Напряженное состояние горной породы при деформации включений (зерен и полостей)

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Механика


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

-------------------------------------- © А. В. Дугарцыренов, 2006
УДК 622. 233:622 А.В. Дугарцыренов
НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ ГОРНОЙ ПОРОДЫ ПРИ ДЕФОРМАЦИИ ВКЛЮЧЕНИЙ (ЗЕРЕН И ПОЛОСТЕЙ)
ТЪ обширном ряде приложений,
¦Я-9 связанных с расчетом напряженного состояния упругой среды (матрицы) со сферической или цилиндрической полостями, подверженными действию постоянного давления, используется решение Ламе [1]. Однако давление на границе полости на практике обычно изменяется по мере расширения последней [2]. Учет такого расширения позволяет дать более корректное решение данной задачи. В общем случае рассматриваемую задачу можно представить, как полость в среде, находящуюся под действием газового, жидкого или твердого упругого включения (зерна). Тогда к этой задаче можно свести совместную деформацию зерна и матрицы при различного рода физических воздействиях (нагреве, магнитострикции, пьезоэффекте и др.) и оценить напряжения вблизи их контакта, взрыв заряда взрывчатого вещества (ВВ) в горной породе, разрушение горной породы при фазовых переходах жидких и твердых включений и т. д.
Общий подход к такой задаче заключается в отдельном рассмотрении деформации полости в матрице и возникающем при этом поле напряжений. Далее рассматривается деформация включения, обусловленная конкретными физическими явлениями. Поскольку здесь в силу симметрии имеет место только радиальная деформация, на последую-
щем этапе достаточно привести к одинаковой величине равновесные давления на контакте и радиусы включения и полости.
Пусть в упругой изотропной бесконечной среде (индекс «1») находится сферическое (индекс «$ «) или цилиндрическое (индекс «5/ «) включение (индекс «2») с начальным радиусом г0. В результате внешнего воздействия (взрыва, нагрева, фазового перехода и др.) радиус включения и соответственно полости в матрице изменяются от г0 до равновесного значения г12. При этом на их границе действует давление р1−2. Напряженное состояние матрицы определяется выражениями [2]:
1 1
.г = Р1−2 -3 ' °& quot-$ .у = .у = Р1−2 2 -3 ,
1. 1.
Ъ.г р1−2 -2 —. <-р Р1−2 -2 — а!1.2 0.
(1)
где & lt-уг, & lt-уг и ау — соответственно радиальные, полярные и азимутальные напряжения- - = г / г1−2 (г & gt- г1−2 — & gt- 1) — от-
носительная координата точки среды.
Перемещение и1−2 границы сферической и цилиндрической полостей в матрице и контактное давление р12 можно
выразить единой формулой, записываемой в виде
Р1−2 (1 +)Г0 пЕ,
пЕ. ,

-1 12 (1 + ^1) -о 1: 2'
где к, и Е1 — коэффициент Пуассона и модуль упругости среды- п = 2 и п = 1 соответственно в случае сферической и цилиндрической полостей. Перемещения точек матрицы находятся из выражений:
^ =1
-2 — ив1 .г = и1−2 — •
Взаимосвязь равновесной координаты г12 границы полости и действующего на
нее давления р12 может быть выражена
для матрицы в виде
Р1−2 О + ^1)
и$ .г и1−2 -2
(2)
Г1−2 = /1(Р1−2) = Го
1
пЕ1
= 01 (Г1−2) = I ^ - 1 1 + V I Го
«• Р1−2 =
(3)
Представим зависимость радиуса г21 включения от давления р21 на его
поверхность выражением Г2−1 = $ 2 (р2−1) р2−1 = 02 (Г2−1).
Тогда, равновесие в системе «включение — среда» выполняется при условиях
р1−2 = р2−1 9,1(Г1−2) = 02 (-2−1) — Г1−2 = Г2−1
$ 1 (р1−2) = $ 2 (р2−1) Г1−2 + и1−2 =2 — и2−1 & gt-
(4)
где Я2 — радиус включения при р21 = 0 —
2−1 — перемещение точек поверхности
включения при сжатии.
При известной функции $ 2(р21) или
д2(Г21) соотношения (1 — 4) позволяют
найти перемещения и напряжения в матрице. Рассмотрим применение данной схемы расчета на примере некоторых частных задач.
1. Включение — твердая среда с упругими постоянными V и Е2.
Равновесный радиус Г1−2 достигается
здесь с одной стороны в результате расширения полости в матрице от первоначального радиуса Г0 до равновесного Г12, с другой — вследствие сжатия включения от Я2 до Г21 (Г0 & lt- Г21 & lt- Я2).
Процесс деформирования считаем квазистатическим и адиабатическим. Тогда уравнение равновесия (4) с учетом (2) запишется в виде
Р1−2 0 + */1)Г0
= Я 2 —
пЕ. ,
Р12(1 + ту)(1 — 2 у) Я 2 Е
(5)
где т = 0 и т = 1 соответственно для шарового и цилиндрического включения.
Отсюда
р = пЕ1- (^2/ Г0 — 1) Г =
р 1−2, А Гллг-» / -. и"1' Г1−2
(1 + [ МЯ 2/ Г0 + 1 ]
(М + 1) Я 2
(6)
МЯ 2/ г0 +1
где М =
(1 + тг2)(-2у2) пЕ 1
В частном случае, для шарового включения находим
М =
1 — 2^ 2 Е,
1 +^1 Е 2
Р 1−2 =
2 Е,
1 — 2^ 1 +
_ ч Е2 2Е1
Г12 =. Я2+1+^
2 Е1
Р0, Па
Рис. 1
(7)
Величина Я 2 определяется из заданных физических воздействий на включение. Например, при тепловом расширении включения имеем
Я2 — Г0 = а2 (Т — Т) ¦ Г0 ^ Я2 =
= Г) [1 +а2(Т — Т0)] ,
где а2 — коэффициент линейного теплового расширения включения- Т и Т0 -соответственно текущая и начальная температура включения.
Тогда, для шарового включения получим выражение, ранее рассмотренное, как частный случай [3]:
а2(Т — Т0)
Р 1−2
1 + V 1 — 2к
2Е,
+ [1 + ^(т — Т0)]
Напряжения в матрице определяются формулами (1) при подстановке в них давления р1−2 = р2−1. Уравнения (1) опре-
матрице вблизи включения. Напряжения во включении являются сжимающими и не зависят от координаты Г:
= & amp-р=&-р = -Р 1−2. (8)
График зависимости контактного давления Р1−2 от текущей температуры
для магнетитового шарового включения в матрице из кварца (железистый кварцит) при тепловом воздействии на него дан на рис. 1. Характер изменения напряжений в матрице по мере удаления от контакта представлен на рис. 2. Напряжения имеют локальный характер -на расстоянии 3-х радиусов Г0 их величины практически равны нулю. Максимальные растягивающие напряжения ар
достигаются на контакте магнетит-кварц и превышают по величине предел прочности кварца на растяжение.
Рассмотрим ту же систему «магнетит-кварц», в которой деформация
деляют локальное поле напряжений в
0. 001
0. 0015
0. 002
0. 0025
Г, м
0. 003
Рис. 2
включения шарового включения (магнетита) вызвана магнитострикционным эффектом. Максимальное относительное удлинение включения при магнито-стрикции составляет ем «40 ¦ 10−6 [4].
Отсюда, при свободном расширении включения получим
К 2 — Г0 =?м
Г0 ^ К2 = Г0[1 +м ]
Подставляя полученные величины в выражение (6), находим в частности для шарового включения
Р1−2 =
1 + V, 1 — 2к,
— = 5,1406 -106
2Е1 Е 2
[1 + ем ]
Па- (9)
Расчет радиальных и полярных напряжений проводим по формулам (1) с
учетом (9). Согласно (9) контактное давление относительно мало, поэтому и напряжения должны быть небольшими, что и подтверждают графики на рис. 3.
Максимальные растягивающие (полярные) напряжения в матрице реализуются на контакте включения и матрицы и достигают величины 2,57 ¦ 10 6 Па или 26,21 кгс/см 2, что существенно меньше (примерно в 8 раз) предела прочности сТр кварца на растяжение
(ср «210−105 Па).
Приведенные примеры показывают, что использование эффекта магнитост-рикции для разупрочнения железистых кварцитов малоэффективно, в то же время разупрочнения можно достичь, применяя такие физические явления, которые приводят к нагреву
0. 001 0. 0015 0. 002 0. 0025 0. 003
Г, м
Рис. 3
включений в горной породе, например СВЧ нагрев.
2. Включение — газовая среда под давлением.
Газовое включение может иметь место, например, при взрыве заряда ВВ, заполняющего сферическую или цилиндрическую полость в горной породе (взрыв сосредоточенного или удлиненного зарядов ВВ). Пусть при взрыве в момент окончания детонации ВВ в полости радиуса Г0 в среде начальное
давление газов равно р0. Примем приближение совершенного газа. В результате адиабатического расширения (теплообменом газа со средой можно пренебречь в силу того, что равновесие устанавливается за десятки мкс) вследствие смещения границы полости давление газов снижается от р0. до равновесной величины Р1−2. (р1−2-<- р0), которое
находим из выражения (закона Пуассона, определяющего параметры идеального газа в адиабатических процессах):
Р1−22 = Р?1 «Р 1−2 =
= Ро
гп+1 V и
С (п+1)/ ,
(10)
= Ро
Г
V и У
где у — показатель политропы взрывных газов.
Наряду с этим, равновесное значение контактного давления с заданным приближением может быть найдено из разложения
-(п+1)г
-Ро (1 + еГ
_1 -(п+1)ге+| (п±}УГ + (п±1?^
Р1−2
= ^ V — *)
(11)
где ?= и^/ Г0 — относительное перемещение точек граничной поверхности.
г
Рис. 4
Рс
Условие равновесия принимает вид 3/
— (12)
Г Г ^ _0
V Г12 У
пЕ1є
1 + к
В линейном приближении имеем
Ро I1 — (п + 1)^Є =
пЕ1є 1 + к
¦оє =
(13)
пЕ
Ро (п + 1) Г± 1
1+^1
Определяя равновесный радиус полости г1−2 из трансцендентного уравнения (12) или (13) из равенств (2) и (1) можно найти равновесное давление рі:2 и компоненты тензоров напряжения с
учетом расширения полости. Например, из уравнения (13) находим
Г. (14)
М1−2 =
п Е
(п + 1) у + --------1
1+П Ро
Отсюда

(1 + У) Ро
пЕ^ + (п +1)(1 +Ро пЕ,
Р1−2 =
пЕ^ + (п +1)(1 + ^Ро
РопЕ1
пЕх + (п +1)(1 + ^)ГРо
(15)
о
М1−2 =
Рис. 5
Расчеты для газового включения, формируемого при взрыве сосредоточенного и удлиненного зарядов ВВ, проведены применительно к взрыву заряда граммонита 79/21 (ро = 6,8 • 1о9
Па, у = 2,8) в граните (у1 = о, 22- Е1 = 6,6 • Ш1() Па). Графики зависимостей и (Г) = ыг (Г)/ ио (кривая 1), Ог (Г) = Ог (Г)/ Ро (кривая 2) и стр (Г) = & lt-7р (Г)/ ро (кривая 3) для шарового и цилиндрического газового включения представлены соответственно на рис. 4 и 5 сплошными линиями, а графики тех же зависимостей, определенных без учета расширения полостей -пунктирными линиями.
Расчеты показывают, что величины равновесного давления для шарового и цилиндрического случая равны соответственно р12 = 3,8903−109 Па и
р12 = 3,53 448−109 Па, что составляет
57,21% и 51,98% от соответствующего начального давления р0. При этом, величины перемещения и компонентов тензоров напряжений в точках среды при учете расширения сферической и цилиндрической полостей в граните соответственно примерно на 42,79% и 48,02% меньше аналогичных величин, соответствующих постоянному давлению взрывных газов.
Полученный результат показывает, что применение формул Ламе, не учи-
тывающих расширения включения, может привести к существенной погрешности.
Равновесные величины напряжений и деформаций являются асимптотическими значениями в соответствующих динамических задачах, что позволяет использовать их для оценки погрешности их решений.
Аналогичным образом могут быть проведены расчеты для других способов деформирования включения, если опре-
1. Lame G. Lecons sur La Theorie … de l’Elasticite, Paris. 1852.
2. Крюков Г. М., Дугарцыренова Э. А., Ду-гарцыренов А. В. Напряженное равновесное состояние среды с полостью с учетом ее расширения в линейном приближении. — Обозрение прикл. и промышл. матем., 2005, т. 12, вып. 4, с. 1003−1004.
делена зависимость радиуса от давления на поверхности при его сжатии (растяжении).
Представленный в работе общий подход к описанию напряженного состояния горной породы (среды) при деформации различного рода включений в ней позволяет объединить в единую схему разнородные задачи и дать сравнительный анализ эффективности частных способов разупрочнения.
--------------- СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
3. Дугарцыренов А. В. Оценка напряже-
ний в матрице при деформации шарового включения. Горный информационно-
аналитический бюллетень, № 8. — М.: Изд-во МГГУ. — 2006. — С. 38−42.
4. Сычев В. В. Сложные термодинамические системы. — М.: Наука, 1980. 208 с.
Коротко об авторах
Дугарцыренов Аркадий Владимирович — кандидат технических наук, доцент кафедры «Физика горных пород», Московский государственный горный университет.

?
ТЕКУЩАЯ ИНФОРМАЦИЯ О ЗАЩИТАХ ДИССЕРТАЦИЙ ПО ГОРНОМУ ДЕЛУ И СМЕЖНЫМ ВОПРОСАМ ДИССЕРТАЦИИ
Автор Название работы Специальность Ученая степень
ИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
XAflX^ XA^^ XAMA Сравнительный анализ закономерностей размещения месторождений железа Западной Африки (Западная Сахара, Мавритания), Кольского полуострова и Сибири 25. 00. 11 к.г. -мн.н.

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой