24, no. 111, pp. 707−712. doi: 10. 2307/2 004 848.
10. Babai L., Friedl K. Approximate representation theory of finite groups, Foundations of Computer Science, 1991, pp. 733−742. doi: 10. 1109/sfcs. 1991. 185 442.
11. Shirokov D. S. Method of averaging in Clifford algebras, 2015, 15 pp., arXiv: 1412. 0246 [math-ph]
12. Marchuk N. G., Shirokov D. S. New class of gauge invariant solutions of Yang-Mills equations, 2014, 35 pp., arXiv: 1406. 6665 [math-ph]
13. Shirokov D. S. Method of generalized contractions and Pauli’s theorem in Clifford algebras, 2014, 14 pp., arXiv: 1409. 8163 [math-ph]
134
Свертки по рангам и кватернионным типам в алгебрах Клиффорда
14. Pauli W. Contributions mathematiques a la theorie des matrices de Dirac, Annales de I’institut Henri Poincare, 1936, vol. 6, no. 2, pp. 109−136.
15. Shirokov D. S. Extension of Pauli’s theorem to Clifford algebras, Dokl. Math., 2011, Т. 84, № 2, С. 699−701. doi: 10. 1134/s1064562411060329.
16. Shirokov D. S. Pauli theorem in the description of n -dimensional spinors in the Clifford algebra formalism, Theoret. and Math. Phys., 2013, vol. 175, no. 1, pp. 454−474. doi: 10. 1007/s11232−013−0038−9.
17. Shirokov D. S. The use of the generalized Pauli’s theorem for odd elements of Clifford algebra to analyze relations between spin and orthogonal groups of arbitrary dimensions, Vestn. Samar. Gos. Tekhn. Univ. Ser. Fiz. -Mat. Nauki [J. Samara State Tech. Univ., Ser. Phys. & amp- Math. Sci. ], 2013, no. 1(30), pp. 279−287 (In Russian). doi: 10. 14 498/vsgtu1176.
18. Marchuk N. G., Shirokov D. S. Unitary spaces on Clifford algebras, Adv. Appl. Clifford Algebras, 2008, vol. 18, no. 2, pp. 237−254, arXiv: 0705. 1641 [math-ph]. doi: 10. 1007/ s00006−008−0066-y.
19. Lounesto P. Clifford Algebras and Spinors, London Mathematical Society Lecture Note Series, vol. 239. Cambridge, Cambridge University Press, 1997, ix+306 pp. — Lounesto P. Clifford Algebras and Spinors (second edition), London Mathematical Society Lecture Note Series, vol. 286. Cambridge, Cambridge University Press, 2001, ix+338 pp. doi: 10. 1017/ cbo9780511526022
20. Shirokov D. S. Classification of elements of clifford algebras according to quaternionic types, Doklady Mathematics, 2009, vol. 80, no. 1, pp. 610−612. doi: 10. 1134/S1064562409040401.
21. Shirokov D. S. Quaternion typification of Clifford algebra elements, Adv. Appl. Clifford Algebras, 2012, vol. 22, no. 1, pp. 243−256. doi: 10. 1007/s00006−011−0288−2.
22. Shirokov D. S. Development of the method of quaternion typification of clifford algebra elements, Adv. Appl. Clifford Algebras, 2012, vol. 22, no. 2, pp. 483−497, arXiv: 0903. 3494 [math-ph]. doi: 10. 1007/s00006−011−0304−6.
Received 15/XII/2014-
received in revised form 17/II/2015-
accepted 25/II/2015.
135

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой