Алгоритм численного интегрирования уравнений модели кондуктивно-ламинарного режима термоконвекции ньютоновской жидкости в вертикальном цилиндрическом резер

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Механика


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

УДК 536. 25
АЛГОРИТМ ЧИСЛЕННОГО ИНТЕГРИРОВАНИЯ УРАВНЕНИЙ МОДЕЛИ КОНДУКТИВНО-ЛАМИНАРНОГО РЕЖИМА ТЕРМОКОНВЕКЦИИ НЬЮТОНОВСКОЙ ЖИДКОСТИ В ВЕРТИКАЛЬНОМ ЦИЛИНДРИЧЕСКОМ РЕЗЕРВУАРЕ
В. И. Ряжских, Е. А. Соболева, В.Г. Стогней
Предложены математическая модель кондуктивно-ламинарного режима термоконвекции в виде линеаризованных уравнений Обербека-Буссинеска и алгоритм их численного интегрирования
Ключевые слова: температурное поле, теплопроводность, конвекция
Известно, что при достаточно малых числах Грасгофа Ог во внутренних и внешних задачах свободноконвективных течений вязкой несжимаемой жидкости наблюдается
кондуктивно-ламинарный режим [1], когда температурное поле практически совпадает с температурным полем «чистой»
теплопроводности, но среда уже не покоится.
Так как в этом случае абсолютное значение скорости мало, то конвективными составляющими в уравнениях Обербека-Буссинеска, записанных в переменных
Гельмгольца, можно пренебречь, тогда:
-=Д0-УТ х вг- дік
ДТ = -0-
^ = -1 ДТ- 5ік Рг
(1)
(2)
(3)
где относительные переменные: О — вихрь- Т — векторный потенциал- Т — температура- безразмерные комплексы: Ог — векторный
аналог критерия Грасгофа, вид которого определяется масштабированием температуры- Рг — число Прандтля, характеризующее теплофизические свойства среды и является инвариантным ко времени и геометрии задачи- 1к — гомохронное число Жуковского- А -оператор Лапласа- V — градиент.
Для осесимметричной задачи естественной конвекции в цилиндрической системе координат г, г система (1) — (3) имеет вид:
50 520 д2 0 1 50 0
дТ
дік ді2 5Я2 Я дЯ Я2 ~ дЯ
д2 Т д2 Т 1 5Т
ді2 дЯ2 Я дЯ
±-±+°г-- (4)
(5)
= - ЯО-
Ряжских Виктор Иванович — ВГТУ, д-р техн. наук, профессор, тел. (4732) 55−35−54
Соболева Елена Александровна — ВГТА, старший преподаватель, тел. (4732) 55−35−54
Стогней Владимир Григорьевич — ВГТУ, профессор, тел. (4732) 43−76−62
дТ
дік
1
Рг
д2Т + Я дТ_
,, & gt- (6)
5^ Я дЯ У дЯ'-
где і = z|r0- Я = г/г0 — г0 — радиус цилиндра. В предположении отсутствия фазовых переходов и при наличии известного теплового потока через смоченную границу жидкости (это соответствует, например, условиям хранения криогенных жидкостей в стационарных наземных резервуарах типа РЦВ [2]) совокупность граничных условий представлена следующим образом:
0(Я,і, 0) = 0(0,і,ік) = 0(Я, 0,ік) = 0 — (7)
5 Т (1, і, ік) 52 Т (1, і, ік)
0(1, і, ік) = -
дЯ
О
д2 Т
(я,#_1, ік)
(8)
Я дZ2
Т (Я, Z, 0) = Т (0, Z, Zh) = Т (1, Z, Zh) =
= Т ((, 0, Zh) = Х?{Я,^1^) = 0- (9)
ч дТ (Я, 0, Zh) дТ (0^, ч Т (Я, Z, 0)=----'- =----------'- = 0 -(10)
дZ дЯ
дТ (1, Z, Zh) дТ (Я, Г ^)
дЯ ~ ~
где % = г0 /h, h — высота столба жидкости.
Интегрирование системы (4) — (11)
осуществлялось по конечно-разностной схеме
О1 — 0к ¦
і, і і,}
0к +, — 20*. + 0* ¦ ,
і, і +1 і, і і, і-1
Дік
(Дік)2
0*+, ¦ -20* ¦ +0*, ¦
+ і + 1, ] і, ] і - 1, і +
(ДЯ)2
0+!, -0^-!, і 0 і
2(ДЯ)2 (ДЯ)2
+Ог
Ті +1, і ~1і-,
2ДЯ
Тк+1 — 2Тк +1 +Тк +1
^і, і+1 2^і, і і, і-1
(Ді)2
Тк+1 — 2Тк+1 +Тк+1
^і+1,і 2^і, і і-1, і
(ДЯ)2
хтfk+1 _ uk+1
*i+1, j * i-1
k+1 -1, j
2iAR
= -iARQ!
k+1
rpk + 1 rpk
Ti, j — Ti, j
AZh
Pr
T-j+1 — 2Tkj + Tkj-1
(AZ)2
rpk rrpk. rpk rpk rpk
+ Ti+1, j — 2Ti, j + Ti-1, j + Ti+1, j — Ti-1-
(AR)
2
2iAR
qO = Qk = Ok = 0*
li, j _ 12i0 j _li, 0 ~ 0 5
m k — m k
q k = m, j m-2, j m, j
2AR
mk — k + mk
m, j m-1, j m-2,
(AR)
2
mk — 2mk + mk
ok = i, n i, n-1 i, n-2
Qi, n = ~
iAR (AZ)2
(13)
(14)
(15)
(16) (17)
m0, =m 0, = y* =m * = mk m = 0- (18)
rpk rpk
m, j m-2, j
2AR
'-T'-k. rpk
Ti, n + T i, n-2
2AZ
= -1-
(20)
АЯ = 1 да — АZ = % '-/и — г = 1, й -1- У = 1,-1.
Расчеты по схеме (12) — (20) показали правомочность принятых допущений и возможность идентификации критического числа Ог при сравнении полученных результатов с решением нелинеарезованной задачи.
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ по гранту № 07−08−166.
ЛИТЕРАТУРА
1. Гебхарт Б., Джалурия Й., Махаджан Р., Самакия Б. Свободноконвективные течения, тепло- и массообмен. Кн. 1, 2. — М.: Мир, 1991. — 678 с.
2. Фомин Н. В., Буланов А. Б. Жидкостные криогенные системы. — Л.: Машиностроение, 1985. — 247 с.
rpk rpk rpk ____ rpk
T 0 = Ti, n — T i, n-2 T0, j T 2, j
Ti, j =
2AZ
2AR
= 0- (19)
Воронежский государственный технический университет Воронежская государственная технологическая академия
THE ALGORITHM OF NUMERICAL INTEGRATION OF MODEL EQUATIONS OF CONDUCTIVE LAMINAR-FLOW CONDITIONS OF NEWTONIAN LIQUID THERMAL CONVECTION IN A VERTICAL STANDPIPE
V.I. Rjazhskih, E.A. Soboleva, V.G. Stogney
The article presents a mathematical model of conductive laminar-flow conditions of thermal convection in a form of Oberbeck-Boussinesq linearized equations and the algorithm of their numerical integration
Key words: warm-up field, heat-conducting, convection

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой