Компьютерная модель внутренней баллистики стрелы лука

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Механика


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

УДК 799. 322. 2:623. 446. 4
И.Ф. ЗАНЕВСКИЙ, д.т.н., проф. технического университета
им. К. Пулаского, г. Радом, Польша
КОМПЬЮТЕРНАЯ МОДЕЛЬ ВНУТРЕННЕЙ
БАЛЛИСТИКИ СТРЕЛЫ ЛУКА
Методом Лагранжа создана математическая модель взаимодействия стрелы с луком в форме системы десяти дифференциальных уравнений и начальных условий. Соответствующая задача Коши решена методом Рунге-Кутта с применением программы NDSolve из пакета Mathematica. Модель показала пригодность для изучения основных параметров внутренней баллистики стрелы лука. Ил.: 4. Библиогр.: 12 назв.
Ключевые слова: стрела, лук, математическая модель, задача Коши, метод Рунге-Кутта, пакет Mathematica, баллистика.
Постановка проблемы. В стрельбе из лука спортивный результат в равной мере зависит от мастерства стрелка и качества подгонки параметров лука, которая является сложным и трудоёмким процессом [1]. Моделирование выстрела позволяет интенсифицировать этот процесс, сократив усилия на пробы и ошибки [2]. Работа выполнена по теме № 2814/58/P & quot-Исследование процессов взаимодействия тела человека со спортивным инвентарём (на примере стрелковых видов спорта)& quot- согласно плану научных исследований Министерства высшего образования и науки Республики Польша.
Анализ литературы. В основу модели лука C.N. Hickman положил трёхзвенную кинематическую цепь, состоящую из прямых недеформируемых стержней, соединённых между собой двумя идеальными шарнирами с пружиной Архимеда и нерастяжимой нитью [3]. W.C. Marlow [4] развил эту модель, учтя упругость тетивы и моделируя стрелу материальной точкой. B.W. Kooi и J.A. Sparenberg [5] смоделировали плечо лука эластичной полосой, а S. Ohsima и A. Ohtsuki [6] применили эту модель для исследования статики и динамики традиционного японского лука. J.L. Park [7] разработал модель блочного спортивного лука. Нами учтена несимметричность системы стрела — лук в вертикальной плоскости [8], предложена модель трёх-стержневого стабилизатора [9], исследованы колебания в системе стрела — лук — тело стрелка [l0, ll]. Однако практически пригодной модели для изучения внутренней баллистики стрелы спортивного лука пока не создано.
Цель статьи — обобщить математическую модель взаимодействия стрелы с луком и создать компьютерную модель внутренней баллистики стрелы в вертикальной плоскости.
Результаты. Схема модели системы стрела — лук представлена на рис. 1. Исходя из современных принципов выполнения выстрела, принято условие неподвижности точки упора руки стрелка в рукоять лука (т. О). Математическая модель представлена системой десяти уравнений Лангранжа 2-го рода и соответствующими начальными условиями. Решение системы получено методом Рунге-Кутта и реализовано в программе NDSolve из пакета МаШетаіїса.
поперечной плоскости (г)
Условные обозначения: еи, еь — жёсткость плеч лука- сс -жёсткость центрального стабилизатора- 1с — его длина- тс — масса стержня- Мс — масса наконечника- ту и 1У — масса и момент инерции блока крепления стабилизатора относительно его общего центра масс- / - жёсткость тетивы- ки, Нь — размеры рукояти- !и, 1Ь — моменты
инерции плеч лука- IH — момент инерции рукояти- lv, lL — длина плеч-
la — длина стрелы- шц, mL — масса плеч- mA — масса хвостовика стрелы- ms — масса тетивы- ma — масса стрелы- mV — масса блока крепления стабилизатора- ru, rL — расстояние до центра массы плеча- %, sL — длина ветвей растянутой тетивы- Sv, SL — длина ветвей нерастянутой тетивы- g — ускорение свободного падения- t — время. Индексы. U" and -L" использованы для обозначения параметров соответственно верхнего и нижнего плеч.
Уравнения движениия системы:
Iu (9u + k)+ muruhub1K + си (9^ + фu) + eulu (SU-bi — Surb2) = 0-
h (9L -k)-mLrLhLb3K + CL (9 L +ФL)+ eLlL (SL& amp- + SLrb4)= 0-
mc + Mc) c +(mcQcm + McQcM) K + Cc4c = 0- (l33^ + Md j-v + (mdQvm + MdQvM) k + cd4v = 0-
(j33 md +Md ^ +(mdQxm + MdQM) k + cd4r= 0-
33 ^
mb + Mb Ш +(mbQbm + MbQbM) k + cbqb = 0-
(1)
IH + Iu + 1L + muhu + mLhL + -V + mV (xV +)+'-| -
K +
+ muruhu
b1 (9u + 2k)-b2 (9u +k)2]- mLrLhL b3 (9L — 2k)-b4 (9L — k) V ] +
+ -u9u — IL9L + 2md (Qvmqv + QxmqT)+ 2Md (QvMqv + QxMqx) + + (mcQcm + McQcM) qc + (mbQbm + MbQbM % +
+ eu [S2 (b1lu + hu) — S1b2lu ] - eL [S4 (b3lL + hL) + S3b4lL ] = 0-
(m + m) r a + v+mag — euSur- eLSLr =0-
(mA + ma)|A — euSu^-eLSL^= 0& gt-'-IA^ + marA (r A +^ A^ + g) = 0 & gt- (/2, , ^
где I cm = rn,
/2
~ + xv + yV — yVl,
V У
11 3
— Qcm = TT lc 7 yV — QbM = rb + lb —
IcM = Mc xv +(lc — ^)2 ]- QcM = lc — ^ - t і 2 2 і 1 «2 I ^ 3 11»
Ibm = mb| xb + Уъ + lbrb + «lb ] - Qbm =~ rb + ~ lb '-- rb = xb Sin У-Уъ coS У —
I dm 2md
IbM = Mb (xb + Уъ + 2lbrb + lb) —
x2 + У2 + ld (yv cos, а cos p-xv sin а) + (sin2 а + cos 2 а cos 2 p)
22 2 + 2 l2 ld
3
IdM = 2Md [(xv- ldsin а)2 + (Уv + ldcos, а cos p)2 ]-
Qvm = 3 (xv Sin, а coS p-УV coS а) — 11 ld coS p —
Qxm =|3 XV — 11 ld Sin & lt-*) sin p —
QvM = xv sin, а cos p- Уу cos, а — ld cos p — QxM = (xv — ld sin а) sin p-
eu = /(iU'- ISu }- eL = ^ I Sl 1 — Su ^t/sM+SF — *L —
sUSU sLSL
S1 = hu + lUb1 — П A — S2 = huк + lUb2 — ^ A —
b1 = cos (ёU + к) — b2 = sin (ёu + к) — S3 = hL + lLb3 + nA —
S4 = hLк — lLb4 +A- b3 = cos (ёL — к) — b4 = sin^L — к),
где my и Iy — масса и момент инерции блока крепления стабилизатора относительно его общего центра масс, имеющего координаты ху, уу — хЪ, УЪ — координаты крепления верхнего стержня стабилизатора- 1ъ — его длина- m — масса стержня- M — масса наконечника- c — жёсткость верхнего стабилизатора- md — масса каждого из боковых стержней стабилизатора- Md — масса каждого из наконечников- ld — длина бокових стержней- cd — жёсткость бокового стабилизатора относительно силы, приложенной на свободном конце нормально продольной оси стержня- у — угол между осями центрального и верхнего стержней.
Начальные условия задачи:
t = 0? A =? A0 — ПA = ПA0 — ёи = ёи0 — ^
ёL =о- к = 0- v = vo- qc = 0- qv = °-
si
& lt-?т = 0- I, а = 0- Л, а = 0- 0и = °- 9ь = °-
к = 0- ^ = 0- дс = 0- дч = 0- дх = 0, где константы цА0, 9ио, 9Ь0 являются решением задачи статики (3).
Нулевые значения производных отражают особенности техники прицеливания: дыхание приостановлено, поза не изменяется.
1 а = 1и 9и + % Уи- 1 а = 1ь 9ь + 5'-ь ^ У ь-
& quot-Л, а =и + 1и С°5 9и — '^и с°5 уи- Л, а = 5ь с°5 уь — 1ь с°5 9ь —ь- си (9и +Фи) = Ри1и 51п (9и +Уи) — сь (9ь +Фь) = Рь1ь 51п (9ь +Уь) — (3) Р1 = -Ри вшУи — Рь япУь- Рд = Ри С05 Уи — Рь С05 Уь-
Ри = - р! = •
Р
Л.
Р
Да
I а
-и 5ь р I
где Ри, Рь — это силы натяжения ветвей тятивы- Р|, РЛ — проекции силы натяжения лука, приложенной в т. А.
Программа NDSolve (Mathematica)
?Й0 = 0. 7576- ?7до = 0. 426 237- ви0 = 0. 765 512- вь0 = 0. 794 188- тА = 0. 0023-
Ши = 0. 107- ть= 0. 107- г0 = 0. 228- гь = 0. 228- Хь = 0. 682- 1н = 0. 213-
1С = 0. 531- 1ь = 0. 531- Ь» = 0. 342- Ьь = 0. 342- Эн = 0. 780- Г7ро = 0. 426 237-
= 0. 840-? = 25 515- = 0. 682- Ху = -0. 107- уч = -0. 142- ?но = 0. 9 366-
сс = 69. 1- С[, = 69. 1- ^ = 0. 604 672- & lt-ръ = 0. 607 552- хь = 0. 221- уь = -0. 018-
1а = 0. 736- та = 0. 0224- гд = 0. 5103- 1а = 0. 783- пно = 0. 1 062- д = 9. 81- тс = 0. 193- са = 435- 10 =. 76- ть = 0. 088- сь = 833- 1ъ = • 42 — (ЗЬМ = 10 + гЬ — тд = 0. 0 65 — = 117 0- 1& lt-} =. 25- а =. 297 —? =. 617- х —. 157- йсМ = 1. — -
Мо =. 043- ЫЬ =. 037- Ш =. 023- ЬГу =. 119- IV =. 0021-
. 5* (. 55 * 1с +. 75* гЬ) —
1ст = тс * (1С2 / 3 + Ху2 + уч2 — 1с * уу) — ЙЬт
1 сМ = Мо * (1С2 + Ху2 + Уч2 — 2 * 1с * уу) !
Йот =. 5 * (. 55 * 1с —. 75* у у) — 1ЬМ = ЫЬ * (1Ь2 + хь2 + уь2 + 2 * 1ь * гЬ) —
Уь * Соз [х] ,'- 1Ьт = ть * (1ь2 /3 + хь2 + уь2 + 1ь * гЬ) —
еЬ = хь * Б1п [х]
1еЗт = 2 * та * (Ху2 + Уу2 + (Уу * Соэ [а] * Сог [^]
Ху * Э±п[а]) *1й
*((БЗ-п [а])2 + (Соз[а])2* (Соз [/3])2) *1й2/3) —
11^М = 2 * ЬМ * ((ху — 1с1 * [а]) 2 + (уу + 1а * Соэ ["3 * Соэ [Д]) 2) —
Оуш =. 5 * ((. 75 * (Ху * 31п [а] * Соэ [/3] - уV * Соэ [а]) -. 55 * 1д * Соэ [/3])) йгт = • 5 * ((. 75* ху -. 55 * 1й * 3±п[а]) * Б±п[/3]) -^0 = (?7р0 — ?7ао) / 1а- СуМ = XV * Бз-п [а] * Соэ [/3] - уу * Соэ [а] - 1а * Соэ [/3] -
& lt-2тЫ =(Ху — * Бз-п [а]) * 31п [/3] - 5 =-АгсТап[ (пА'- [t] + г* * Цг'-)/?а'- [Ъ] ]
е[, =
Эи * Би
(1н + 1и + + то * Ьц2 + Шь * + 1сш + 1 сМ + 1с1т + 1сЛ*1 + 1Ьш +
+(тс * йот + Мс * ОсМ) * & lt-%с"- [1] + (ть * ЙЬт + МЬ * ЙЬМ) * [t] +
2 * ((та * Оуш + М& lt-* * йуМ) * Чу& quot- [Ъ] + (пц * Йгт + Мс1 * йтМ) * цх& quot- [Ъ]) +
*(Зо{ *(1и * Ьх + Ь0) — * 10 * Ь2)-еь *(Зьг *(1Ь * Ьз + Ьь)+ * 1ь * Ь4)= 0 ,
(Мс + тс * 33 / 140) * чс'- [1] + (щс * Ост + Мс *бсМ) * к& quot- + сс * q0 [t] == 0 ,
(МЬ + лц * 33 / 140) + & lt-3ь '- [1] + (ть* ОЬт + МЬ * ОЬМ) * к& quot- [t] + сь * [?] == 0 ,
(Мс! + т, 1 * 33 / 140) + [1] + (тд * + Мс! + вуМ) * к& quot- [t] + сд * [t] == 0 ,
(Мс1 + тл * 33 / 140) + ч/'- [1] + (та * йтт + Мс1 *бтМ) * к& quot- [Ь] + са * [1] == 0 ,
Результаты моделирования для современного спортивного лука, соответствующего стандарту FITA (Международной федерации стрельбы из лука) [12], представлены в графической форме (рис. 2 — 4). Внутренняя баллистика стрелы характеризуется интенсивными колебаниями с частотой около 430 Гц (см. рис. 2). Время совместного движения стрелы с тетивой составляет 15,3 мс.
рад
0. 03
0. 02
0. 01
0 0. 0025 0. 005 0. 0075 0. 01 0. 0125 0. 015 Г, с
Рис. 2. Угол положения (у) и угол атаки (у-?) стрелы лука
После выпуска тетивы сила растяжения в её ветвях в результате трёх циклов колебаний возрастает примерно в три раза по сравнению с силой натяжения лука при прицеливании (см. рис. 4). Сила отдачи, в это же время, в противофазе силе растяжения тетивы практически плавно спадает до нуля.
н
400
200
?
-200
Рис. 4. Сила отдачи при выстреле (f0) и силы натяжения верхней (fv) и нижней (F) ветвей тетивы
Выводы. Модель показала свою пригодность для изучения основных кинематических и кинетических параметров взаимодействия стрелы с луком в вертикальной плоскости. С использованием результатов имитационного моделирования внутренней баллистики стрелы представляется возможным в дальнейшем разработать расчётную методику согласования параметров лука и стрел с индивидуальными особенностями техники выполнения выстрела.
Список литературы: І. Coaches Manual. Entry Level. [Електронний ресурс] I International Archery Federation: FITA Coaches Committee, 2009. — Режим доступа:
http: IIwww. archery. orgIcontent. asp? id=1036&-me_id=836&-cnt_id=2625. І. Виноградський Б. А. Моделювання складних біомеханічних систем і його реалізація в спорті
I Б. А. Виноградський. — Львів: ЗУКЦ, 2007. — 284 с. 3. Hickman C.N. Dynamics of a bow and arrow I C.N. Hickman II Journal of Applied Physics. — 1937. — V. 8. — P. 404−409. 4. Marlow W.C. Bow and arrow dynamics I W.C. Marlow // American Journal of Physics. — 1981. — V. 49. — № 4. — P. 320−333. 5. Kooi B.W. On the static deformation of a bow I B.W. Kooi, J.A. Sparenberg
II Journal of Engineering Mathematics. — 1980. — V. 14. — N° 1. — P. 27−45. б. OhsimaS. Simulation of the shape and dynamics of Japanese bow — Application of large deflection theory
I S. Ohsima, A. Ohtsuki / The Book of the 4th International Conference on Engineering of Sport, Kioto, 2002. — P. 102−107. 7. Park J.L. Compound-archery-bow nocking-point locus in the vertical plane I J.L. Park II Proc. IMechE, Part P: Journal of Sports Engineering and Technology. — 2009. -V. 224. — № 4. — P. 141−153. S. ZanevskyyI. Bow tuning in the vertical plane I I. Zanevskyy
II Sports Engineering. — 2006. — V. 9. — № 4. — P. 77−86. 9. Zanevskyy I. Modeling and computer simulation of bow stabilization in the vertical plane I I. Zanevskyy II International Journal of Sports Science and Engineering. — 2008. — V. 2. — № 1. — P. 3−14. І0. Zanevskyy I. Modeling of the archery bow and arrow vibrations I I. Zanevskyy II Shock and Vibration. — 2009. — V. 16. — № 4. -P. 203−212. ІІ. Zanevskyy I. Archer-bow-arrow behaviour in the vertical plane I I. Zanevskyy
II Acta of Bioengineerig and Biomechanics. — 2008. — V. 8. — № 1. — P. 65−82. ІІ. Recurve bow. [Електронний ресурс] I International Archery Federation: Equipment, 2010. — Режим доступа: http: IIwww. archery. org.
УДК 799. 322. 2:623. 446. 4
Комп’ютерна модель внутрішньої балістики стріли лука / Заневський І. П
// Вісник НТУ & quot-ХПІ"-. Тематичний випуск: Інформатика і моделювання. — Харків: НТУ & quot-ХПІ"-. — 2011. — № 36. — С. 78 — 86.
Методом Лагранжа створено математичну модель взаємодії стріли з луком у формі системи десяти диференціальних рівнянь і початкових умов. Відповідну задачу Коші розв’язано методом Рунге-Кутта із застосуванням програми NDSolve з пакету Mathematica. Модель показала придатність для вивчення основних параметрів внутрішньої балістики стріли лука. Іл.: 4. Бібліогр.: 12 назв.
Ключові слова: стріла, лук, математична модель, задача Коші, метод Рунге-Кутта, пакет Mathematica, балістика.
UDC 799. 322. 2:623. 446. 4
Computer model of the archery arrow internal ballistics / Zanevskyy I.P. // Herald of the National Technical University & quot-KhPI"-. Subject issue: Information Science and Modelling. -Kharkov: NTU & quot-KhPI"-. — 2011. — № 36. — P. 78 — 86.
A mathematical model of bow and arrow interaction was created using Lagrange method as a system of ten differential equations and initial conditions. Correspondent Cauchy problem was solved using Runge-Kutta method and NDSolve programs from Mathematica package. The model shown its possibility for studying of the main parameters of the archery arrow internal ballistics. Figs.: 4. Refs.: 12 titles.
Keywords: arrow, bow, mathematical model, Cauchy problem, Runge-Kutta method, Mathematica package, ballistics.
Поступила в редакцию 01. 05. 2011

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой