К исследованию дифференциального уравнения свободного растекания пластического слоя на плоскости

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Механика


Узнать стоимость новой

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

Известия Тульского государственного университета
Естественные науки 2008. Выпуск 2. С. 86−92
---- МЕХАНИКА -----
УДК 539. 3
В. А. К, а дымов
Московский государственный технический университет «МАМИ»
К ИССЛЕДОВАНИЮ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ СВОБОДНОГО РАСТЕКАНИЯ ПЛАСТИЧЕСКОГО СЛОЯ НА ПЛОСКОСТИ
Аннотация. Рассматривается задача о свободном растекании пластического слоя между двумя сближающимися поверхностями внешних тел. Выписано решение подобия общего вида, включающее все известные ранее решения подобия. Исследуется асимптотика решения.
В работе [1] выведено нелинейное дифференциальное уравнение параболического типа, описывающее свободное растекание пластического слоя по недеформируемым поверхностям, занимающего в начальный момент область, ограниченную выпуклой кусочно-гладкой кривой. В частном случае растекания пластического слоя между параллельно сближающимися плоскостями, при котором область течения симметрична относительно оси ох так, что линия ветвления течения совпадает с отрезком оси ох, указанное уравнение принимает вид [2]:
хх — Ф + ?х) = 0, (1)
где у = & lt-р (х, т) — неизвестное уравнение контура растекающегося слоя, причем:
(а) & lt-р (х, т = 0) = & lt-ро (х) — известный начальный контур области течения-
(б) & lt-р (х, г) ^ 0 во всей области ее определения-
(в) у = & lt-р (х, г) — выпуклая кривая при всех т ^ 0 (т.е. & lt-р'-х ф).
Здесь г (?) = 1п — функция степени деформации, пропорционально
меняющаяся со временем ('-*[ & gt- 0).
Уравнение растекания пластического слоя получило дальнейшее развитие на случай ее растекания по деформируемым поверхностям, подчиняющимся модели винклеровского упругого основания [3, 4].
Уравнение (1) допускает классы решений подобия [1, 4] для следующих областей, ограниченных кривыми второго порядка:
1) клиновидной области (рис. 1)
ро (ж) = АдХ =& gt-¦ р) (ж, г) = А (г) ж,
глМ (т)= у_°, гл, — '- '-
1* УоО)= А *
0
(2)
Рис. 1. Клиновидная область
2) области, ограниченной параболой (рис. 2)
(ж) = ®ох + Ьо =ї р2 (ж, г) = а (т) х + Ъ (г)
где, а (т) = аде, Ь (т) = е
, 2т
Ъо +
? (е2- - 1)
(3)
Рис. 2. Область, ограниченная параболой
3) области, ограниченной эллипсом (гиперболой) (рис. 3, 4)
(я) = а0×2 + Ь0 =& gt- V2 {х, т) = а (г) х2 + Ъ (г), (4)
где случай (ао & lt- 0, 6о & gt- 0) соответствует эллипсу, а (ао & gt- 0, Ьд & lt- 0)
— гиперболе,
а
аде

ао + 1 — аде

Ъ (т)
Ъде

/ад + 1 — аде2т
'- У =
(у/л/у /у?/Х
н
Рис. 3. Область, ограниченная эллипсом
В настоящей работе предлагается достаточно общий класс решений подобия для уравнения (1), включающий в себя все перечисленные выше решения:
Ч& gt-2 {х, т) = А (г) X2 + В (т)х +С (г). (5)
Подстановка (5) в уравнение (1) приводит к следующим зависимостям для неизвестных коэффициентов А (т), В (г), С (г). Выпишем их:
Сл е2т
где С выражается через начальные данные Ад = А (г = 0) в виде С = Ад
1 + 1С
В, '- С2е2т
(т^ 1 — С е2т '-
Рис. 4. Область, ограниченная гиперболой
Отметим, что если С = 0, то, как следует из (6) и (7), А (г) = О, В (г) = = С2е2т.
Для определения коэффициента С (т) получаем линейное неоднородное дифференциальное уравнение, решение которого имеет вид
— { С3е2т + %е4т, если Сг = О,
С'- (г) =) Сзе2т, С'|е2т, п (8)
I у/1-С'-1е2тСг (1 — Сге2т) 5 еСЛИ ^ ^ О-
Если при ЭТОМ В соотношении (8) ПОЛОЖИТЬ С = С*2 = 0 (то есть, А (г) =
= В (г) = 0), то получаем
С (т) = С3е2т, у2 (х, т) = у2 (т) = Сзе2т. (9)
а следовательно, имеем частное решение задачи растекания пластической полосы бесконечной протяженности в направлении оси ох (Сз = 0):
-л/С~^ & lt-у (т)<-^С~ъет. (10)
Исследуем поведение коэффициентов А (т), В (т), С (г) в решении (5) при т 1.
Покажем, что асимптотики при т 1 для, А (т) не существует. Действительно, как видно из (6), А (т) -& gt-• оо за конечное время, причем это возможно, если только 0 & lt- С & lt- 1 (или 0 & lt- Ад & lt- оо):
т^т* = - ^ 1п6*1 =1п (^Л°^ ^ =& gt- А (т) +00. (11)
Указанный случай (0 & lt- Сг & lt- 1) включает в себя решения подобия для областей, ограниченных гиперболой, а также парой пересекающихся прямых.
Положим 7] = С1 е2т, тогда
дм = т^ = А- (12& gt-
Как следует из (12),
Л)& lt-0, -1.
(13)
Верхний случай из приведенных двух в (13) соответствует «горизонтальному» эллипсу (большая полуось расположена вдоль оси ох), а нижний характеризует «вертикальный» эллипс, который нас не устраивает, так как, по условию задачи, линия ветвления течения лежит на оси ох (рис. 5).
А (г)
7] -& gt-• -оо? -& gt-• ОО, Сі
г] -& gt-• +оо -Ф4& gt- і -& gt-• оо, С
Ас
1 + Л)
А-о 1 + Ап
& lt- 0^ -1 & lt-
& gt- 1 & lt-=>- Ап & lt-
Л 0?)Л
Рис. 5. Зависимость А (т), соответствующая «горизонтальному» эллипсу
Пусть Ад = - 1 (точнее говоря, Ад -& gt-• -1 + 0), то есть имеем случай «горизонтального» эллипса (рис. 6). Тогда, С = = - оо, а значит,
і / Аое2т
1. + ?0 — А0е2т при Т^+°°'
то есть область течения, ограниченная эллипсом, стремится в пределе к окружности.
Рис. 6. Зависимость С (^о)? соответствующая «горизонтальному» эллипсу
Пусть С = 0 =& gt-¦ Ад = 0 =& gt-¦ А (г) = 0. Тогда при условии, что ф 0, Сз ф 0 имеем
В (т)~е2т, С (т)~е4т.
Этот случай соответствует задаче растекания области, ограниченной параболой.
Выделим также случай С 2 = Сз = 0, С ф 0, когда область течения представляет клиновидную область между двумя пересекающимися прямыми.
Что касается поведения коэффициента С (г) при г -& gt-• сю, то можно отметить тенденцию его роста во всех случаях.
Библиографический список
1. Кийко И. А. Пластическое течение металлов / И. А. Кийко //Научные основы прогрессивной техники и технологии. — М., 1985. -С. 102−133.
2. Безухое В. Н. Об осадке пластического слоя некруговой формы в плане / В.Н. Без-ухов // Дис. … канд. физ. -мат. наук. — М., 1955. — 78 с.
3. Быстриков С. К. Вывод точного дифференциального уравнения растекания пластического слоя между сближающимися упруго-деформируемыми по Винклеру плоскостями и его исследование / С. К. Быстриков // Известия ТулГУ. Сер. Математика. Механика. Информатика. -2006. — Т. 12. — Вып. 2. Механика. — С. 24−29.
4. Соловьев Г. Х. Нестационарные задачи течения тонкого пластического слоя по деформируемым поверхностям / Г. Х. Соловьев // Дис. … канд. физ. -мат. наук. — М., 2005. -104 с.
Поступило 16. 12. 2007

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой