О корректности линейных дифференциальных операторов в некоторых функциональных пространствах

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Механика


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

УДК 517. 98
О КОРРЕКТНОСТИ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ В НЕКОТОРЫХ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
© В. М. Тюрин
Ключевые слова: функциональные пространства- корректность- дифференциальные операторы.
Рассмотрены корректности и обобщенная корректность линейных дифференциальных операторов в пространствах Соболева и Соболева-Степанова.
Пусть X — банахово пространство- Lp = Lp (Rn, X) — пространство Лебега сильно измеримых (по Бохнеру) функций и: Rn -" X (р & gt- 1, п? N) с обычной нормой ||-||0- Wl (L9) =
— - пространство Соболева, норма в котором определяется формулой |М|^ =
да
= 1М1г=? 1Р""Но& gt- ва = ~д^-------------^5^-, а = а")-мультииндекс, |a| = ai+
j Ос | ^ I 1 ^
I € N [1]- Мр — Мр (Rn, X) — пространство Степанова сильно измеримых функций и: Rn -" Ху у которых
1 /р
(/
Щх)
Ml МР = sup I / ||u (: r) fcte
x? Rn
'- *) /
& lt- оо,
где К (х) — единичный куб в Яп с центром в точке X? Яп [2].
]У1 (Мр) = (ДП, МР) — пространство Соболева-Степанова функций и: На -& gt- X из Мр, у которых обобщенные производные Иаи? Мр (|а| ^ /), при этом
1М1и^(Мр) = И^Им, •
|а|& lt-г
Запись ?1 (Г) обозначает одно из пространств ]У1 (Ьр), ]?1 (Мр).
Рассмотрим дифференциальное выражение (оператор) в частных производных
Р =? (х) 1″" (т € ЛГ),
|а|^т
в котором коэффициенты Аа е С (Вп, Нот (Х, Х)), где Нот (Х, Х) — пространство линейных ограниченных операторов, действующих в X, с равномерной топологией. По формуле
Ри = ^ Аа (х) Ваи (х)
|а|& lt-т
определим линейный ограниченный оператор Р: И/т (^) -& gt- К
Следуя [3], оператор Р: ?т (Р) -& gt- Р назовем корректным, если найдется постоянная к & gt- 0, такая, что выполняется неравенство
ІМІИ^(Р) ^ ^11^^11^ (1)
для всех и Є ?т (Р).
Если выполняется неравенство
||^||/? ^ ко \Ри\р, /со & gt- о, (2)
то оператор Р будем называть 0-корректным.
Теорема 1. Оператор Р: ?т (Р) -& gt- Р корректен тогда и только тогда, когда он является Е- коэрцитивным и 0- корректным оператором одновременно.
Доказательство. Пусть оператор Р: ?т (Р) Р Е- коэрцитивен:
ІМІт & lt- ІІ^ІІт-і +2 ІІРиІІ0 • (3)
На основе неравенства для промежуточных производных [4] выводится оценка
где величина а (є^) & gt- 0, Ь (є& gt- 0 не зависят от и и оператора Р, при этом а (е^ -& gt- 0, если Єj -& gt- 0- величины Ь (^), вообще говоря, не ограничены при -& gt-• 0. Выберем числа е,… ,єш-і так, чтобы
Ш~1
Етп- X
а (єв-1) П & amp-(?_,-) & lt-1.
5=2
Тогда из (4) с учетом (2) следует
171
ІМІт_і ^ 2ко п Ь (є^ ||Рп||0 + 2о (єш_і) С2 ||Ри||0. (5)
і=і
т
Неравенства (3) и (5) дают \и\т ^ Сз ||Ргг||0, Сз = 2Сі& amp-о П + 2а{єгп-і)Сі • С2 + С2, т. е.
і=і
оператор Р: У/7711*) -& gt->- Ьр корректен.
Если оператор Р: У/т (Ьр) -& gt- Ьр корректен, то он 0- корректен и Е- коэрцитивен. Случай оператора Р: ?т (Мр) -" Мр рассматривается аналогично. Теорема доказана.
Для произвольного Т & gt- 2п определим на Яп гладкую неотрицательную финитную функцию (р (х,?, Т) ^ 1 с носителем в шаре /3(?, 2 Г), при этом & lt-р (х,?, Т) = 1, если х Є /3 (?, Т) и Оа (р ^ 6іТ"ІаІ (Ьі не зависит от Т, а0).
Пусть и Є ТУт1(Р) есть обобщенное решение уравнения Рй = /, / Є К Это значит, что последовательность щ Є ИЛШ (Р) такая, что числовая последовательность ограничена
и Пт щ = 0 локально в И/Гт1(і7'-), то последовательность Рщ = локально сходится к / в Р.
j-^oo
Оператор Р назовем обобщенно корректным относительно пространства Р, если найдется постоянная к & gt- 0, такая что ^ ^ IIкак только и есть обобщенное решение уравнения
Ри = /, / Є Р.
Теорема 2. Оператор Р обобщенно корректен относительно пространства Ьр тогда и только тогда, когда он корректен относительно пространства Мр.
Доказательство. Предположим, что оператор Р обобщенно корректен относительно пространства і*1, и пусть и Є есть обобщенное решение уравнения Ри = /, / Є Р.
Рассмотрим последовательность? ]Ут (Р), Uj взято из определения обобщенного решения и? цгт-1 уравнения Ри = /. Функции фтЩ удовлетворяют соотношению
Р {утщ) = ч& gt-тРщ + С} (и7, (рт), & lt-РТ = & lt-Р (х, ?, т).
Следовательно,
И^Г^'-Ц^т-1^) ^ к Ц^т/^Н р + ^ ||Ф (Ч? фт) IIР 5
где (д (щ,& lt-рт) ~ дифференциальный оператор порядка га — 1 по переменной Uj, для которого справедливы оценки
6& quot-
-'-11илт-1(Мр) ' (6)
%
Т
Устремляя ^ «оо в неравенстве
ЦРтЦцгт-Цр) ^ \фти — ФТЩЦцГтп-ЦР) + к ||фт!з — & lt-^т/||Жт-1(^) +
к кЬ$
+ грЬ3 ||^4Т"|1и^т-1 + к ||?& gt-г/||^ + - ||^4Т» — фАТЩ^уут-цр) ,
получим
\фТи\^7П~1(Р) ^ ^ WTfWp + * (^)
Если оператор Р обобщенно корректен 1/Р, то неравенство (7) запишется в виде
||?& gt-Н1т1 & lt- а Ут/\о + ^ 11^4тгг||т1, (8)
где, а = к, а — к^. По индукции из (8) получаем
?-1
М1ш-1 ^ 5] аГ+Ч-Ят-'-1 ||^т/|1о + аЧ-^Т-* № 4"т"||т-1, (9)
г-=0
— С = 1, Су — биномиальные коэффициенты,? Е ]М, ^ = 2,…, ?.
Куб К^2т (0 радиуса 4|т с центром в точке ?, содержащий шар /3(?, 4*Т), разобьем на гад = (4*2Т)П кубов К (^) (^ - 1,…, гао, Т Е К). Тогда
/ ||?& gt-4иг (*)?) / (ж)||Р& lt-?е ^ то ||/||^р ,
|®-?К4'Т
J ЦБ01 (р^Ти (х))\р (1х ^ то\Ва (& lt-р4гТи)\мР ^ гп0^\Ваи\^[р (|а| & lt- т — 1),
|х-5|^4*Т, а из (9) получаем
/ 1/р
?
|а|^т-1
У ||?& gt-аи (х)||рсгх & lt- ||^"Нт-1 & lt- \и\ж™-ЦМР) + ^т1/Р \/\МР ,
|х-?|& lt-4'Г /
(10)
?-1
постоянная йх не зависит от к и от Г, йг =? а& quot-+14 С"Т г& gt-.
г& gt-=0
Выберем точку? Е Rn так, чтобы
1/р
(|а| ^ т — 1).
Это дает вместе с (10) оценку
\u\Wm~i (мр) ^ «cf~j4 llwllwrm-1(Mp) + 2d2mQPNm-i \f\Mp, (11)
Nm — число производных Dau порядка ||a|| ^ m — 1. Считая t & gt- n, при достаточно больших T
2аЧ1тУР Nm-i 1
будет выполняться неравенство ---------^ ^
Последнее неравенство и неравенство (11) приводят к оценке
ll^llvK7n1(Mp) ^ ^2ТП^/РNm-1 ||/||д2 ,
т. е. оператор Р обобщенно корректен относительно Мр, поскольку и (х) — производная функция из Wm~l (Mp).
Достаточность теоремы проверяется совершенно аналогично, при этом используется неравенство (7). Теорема доказана.
ЛИТЕРАТУРА
1. Соболев С. Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. М.: Наука, 1988. С. 60.
2. Миссера X., Шеффер X. Линейные дифференциальные уравнения и функциональные пространства. М.: Мир, 1970. С. 78.
3. Жиков В. В. Некоторые вопросы допустимости и дихотомии. Принцип усреднения // Изв. АН СССР. 1976. Т. 40, № 6. С. 1380−1408.
4. Мизохагпа С. Теория уравнений с частными производными. М.: Мир, 1977. С. 200.
Поступила в редакцию 6 июня 2012 г.
Туurin V.M. On well-posedness of linear differential operators in some functional spaces.
There are considered well-posedness and generalized well-posedness of linear differential operators in the space of Sobolev and Sobolev-Stepanov.
Key words: functional spaces- well-posedness- differential operators.

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой