Обобщение уравнений Лагранжа для анализа механических систем с наследственными элементами, моделируемыми телами Кельвина

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Механика


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

Теоретическая механика
УДК 539. 3
Г. В. Павлов, А. В. Алимов
ОБОБЩЕНИЕ УРАВНЕНИЙ ЛАГРАНЖА ДЛЯ АНАЛИЗА МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ
С НАСЛЕДСТВЕННЫМИ ЭЛЕМЕНТАМИ, МОДЕЛИРУЕМЫМИ ТЕЛАМИ КЕЛЬВИНА
Предложен новый подход при построении математической модели тела Кельвина в лагранжевых координатах.
В настоящее время наблюдается повышенный интерес к применению реологических моделей в решении задач механики твёрдого деформируемого тела [1, 2, 3]. Авторы работы предлагают новый подход в построении уравнения движения в обобщённых координатах применительно к механическим системам с упруго-вязкими элементами, напряжённо-деформированное состояние которых описывается моделью Кельвина. Как отмечается в [1] эта модель наиболее точно отражает механические свойства наследственных тел. По гипотезе Кельвина- Фойхта [4] несовершенной упругости материала приписывается вязкая природа. Применение этой гипотезы корректно при рассмотрении как стационарных, так и нестационарных колебаний, несмотря на то, что для металлов она не подтверждается экспериментально.
Пусть на механическую систему наложено х голономных, идеальных, удерживающих связей
/х{х, г) = 0 (х = 1,2,…, х), (1)
где декартовы координаты ху выражены через обобщённые координаты равенствами вида
Ху =, г), Ху = ф, сц, г) Ц = 1,2,…, т). (2)
Здесь т — число степеней свободы. Воспользуемся уравнением Даламбера-Лагранжа
эм
^ (Х^, — mvх^8х^, = 0, ^1
(3)
где N -число материальных точек системы, Ху — проекция у-той силы на оси декартовой системы координат, ту — масса у-той точки. Наделяя силу Ху вязко-упругими свойствами, характерными для модели тела Кельвина, положим
к _ к
^ = Fv — - Е Рк (ук)е vk, XV = І* V — - Е (Р к (ук '-)evk + Рк (ук)е vk),
к=1 к=1
(4)
где FV — заданная активная сила- с = СС, с = Сі - коэффициенты жёсткости упругих элементов тела Кельвина- - косинусы углов, образуемые силой реакции Рк (Ук) реологического элемента с осями координат- ук (х1, х2,…, хэм) — реологическая координата к-ого реологического элемента, К — число реологических элементов. Подставляя (4) в (3), дифференцируя уравнение (3) по времени и меняя порядок дифференцирования и варьирования, получим
эм кк к
Е Fv — т^ - с^ - Е Pkevk — Е Ркеvk + & gt- 8 Fv mvXv СXv ^ Рк evk 8Xv
V=1 к=1 к=1 к=1
= 0.
Из (5), в силу независимости вариаций 8х^, и 8Х^, вытекают очевидные равенства
эм
I
V=1
кк
Fv — т^ - с^ - Е Ркеvk — Е Pkevk к=1 к=1
= 0,
эм
I
V=1
к
Fv mvХCv СХv Ркеvk
к=1
= 0,
(5)
(6)
которые будут востребованы в дальнейшем. Используя (2), найдём вариации координат и скоростей
8XV = У -^8ді, 8XV = У т^8ді + -^8 с),
і=1 дЦі і=^1 дд, дЦі
(V = 1,2, 3, …, 3М)
(7)
т
и подставим их в (5):
т 3 М
II
і=1 V=1
к
к
Fv cXv I Pkevk I Pkevk
к=1
к=1
дXv
~^~8Ці+ дЦі
к
Fv тVхV СXv Рк е vk
к=1
дXv
~^~8Ці+ дЦі
к
Fv тVхV СXv Рк е vk
к=1
дXv
8ді +
дЦі
к
Fv тVхV СXv Рк е vk
к=1
дXv.
~^8Ці
дЦі
= 0. (8)
Приравнивая слагаемые при одинаковых вариациях к нулю, получим систему уравнений:
т 3 М
II
і=1 =1
к. к дх"
К — mvxv — сх/ - I Pkevk — I Pkevk д +
к=1 к=1 дц.
т 3 М /¦ К
I I Fv — - - I Pkevk
і=1 =1 к=1
к
Fv тVхV CXv Pkevk
к=1
дх"
дЦі
8 Ці =0,
дxvx. ,
8 Ці = 0. дЦі
(9)
Используя известные тождества Лагранжа
дxv дXV дх" й (дXV ^ дх"
дц{ дЦі дЦі ' йґ 1 дЦіІ дЦі '
(10)
и свойство производной скалярного произведения, преобразуем равенства (9) к лагранжевым переменным:
. дху й (дху ^ дХу х V — I ^ V I ^ V.
дщ йг{ дщ] дщ Суммируя (11) по индексам V и г, учитывая равенства (6) и (10), находим
(11)
й т 3 м дxv = dQi
йґі=1ї=1 УдЦі йґ '
(12)
где — г-тая обобщённая сила.
Проводя суммирование в равенстве (9), получим явные выражения следующих слагаемых:
т 3 М
^ ^ «дх» дБ й дП дФ й К Ка, К л. дх"
/. /. ^~2 = «ТТ& quot- + „77 д 777″ + „77 І РкЬкі - РкЬкі - Pkevk^ ,
і=1Ї=1 дт дЦі йґ дЦі дЦі йґк=1 к=1 к=1 дЦі
т 3 М
дх“ тй дБ дБ У У mvxv--8ці = У — -г-^- ?1 Ї=1 дц{ і=1 йґ дц{ дц{
8 Ці.
Коэффициент определяется по формуле
3 м дxv
Ькі = 2-і evk^ ,
ЇҐ1 дЦі
(13)
(14)
(15)
а энергия ускорений, потенциальная энергия и функция рассеяния энергии — соответственно по формулам
1
эм
1
эм
=1
2,
2 ^ - --v, 2 =1
эм
Б = 2 I mvXv, П = 2 I сху, Ф = 2 I Ькху,
~ / , — /V — - V,
2 v=1
(16)
где Ьк — коэффициент внутреннего трения. Окончательно получаем следующее:
т 3 м
дх“ тй дБ дБ
У У mvxv--8ці =У — -Г-1ТТ-?11 дЦі і=1 йґ дц{ дЦі
8 Ці.
(17)
При построении равенства (13) учитывалось тождество ^, вытекающее из представления
йху т I дх» дх" ^ дх" -- = XV = & gt- -- Ці + ^Т~ Ці + -т-.
йґ і=^1 дЦі дЦі) дґ
+
Подставляя в уравнения системы (9) промежуточные выкладки (10)-(17), получим
'- й { дБ
Е
і= 1
Е
і=1
дБ К дП
— + РкЪы — + -
дЧі к=1 дЙі
йі йі дці 8 сц = 0.
8щ = 0,
(18)
(19)
Для голономных систем вариации 8ці и 8сі независимы. Поэтому из (18) и (19) вытекает система следующая дифференциальных уравнений:
й {дБ ^ Л. К ¦ й®і й дП
йі Щ)+ё Р + Ё = ~йТ — Ті діі '
дБ К дП
а. + 2−1 РкЬкі = ®і - Д
дЙі к=1 дсІі
(і = 1,2,т).
(20)
(21)
Одно из представленных уравнений является следствием другого. Поэтому оставляя уравнение (21) и проводя замену
дБ _ й дТ дТ дщ йг дщ дц1'
1 2
где Т _ 1 Л — кинетическая энергия, окончательно запишем
=1
й дТ дТ К дП
— ------------- +2^ РкЬкі = ®і - -2-
йі дбі дці к=1 дці
Уравнение (22) было получено в [1] другим способом.
(і = 1,2,…, т).
(22)
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИМ СПИСОК
1. Горошко О. А. Аналитичка динамика (механика) дискретних наследних система (на сербском языке) [Текст] / О. А. Горошко, К. Хедрих. — Издавачка Универзитета у Нишу, 2000. — 429 с.
2. Радченко В. П. Анализ нелинейной обобщённой модели Максвелла [Текст] / В. П. Радченко, Д. В. Шапиевский // Вестн. Сам. госуд. техн. ун-та. Сер.: Физ. -мат. науки. — 2005. — № 38. — С. 55−64. — (КВМ 5−7964−0765−1).
3. Макарова Л. Л. Демпфирование колебаний в среде, моделируемой последовательным соединением элемента Кельвина с параллельно соединёнными элементами Фойхта и Джеффриса [Текст] / Л. Л. Макарова, В. В. Кон-драшов. — Тула: Тул. госуд. ун-т, 2005. — 5 с. — (Деп. в ВИНИТИ 24. 06. 2005. № 908-В2005).
4. Василенко Н. В. Теория колебаний [Текст] / Н. В. Василенко. — Киев: Высш. шк., 1992. — 430 с.
Самарский государственный архитектурно-строительный университет, г. Самара тізЬагЬ@затага^т. ги
Поступила 09. 02. 2007
В окончательном варианте 03. 08. 2007
т

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой