Плоская задача установившейся ползучести элементов конструкций

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Механика


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

Механика деформируемого твёрдого тела
УДК 539. 376+539. 4
ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА УСТАНОВИВШЕЙСЯ ПОЛЗУЧЕСТИ ЭЛЕМЕНТОВ КОНСТРУКЦИЙ
А. Ф. Никитенко
Институт гидродинамики им. М. А. Лаврентьева СО РАН,
630 090, Новосибирск, просп. Лаврентьева, 15.
E-mails: naf@hydro. nsc. ru
В полярных координатах с использованием метода малого параметра решена задача плоского деформированного состояния равномерно нагретых элементов конструкций в предположении установившейся ползучести материала- при этом в качестве эквивалентного напряжения в соответствующих соотношениях принимается критерий Мизеса-Шлейхера.
Ключевые слова: установившаяся ползучесть, плоское деформированное состояние, критерий Мизеса-Шлейхера.
Введение. Методика расчета напряжённо-деформированного состояния (НДС) элементов конструкций в условиях установившейся ползучести их материала достаточно хорошо разработана [1−3] и по праву вошла в справочную литературу [4]. В качестве физических соотношений установившейся ползучести конструкционных материалов при этом используют ассоциированный закон течения к поверхности ое = const, т. е.
до
Vij = hi, j = 1,2,3, (1)
o°ij
где nij, Oij — компоненты тензоров скоростей деформаций ползучести и напряжений- ое — однородная относительно напряжений функция первой степени. Учитывая это и то, что удельная мощность рассеяния энергии при ползучести есть W = nijOij, из (1) получаем h = W/oe. В большинстве случаев
принимают [1−4]
W = ВоП+1. (2)
Здесь B, n — характеристики ползучести материала. В упомянутой выше методике расчета НДС элементов конструкций эквивалентное напряжение ое отождествляют, как правило, с критерием Мизеса, т. е. с интенсивностью напряжений. В отличие от этого ниже будем полагать, что эквивалентное напряжение есть критерий Мизеса-Шлейхера, т. е.
Ое = Oi + воо, (3)
Анатолий Фёдорович Никитенко (д.ф. -м.н., профессор), ведущий научный сотрудник.
где а0 — гидростатическая составляющая тензора напряжений (а0 = а5^/3), а % - интенсивность напряжений (а г = -ZSsijSij/2), — компоненты девиато-
ра напряжений в^ = а^ - а05^), 5^^ - символ Кронекера, в ^ 0 — коэффициент внутреннего трения.
Ограничимся расчетом НДС элементов конструкций в условиях плоского деформированного состояния и, более конкретно, всю совокупность необходимых уравнений будем записывать в полярной системе координат г, р (третья ось г перпендикулярна плоскости гр). Из условия пх = 0, что служит определением плоского деформированного состояния [1−4], получаем, используя
(1), (3):
а (р + аг в ,
— з^- (4)
Одновременно с этим легко показать, что ао = ах + (2ва^)/9, а интенсивность напряжений есть
°г = Щу/(а& lt-Р -°г)2 +4(7^, 00 = ~^=Щ- (5)
Очевидно, что /Зо -& gt-¦ 0 и (/?о/0) -> (1/л/З) при /3 -& gt- 0. С учётом полученного
определяющие соотношения (1) примут вид:
}? (3 Оф — аг /3 У { 3 ар — аг: /3
* =4 «+1& gt- «= ^-4^ + |Ь (6)
2г}гір = -(з^),? = Ва™+1
тЛ Т 1
(7)
Эквивалентное напряжение (3) с использованием (4) и (5) будет
в
ае 2/30
у/(о& gt- - аг)2 + 4а^ + /30(о& gt- + аг)
Из (6) следует, что Пр + Пг + Пг = в ¦ (WjOe), т. е. соотношения (6) описывают ползучесть дилатирующей среды.
К уравнениям (6), (7) необходимо добавить уравнения равновесия
дог °г 1 д (тГф 1 д (Тф д°г& lt-р 2°тр п /0
дг г г д^& gt- г д^& gt- дг г
с соответствующими граничными условиями, соотношения Коши
дії і 1 дг& gt- 1 дг^ V дг
Цг = ~я~' Щ = Ь ~~а~' ^ГІР = «я-----------------^ Я~»
дг г г др г др г дг
(и, V — компоненты вектора скорости перемещений) и уравнение неразрывности скоростей деформации
д2г]г 2д2щ дг]т дщ _ д2(2гг]Г (р) д2р дг2 дг дг дгдр
Введём функцию напряжений Ф = Ф (г, р) такую, что [1, 2]
1 д2Ф
г дг г2 др2
1 дФ
^-Ь
д2Ф дг2 '
о
Тф
_ д ґ 1 & lt-9Ф
дггдр
(10)
Очевидно, что уравнения равновесия при этом тождественно удовлетворяются. Подставляя (6) с использованием (10) в (9), получаем для функции напряжений нелинейное дифференциальное уравнение, интегрирование которого весьма затруднительно.
В связи с этим линеаризуем задачу и запишем функцию напряжений в виде
Ф (г, р) = Фо (г) + 5Фг (т, р), (11)
где Фо (г) есть функция, описывающая осесимметричное напряжённое состояние, Ф: (г, р) -функция, корректирующая отклонение напряжённого состояния от осесимметричного- 5 — малый параметр. Линеаризация упрощает сформулированную выше задачу и позволяет свести её к двум самостоятельным — определению функций Фо (г) и Ф: (г, р).
1. Определение функции напряжений Фо (г). Осесимметричное напряжённое состояние характеризуется тем, что напряжения и, естественно, скорости деформаций не зависят от полярного угла. Для обозримости результатов будем предполагать еще, что касательное напряжение равно нулю. В этом случае
1 dФо 0
(г) =
с12Фо
аг (Г) =
оТ
= 0,
(12)
dг2 ' г г dr ' Г1р
система уравнений (4)-(7) существенно упрощается и принимает следующий вид:
о _ 30о (о о о _ в
о.
о?
ЗА) (о о = г (г/і - 1)& lt-т° + (7°
VI
Ое
VI во
°1Р — (v1 — 1)0
(2г/і - 1)& lt-т ° + (г/і + 1)& lt-т°
3v1
в №
VI во
^ = (1^і)г?°,
о
№ 0 = Бо0& quot-+1,
где
2
VI =
(13)
(14)
(15)
1 + Ро'
В случае VI = 2 соотношения (13)-(15) переходят в уже известные [1−4], если в качестве эквивалентного напряжения в (1)-(3) использовать интенсивность напряжений.
Уравнение неразрывности скоростей деформации (9) с учётом, что п° = = (1 — Vl) n!0, будет
2с12г]° ЛгР
Т гу- + (1 + 1У1) Г-^- = 0.
dг2 dг
Решение этого уравнения представим в следующем виде:
1
V2П
V1 = V2n.
(16)

о
Далее соотношения (14) с учётом (13) и (12) запишутся так:
п+і
2Фо 1 (1Фо
— (г/1 — 1) —
(ІТ2
Т (ІТ
пГ = (1 — ^і)п0.
(17)
Из (16) и (17) получаем
п-1−1
2 С? Фо. & lt-ІФ0 (Ро & quot- 2
' ~ ~ 1) г17 = Ч ^1
^2П
+ (С& quot-
Т
(18)
откуда
Фо (г) = С + С2Г^! + Ф (г), (19)
где Ф (г) -частное решение неоднородного уравнения (18). Чтобы получить это решение в достаточно простом виде, используем, например, следующую методику. При п = 1 правая часть уравнения (18) будет
/ (т)
(і) I @0 2
1 — - г/і (-) гг
^Т+с
Т
при п ^ ж и ограничениях (С3/тУ2 & gt- С1/п при любых г
№)м = ч['-лу^'-
в
а для 1 ^ п & lt- ж положим
В результате этого получаем:
/(& gt-¦)<-"->- = ^(§ УСг*+*
п в) п
/3°, , (Ро
і) +{п~1)Ь
Сзт
2-^2
(20)
Теперь очевидно, что общее решение (19) неоднородного уравнения (18), правая часть которого аппроксимирована выражением (20), будет
Фо (т) = Сі + С2 т& quot-1 + Озт2-& quot-2 + С т2,
(21)
где
— _ ілРо (Ро ___________Сз___________
3 п 1313 П у (2 — г/2)(2 — г/1 — г/2) ' ~ п (2 — щ) Р
С = ---С. (22)
Согласно (12) напряжения запишутся как
ст0 = VI (VI — 1) С2Г1−2 + (2 — ^2)(1 — V2)(фзг-V2 + 2С,
п
1
п
п
о? — VIС21−2 + (2 — ^)Сзг-^ + 2С,
(23)
а эквивалентное напряжение и интенсивность напряжений в соответствии с (13) будут
Ое
в
Ол
VI во
=
2 /3
(2 — V2)(2 — VI — V2) Cзr У2 + (2 — Vl)2C VI (VI — 2) С2Г1'-1−2 — V2(2 — V2) Cзr-V2
(24)
(25)
Постоянные С2, Сз, (7 вычисляются из граничных условий применительно к каждой конкретной задаче. Если этих условий меньше трёх, то полагаем, как и в теории упругости, С = 0.
2. Определение функции напряжений Фх (г, ^). Учитывая (10) и (12), из
(11) получаем
7ф — (Гф + 8о'ф, — 7 г + 5ог, Огф — 5°гф.
(26)
Подставим (26) в (5), (7) и разложим полученные выражения в ряды, удерживая в них члены только с первой степенью 5. Учитывая (13), будем иметь следующее:
о, х / о 3 во / о о& lt- / 3 во / / г
— аг + д (ТИ аг — 2 °Ч& gt- ~ аг)' аг — ^ У7V ~ °'ї-& lt-
& lt-хе =& lt-т° + ?& lt-т'-, & lt-т° = ^-[(т°-(г/1−1)(т°], & lt-т'-е = & lt-т'-р — (г/і - 1)& lt-т'-]. (27)
Далее, используя (27), разложим оП — (о? + 5о'-е)п в ряд по 5, учтём, что [3(о? — о?)/4о0] - (в/2во), и положим (3о?/& lt-т°) ^ 2vl (в/vlво)2- В результате всего этого получим из (6):
Пф — + 5пф, П/ - п
в
VI во
2
Во0
Оф — (v1 — 1) Ог
Пг — (1 — Vl) Цф — (1 — Vl) nф + 5(1 — Vl) n'--
(28)
/ / 3о? оп-і / / в
2г) Г (р = 52г) Г (р, 2г]Г (р = -^Вае • & lt-тГ (р = 2иг)
оп-і /
В Ое 7 Гф.
Обозначая f (г) — (в/v1 в0)2 В о?& quot-, из (28) с использованием (10) имеем
Пф — nf (г)
д2Ф л (^ ^ д2Ф
дг2 1 г дг г2 дір2
/, ч / /, ,(1 д2Ф1 1 дФЛ
% = (1 — ИЧ, ^ = 2"а (г) ^ j
(29)
Подставим (28) с учётом (12), (19) и (29) в уравнение сплошности (9). Учитывая, что f (г) при С = 0 является согласно (24) однородной относительно г
п — 1
2
функцией степени «-V»», где V — (п — 12 = Vl — V2, и выполняя громоздкие стандартные операции, получаем для Ф1(г, р) однородное дифференциальное уравнение четвертого порядка:
4 д4Ф1 3д3Ф1 / 2д2Ф1 / дФ1
а^г + а3г -+ а2г + а^--Ь
дг4 дгз дг2 дг
// 2 д4Ф1 // д3Ф1 / д2Ф1 //д4Фі..
+Й2Г дг^+ аіГо^ + а°^ + а°? ' (}
при этом
(І4 — 1, аз — 2(1 — V), $ 2 — V (V + V! — 2) — (V! — 1)2-
«1 — ^ - 1)(v + 1)(v1 — 1 — V), а'-2 — 2(1 — V), а'-/ - 22 — 1) —
а0 — (^1 — 1) [(VI + 1)(^ + 2) — V (V + 1) — 2(2v + 3)] + 2(и + 1)^1 — V) — (31)
00 = (VI — 1)2.
Будем решение уравнения (30) искать в виде Ф1(т, р) — К (т) ¦ Ф (р), причём й2Ф/йр2 и й4Ф/йр4 должны быть подобны Ф (р). Именно поэтому положим, например, Ф (р) — 008 (тр), и тогда Ф1(г, р) — К (т)оо8(тр). С учётом этого получаем из (30):
4 а4 К 3 й3К 2 й2К йК, .
а4г --г + а3г + а2г + а1Г--Ь а0л = 0, (32)
ат4 ат3 ат2 ат
где
/ 2 // / 2 // 2 / I 4 // /00
о2 — о2 — т о2, о1 — о1 — т о1, о0 — -т о0 + т о0. (33)
Пусть т — 1. В этом случае коэффициенты уравнения (32) с использованием (31) и (33) будут следующими:
о4 — 1, о3 — 2(1 — V), о2 — V (V + v1 — 2) — 2(1 — V) — ^ - 1)2-
01 — - { (vl + 12 — (vl — 2)^1 — 1) v — ^11 — 2) + 3] |, оо — -01. (34)
Характеристическое уравнение для уравнения (32) запишется как к (к — 1)(к — 2)(к — 3) + 2(1 — v) k (k — 1)(к — 2) —
— [2(1 — V) + ^ - 1)2 — V (V + v1 — 2)] к (к — 1) —
— [(vl + 12 — (vl — 2)^1 — 1) v — vl (vl — 2) — 3] (к — 1) — 0 (35)
будет иметь следующие корни:
Ы1 — 2)^ - 1)
к = 1, к2 = и 1 + 1, кЗА = V-------------------------±
' 21 + 1)
л/4(т1 + 1)(3 — щ) + (г/1 — 1) [(г/1 — 1)(щ — 2)2 + 4г/г (г/1 + 1)
±«------------------------------7------ч-----------------------------• (36)
2(V1 + 1) У —
Если Vi = 2, что соответствует использованию в качестве ие интенсивности напряжений Ui, то из (36) имеем
k1 = 1, k2 = 3, k3 = v — 1, k4 = v + 1.
Функция напряжений $i (r, ф) будет такой:
Ф1(г, ф) = (Cir + C2r3 + C'-3rv-i + C!4rv+1) cos ф, а дополнительные напряжения в соответствии с (10) запишутся как a/r = [2C2r + (v — 2) C3rv-3 + vC^rv-1j cos ф, a'-p = [6C2r + (v — 1)(v — 2) C3rv-3 + v (v + 1) C4rv-1] cos ф, cr'-rip = [2C^r + (v — 2) C3rv-3 + vC^rv-1] sin ф,
что совпадает с уже известным результатом, полученным в [1] применительно к анализу ползучести овальных и разностенных труб.
Пусть теперь V1 = 1, что соответствует случаю в = 1,5. Из (36) имеем
k = 1, k2 = 2, k3 = v — 1, k4 = v + 1, функция напряжений будет
Ф1(г, ф) = (C1r + C2r2 + C3rv-1 + C4rv+1) cos ф, а дополнительные напряжения в соответствии с (10) запишутся как °'-г = [C2 + (v — 2) C'-3rv-3 + vC4rv-1] cos ф,
a'-!p = [2C2 + (v — 1)(v — 2) C3rv-3 + v (v + 1) C4rv-1] cos ф, (37)
v'-ry = [C2 + (v — 2) C3rv-3 + vC4rv-1] sin ф.
При других значениях v1 (0 & lt- v1 ^ 2) корни k3, k4 находятся из (36)
численно.
Постоянные C2, C3, C4 определяем из граничных условий, которые в самом общем случае имеют вид [1, 2]:
un = ur cos2 а + sin2 a + urif sin 2a,
Tn = 0,5(- ur) sin 2a + urif cos 2a,
где un, Tn — нормальное и касательное напряжения на контуре r = г (ф), нормаль к которому в соответствующей точке составляет с радиусом-вектором угол а, причём
1 dr
tga =
г (ф) dф
3. Заключение. Полученные результаты могут быть использованы в расчетах элементов конструкций по предельному равновесию, в основе которых лежат соответствующие расчёты в предположении установившейся ползучести материала [5].
Работа выполнена при поддержке РФФИ (код проекта 08−08−316).
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Качанов Л. М. Теория ползучести. — М.: Физматгиз, 1960. — 456 с.
2. Работнов Ю. Н. Ползучесть элементов конструкций. — М.: Наука, 1966. — 752 с.
3. Бойл Дж., Спенс Дж. Анализ напряжений в конструкциях при ползучести: Пер. с англ. — М.: Мир, 1986. — 360 с.
4. Писаренко Г. С., Можаровский Г. С. Уравнения и краевые задачи теории пластичности и ползучести: Справочное пособие. — Киев: Наукова думка, 1981. — 496 с.
5. Никитенко А. Ф. Кинетическая теория ползучести и расчёт элементов конструкций на длительную прочность. Сообщение 2. Предельное состояние неравномерно нагретых элементов конструкций// Пробл. прочности, 2005. — № 6. — С. 5−14.
Поступила в редакцию 04/У/2009- в окончательном варианте — 24/У11/2009.
MSC: 74C10, 74F05, 74G10
FLAT PROBLEM OF STEADY STATE CREEP OF STRUCTURAL ELEMENTS
A. F. Nikitenko
Lavrentyev Institute of Hydrodynamics of the Siberian Branch of the Russian Academy of Sciences,
630 090, Novosibirsk, Labrentyev av., 15.
E-mails: naf@hydro. nsc. ru
The problem of a flat strain state of equally heated structural elements for a steady state creep condition with a small parameter method in polar coordinates is solved, Mises-Schleicher criteria is used as equivalent stress in corresponding properties.
Key words: steady state creep, flat strain state, Mises-Schleicher criteria.
Original article submitted 04/V/2009- revision submitted 24/VII/2009.
Anatoliy F. Nikitenko (Dr. Sci. (Phys. & amp- Math.)), Leading Research Scientist.

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой