Влияние вязкости жидкости на искажение сферической формы пузырька в ходе его однократного расширения-сжатия

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Физика


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

Т.С. Гусева
ВЛИЯНИЕ ВЯЗКОСТИ ЖИДКОСТИ НА ИСКАЖЕНИЕ СФЕРИЧЕСКОЙ ФОРМЫ ПУЗЫРЬКА В ХОДЕ ЕГО ОДНОКРАТНОГО РАСШИРЕНИЯ-СЖАТИЯ
Введение
Исследования открытого в 1990 г. явления периодической однопузырьковой сонолюминесценции [1−5] свидетельствуют о том, что в момент максимального сжатия (коллапса) внутри пузырька возникают температуры ~104К и плотности ~103кг/м3 [6, 7]. Попытки достижения еще более высоких степеней сжатия газа в пузырьке на режиме периодической сонолюминесценции ограничены различными условиями устойчивости [8−11]. Неустойчивость периодических колебаний пузырька может быть вызвана, в частности, искажениями формы пузырька [12]. Вместе с тем, при определенных условиях на режиме асимптотически неустойчивых сильных колебаний пузырька максимальная степень сжатия газа внутри него может оказаться значительно выше тех, что получаются на режиме периодических
колебаний. Экспериментальным подтверждением тому служит относительно недавно открытое явление ядерного излучения при акустической кавитации [13]. Поэтому представляет интерес изучение искажений сферической формы поверхности пузырька на режиме сильных однократных асимптотически неустойчивых расширений-сжатий пузырька. В литературе такой режим практически не рассматривался.
В настоящей работе изучается зависимость искажений сферической формы поверхности пузырька на режиме его сильных однократных расширений-сжатий от вязкости окружающей жидкости, что особенно важно при малых размерах пузырька. Отклонения от сферической формы пузырька считаются малыми осесимметричными. Рассматривается случай искажения межфазной границы в виде сферической поверхностной гармоники с номером четыре. Применяется математическая модель динамики пузырька, в которой жидкость возле пузырька полагается вязкой несжимаемой, а газ в пузырьке — идеальным с однородным распределением давления. Учитываются силы поверхностного натяжения на межфазной границе, сжимаемость жидкости вдали от пузырька. Давление в жидкости на большом удалении от пузырька в начальный момент начинает изменяться по гармоническому закону. Рассматривается лишь один период его колебаний. Сильное расширение-сжатие пузырька достигается за счет больших значений амплитуды изменения давления в жидкости. Полагается, что в начальный момент времени пузырек находится в покое и имеет малое начальное искажение. Изучение ведется для воздушного пузырька микронных размеров в воде при комнатной температуре. При анализе эффекта вязкости жидкости используются решения рассматриваемой задачи с полным учетом влияния вязкости и решение без учета влияния генерируемой вязкостью завихренности жидкости.
Математическая постановка задачи
Изучается изменение малых осесимметричных искажений сферической формы пузырька в ходе его сильного однократного расширения-сжатия. Используется математическая модель динамики пузырька, в которой уравнение межфазной границы в произвольный момент времени ^ в сферической системе координат г, ®^ имеет вид
0)
1=2
5
где ^'-(С08®) _ полином Лежандра степени г. Согласно (1), изменение сферической формы (расширение-сжатие) пузырька описывается параметром ^, а изменение его искажения — параметрами е& lt-(1 ?-2,3,… пара_ метр ^ представляет собой среднее значение радиальной координаты всех
точек поверхности (1). Модуль параметра ?| характеризует степень искажения сферической поверхности в виде поверхностной сферической гармоники Р, (со$^) } а его знак _ направленность искажения (наружу — при (сов 0) & gt- 0 и _ ПрИ Б,^ (сО50)& lt- 0^ ^ последующем для краткости параметр называется радиусом пузырька, а параметр г& gt-'- - искаже-
нием его сферической формы в виде 1 -той поверхностной гармоники.
В настоящей работе искажения сферической поверхности пузырька считаются малыми в том смысле, что
е, —
Хе^(с°50]
|=2 I _ 8 «1
При таком ограничении искажений сферической формы объем пузырька
(4/3 V?3
определяется выражением V / /, ю есть от самих искажении он не за-
висит. Искажение 8/ описывается следующим уравнением
е, — +
5^ + 2(/+1» + 2)^ i (?+1)
е, +
со, +
3R2 ± б/(/ + l) Rv _ ^
R2
R
Е- +
v ZiM + 2v (2/+ l^a, +|р (.
= 0,
где
«& lt-=-згл T'(r'-*& gt-~'dr р.= fiy) -lifl7:^ «==i-^b±?k a+iJЛгJ р"я3
5 & gt-5
Р° - плотность жидкости, v — кинематический коэффициент вязкости, ° - коэффициент поверхностного натяжения. Точка над переменной означает дифференцирование по времени. Функция характеризует изме-
нение поля завихренности в жидкости. Она вводится выражением
V х U = V х T?(r, t) P,(COSO)
, где и — вектор скорости жидкости, е1 — касательный к г единичный вектор локального сферического базиса. Функ-
т, М
ция
определяется из уравнения
8t дг
с граничными условиями 2 (/.
Ч-+1)7- д2т,
+ V
V'- /
2-г А
дГ
= 0
(3)
Ъ (R/ 0 = {('- + 2) Rz? + 3/Ц + (2i + 1) Я ]а,} T? ^ ^ _ q (4)
& gt-
Для описания изменения радиуса пузырька R используется уравнение
, R 4v
1--------+ ¦
V со со R J
RR + -2
Л2 =
= 1 +

'-0 у
Рь-Р*? R Рь-Р"& gt- 2(7^
А& gt- р0 /г р0/г '
(5)
где с° - скорость звука в жидкости. Посредством входящих в (5) слагаемых,
содержащих с°, учитывается сжимаемость жидкости вдали от пузырька.
Давление газа в пузырьке определяется из уравнения состояния Ван-дер-Ваальса
«о
Рь =Рь
2Э 1
где 0 — начальный радиус пузырька, л — константа уравнения состояния
Ван-дер-Ваальса, — статическое давление в жидкости.
Давление в жидкости на большом удалении от пузырькас0 в начальный момент начинает изменяться по гармоническому закону
Р. =Ро -Др^пс^ (7)
Э
где, 05 — амплитуда и частота колебаний давления. Рассматривается лишь один период колебаний 2 Vе0 _ Сильное расширение-сжатие пу-
зырька достигается за счет больших значений. В общем случае задачи (1)-(7) отклонение от сферической формы пузырька зависит от начальных
значений ?'- (0) 5 (®)} Дг& gt-0) ц настоящей работе полагается
Я (0) = /?0 Л (0) = 0 (0) = 0 Т (г, 0) = 0 е,. (0)=Е? (8)
5 5 У «5
6
где '- - начальное значение малого искажения 1. Изучение изменения малого начального искажения сферической формы пузырька в процессе
однократного расширения-сжатия ведется для 1 '-^Р () — & amp-Р — 5 Ро _ Значения других параметров задачи полагаются следующими
р0= 1000 кг/м3, Со=1500м/С- р0 = 1 бар5 (о/2тс = 26,5 кГц ^ (9а)
= 4−5 мкм& gt- у = 10^ м2/с& gt- ст = 0. 073 н/м& gt- А = Ь. У*, 7 = 1−4 (9Ь)
Эти значения соответствуют случаю, когда содержимым пузырька яв-
ляется воздух, а окружающей жидкостью — вода при комнатной температуре. Рассматривается случай искажений сферической формы пузырька в
виде сферической поверхностной гармоники I= 4.
Изменение искажения сферической формы пузырька без учета завихренности жидкости и при полном учете вязкости жидкости
Если завихренностью жидкости пренебречь, то искажение сферической формы пузырька будет описываться следующим уравнением
в,+
5|+2(г+1)((+2)-^-
е,+
со1 2)-+6 I 0 + 1)-гз-
(10)
е, = 0
Л К '- '-Я
Это уравнение значительно проще, чем система (2)-(4).
На рис. 1 приведены результаты расчетов, полученные с применени ем (10). Здесь представлены временные зависимости относительного искажения сферической формы е4/е4 (а)} логарифма его модуля
(Ь) и радиуса пузырька К (а), характеризующие особенности изменения формы пузырька по четвертой поверхностной гармонике в интервале
для АР = 2−6Ро (сплошные кривые), Ар ~ 3,2ро (пунктирные кривые). В модели (1)-(8) ^ - это время, при котором радиус пузырька принимает свое минимальное значение. На кривых символами (треугольниками на кривых 84/е4 & gt- кружками на кривых М8**/84! и ромбиками на кривых ^) с номерами 1−4 (1, 2, 4 на рис. 1а и 1−4 на рис. 1Ь) отмечены значения в ряде характерных последовательно возрастающих моментов времени
-4. Моменты ^^ соответствуют максимальным значениям скорости ^ на фазах расширения (^) и сжатия (^) пузырька. В момент ~ достигается максимальное расширение пузырька, а в момент ~ - макси-
содержащих с°, учитывается сжимаемость жидкости вдали от пузырька.
Давление газа в пузырьке определяется из уравнения состояния Ван-
*
дер-Ваальса
о
Рь =Рь
fRl~ARl
R'--ARlj
Рь=Ро+1Г
где — начальный радиус пузырька, ^ - константа уравнения состояния
Ван-дер-Ваальса, — статическое давление в жидкости.
Давление в жидкости на большом удалении от пузырька Ра& gt- в начальный момент начинает изменяться по гармоническому закону
Poo = Ро -ApSinwi (7)
9
где ю — амплитуда и частота колебаний давления. Рассматривается лишь один период колебаний ^ «1 ~ «к/(0. Сильное расширение-сжатие пузырька достигается за счет больших значений. В общем случае задачи
(1)-(7) отклонение от сферической формы пузырька зависит от начальных
значений е/(0) — T (f, 0) в настоящей работе полагается
R{0)=R0 R (0) = 0 ?{(0) = 0 Т (г, 0) = 0 еД0) = е? (8)
9 9 9 7 9
F° 8
где 1 — начальное значение малого искажения 1. Изучение изменения малого начального искажения сферической формы пузырька в процессе
однократного расширения-сжатия ведется для * '-^° - ~ ~*Ро. Значения
других параметров задачи полагаются следующими
Ро = 1000 кг/мз_ с"=1500м/С| р» = 16ар& gt- 0)/2я=26,5кГц_ (9а)
*о=45мкм, v = 10& quot-iм2/с, = 0 073 Н/м, ^=8. 5-s_Y = 1.4. (9Ь)
Эти значения соответствуют случаю, когда содержимым пузырька яв-
ляется воздух, а окружающей жидкостью — вода при комнатной температуре. Рассматривается случай искажений сферической формы пузырька в
виде сферической поверхностной гармоники I = 4.
Изменение искажения сферической формы пузырька без учета завихренности жидкости и при полном учете вязкости жидкости
Если завихренностью жидкости пренебречь, то искажение сферической формы пузырька будет описываться следующим уравнением
?,+
5|+20 + 1)(*& gt-2)р-
?,+
г зкг
й& gt-/ ^ 1 (
(10)
€ 1 = 0
Это уравнение значительно проще, чем система (2)-(4).
На рис. 1 приведены результаты расчетов, полученные с применением (10). Здесь представлены временные зависимости относительного искажения сферической формы 84/?4 (а), логарифма его модуля М8"/84!
(Ь) и радиуса пузырька К (а), характеризующие особенности изменения формы пузырька по четвертой поверхностной гармонике в интервале
0 для АР = 2−6р0 (сплошные кривые), ^ ~ (пунктирные кри-
вые). В модели (1)-(8) ^ - это время, при котором радиус пузырька принимает свое минимальное значение. На кривых символами (треугольниками на кривых 84/е4, кружками на кривых /?41 и р0мдиками На кривых ^) с номерами 1−4 (1, 2, 4 на рис. 1а и 1−4 на рис. 1Ь) отмечены значения в ряде характерных последовательно возрастающих моментов времени
-4. Моменты ^^ соответствуют максимальным значениям скорости К на фазах расширения (^) и сжатия (^) пузырька. В момент ~ достигается максимальное расширение пузырька, а в момент ^ ~ ^ - макси-
мальное сжатие. На рис. 1а использовано обычное время, а на рисЛЬ —
относительное время ^ -с. РисЛЬ по оси абсцисс разделен вертикальными прямыми на части, в каждой из которых используется свой масштаб
времени * ~^с.
В используемой модели жидкость возле пузырька считается несжимаемой (сжимаемость жидкости учитывается только вдали от пузырька). На фазе роста пузырька и в начале фазы сжатия применение такого допущения вполне оправдано. Однако в конце фазы сжатия влияние сжимаемости жидкости, особенно около пузырька, может оказаться значительным. Поэтому в представленных ниже результатах отмечается момент времени
и
, при котором давление в жидкости достигает ЮОбар. Результаты, отно-
г & gt- и
сящиеся ко времени следует рассматривать как некоторую оценку.
Окружностями на рис. 1Ь отмечены моменты времени.
Согласно представленным на рис. 1 результатам, в начале фазы расширения форма пузырька изменяется в режиме затухающих колебаний, а затем — в режиме апериодического затухания, где скорость изменения искажения мала. В момент максимального расширения затухание искажения сменяется его ростом. На начальном участке роста изменение формы пузырька остается относительно медленным. По мере увеличения скорости сжатия пузырька скорость нарастания искажения увеличивается. При этом амплитуда искажения увеличивается в режиме апериодического роста так, что каждая точка поверхности пузырька отклоняется от сферы сначала в сторону, противоположную своему положению на момент максимального
расширения, а затем, после резкого разворота, — с нарастающей скоростью в обратном направлении. Количество таких разворотов на фазе сжатия в случае 1 — 4 равно 3, а искажение здесь 4 раза принимает нулевое
значение. Особенно быстрое увеличение искажения наблюдается на заключительном очень коротком участке замедляющегося сжатия пузырька tг& lt-t<-t4
/ О
На рис. 2 представлены зависимости е4 / е4, характеризующие из-
Е /е°
менение относительного искажения 41 4, от амплитуды возбуждения
^ в момент максимального расширения пузырька (^& quot- = 10, кривая 1), момент достижения критического для модели (1)-(8) значения давления
(к = 10, кривая 2), момент достижения максимальной скорости сжатия
К (К = 1, кривая 3) и момент коллапса ^(К = 1} кривая 4). Все кривые имеют колебательный характер, что обусловлено колебаниями искажения в начале фазы расширения (рис. 1 а, Ь). Если рассматривать особенности изменения амплитудных значений представленных зависимостей в точках их локальных экстремумов, то можно заключить, что искажение к моменту максимального расширения пузырька убывает по отношению к начальному примерно в Ю раз. С ростом ^ степень затухания незначительно уменьшается. В момент искажение остается примерно на 2 порядка меньше начального значения при малых и примерно на 1 порядок —
при больших. На последующем отрезке ^ & lt- ^ К К искажение может возрасти почти в 10 раз. Несмотря на очень малую длительность заключительного отрезка фазы сжатия ^ & lt- ^ & lt- искажение увеличивается здесь еще примерно на 20%, что обусловлено большой скоростью сжатия Я и
очень быстрым ее уменьшением. С ростом ^ значения искажения, достигаемые на фазе сжатия, возрастают.
На рис. 3,4 приведены результаты расчетов, характеризующие осо-
бенности изменения искажения сферической формы пузырька при полном учете влияния вязкости жидкости (система (2)-(4)). По своему содержанию и принятым обозначениям эти рисунки соответствуют рис. 1,2. Сравнивая результаты, полученные без учета завихренности жидкости (10) и с полным учетом влияния вязкости жидкости (2)-(4), можно видеть, что они относительно хорошо согласуются между собой. Учет завихренности жидкости не влияет на общий характер изменения искажения сферической формы пузырька в ходе его расширения-сжатия. Вместе с тем, между ними имеется ряд различий, обусловленных влиянием завихренности жидкости. Видно, что завихренность жидкости оказывает влияние на длительность промежутков времени между переходами искажения формы поверхности пузырька через нулевое значение в начале фазы сжатия, на количество этих переходов и на величину максимального искажения на каждом из таких промежутков. При уменьшении амплитуды возбуждения это влияние увеличивается. Так, при ~ количество переходов искаже-
ния через нулевое значение на фазе расширения без учета завихренности жидкости на 1 больше, чем при полном учете вязкости (рис. 1Ь, ЗЬ), вследствие чего в этих двух случаях различаются знаки искажения в момент
коллапса. При ^Р/Ра ~-2 количество переходов не изменяется (рис. 1Ь, ЗЬ), хотя продолжительность временных отрезков между ними несколько различается. При полном учете завихренности жидкости скорость уменьшения амплитуды колебаний искажения в начале фазы расширения увеличивается. Так, при ЛР/А& gt- ~ амплитуда после пятого перехода искажения через нулевое значение при полном учете вязкости более чем в 2 раза меньше, чем без учета завихренности жидкости (рис. 1Ь, ЗЬ). В момент максимального расширения и в момент коллапса искажение при полном учете вязкости также примерно в 2 раза меньше искажения, полученного без учета завихренности. Этот факт свидетельствует о малом влиянии за-
вихренности в конце фазы расширения и на фазе сжатия.
При достаточно малых амплитудах возбуждения ДР в случае полно-
*
го учета влияния вязкости жидкости возникает эффект немонотонного уменьшения максимального значения искажения в промежутках между переходами через нулевое значение в начале фазы расширения. Подобный эффект отсутствует, если завихренность жидкости не учитывается. Так,
при ДР/Ро — 2.6 фис зь) максимальное искажение на отрезке, примыкающем слева к последнему на фазе расширения переходу через нулевое значение меньше, чем на отрезке, примыкающем к этому переходу справа. Этот эффект проявляется, когда начальное искажение уже достаточно сильно затухает. Его причиной является обратное влияние на поверхность пузырька поля завихренности жидкости, образующегося за счет диффузии с межфазной границы завихренности, которая возникала там в ходе предыдущих более сильных колебаний формы поверхности пузырька. На последующих колебаниях обратное влияние завихрешюсти жидкости проявляется в зависимости от знака искажения. В рассматриваемом случае оно способствует уменьшению искажения, совпадающего по знаку с начальным искажением, и увеличению искажения с противоположным знаком,
поскольку значения в начале расширения пузырька являются для
всей фазы расширения максимальными. На рис. 4 эффект обратного влияния поля завихренности жидкости на искажение поверхности пузырька проявляется в виде смещения представленных кривых в область положи-
е т
тельных или отрицательных значений 4/ 4. Подобная тенденция отсутствует, когда завихренность не учитывается (рис. 2). В целом, искажение в момент коллапса при учете завихренности уменьшается. Так, значение амплитуды представленной на рис. 2 зависимости 8^/е4 (Ар) (ДЛя момента ^) в конце исследуемого диапазонаР примерно на 30% больше, чем на 94
рис. 4. Однако в начале диапазона (примерно до ^ бар), когда влияние
? /е°
завихренности довольно существенно, значение 4'- 4 при полном учете
4
вязкости (рис. 4) оказывается равным и даже превышает значение без учета завихренности (рис. 2).
Заключение
В результате исследований, проведенных для случая четвертой поверхностной гармоники, установлено, что завихренность жидкости оказывает заметное влияние, как на величину, так и на характер изменения искажения формы пузырька в ходе его расширения-сжатия. С уменьшением
амплитуды возбуждения это влияние увеличивается. Завихренность жидкости влияет, главным образом, на характер затухания искажения в начале фазы расширения. При учете завихренности скорость уменьшения амплитуды начальных колебаний искажения увеличивается. При достаточно малых амплитудах возбуждения ^ завихренность жидкости вызывает в начале фазы расширения эффект немонотонного уменьшения максимального искажения в промежутках между переходами через сферическую форму, поскольку влияние завихренности жидкости таково, что поддерживает искажение, по знаку противоположное начальному. Из-за за-
е/е°
вихренности жидкости зависимости искажения '-& lt- 1 от амплитуды возбуждения на фиксированный момент времени смещаются в область положительных или отрицательных значений. Значение искажения в момент коллапса при учете завихренности жидкости уменьшается. Однако Ар
при малых ^ эта тенденция нарушается.
Автор благодарит М. А. Ильгамова и A.A. Аганина за научное руководство и полезные обсуждения. Работа выполнена при поддержке РФФИ (код проекта 02−01−100) и фонда НИОКР РТ.
Литература
[1] Barber В.P., Hiller R.A., LofstedtR., Putterman S.J. and Wen-ingerK.R. Defining the unknowns of sonoluminescence // Phys. Rep., 1997, 281,65−143.
[2] Crum L.A., Mason T.J., Reisse J.L., Suslick K.S. (eds.) Sonochemistry and Sonoluminescence // NATO-ASI series C, J. Kluwer, Dordrecht, 1999, 524, 400.
[3] Matula T. Inertial cavitation and single-bubble sonoluminescence // Phil. Trans. R. Soc. bond. A, 1999, 357, 225−249.
[4] Ohl C.D., Kurz T., Geisler R., Lindau O. and Laulerbom W. Bubble dynamics, shock waves and sonoluminescence // Phil. Trans. R. Soc. A, 1999, 357, 269−294.
[5] Putterman S.J. and Weninger K.P. Sonoluminescence: How Bubbles Turn Sound into Light // Annu. Rev. Fluid Mecb., 2000,32, 445−476.
[6] Barber B.P., Putterman S.J. Observation of synchronous picosecond sonoluminescence // Letters to Nature, 1991, 352, 318−320.
[7] Moss W.C., Clarke D.B., White J.W., Young D.A. Hydrodynamic simulations of bubble collapse and picosecond somo luminescence // Phys. Fluids, 1994, 6, (9), 2979−2985.
[8] Brenner M.P., Hilgenfeldt S., and Lohse D. Why air bubbles in water glow so easily // in Nonlinear physics of complex systems: current status and future trends // J. Parisi et al., Springer, 1996, 79−97.
[9] Brenner M.P., Lohse D. and Dupont T. Bubble shape oscillations and the onset of sonoluminescence // Phys. Rev. Lett., 1995, 75, N5,954−957.
[10] Crum L.A. and Cordry S. Single bubble sonoluminescence// in Proceedings IUTAM Symposium on Bubble Dynamics and Interface Phenomena, edited by J.R. Blake and N.H. Thomas (Kluwer, Dordrecht), 1994, 287−297.
[11] Lohse D., Brenner M.P., Dupont T.F., Hilgenfeldt S. and Johnston B.
Sonoluminescing air bubbles rectify argon //Phys. Rev. Lett., 1997, 78, 1359−1362.
[12] Аганин A.A., Гусева T.C., Ильгамов M.A., Косолапова J1.A., Малахов В. Г. Устойчивость сильного сжатия сферического пузырька // В сб. Проблемы механики деформируемого твердого тела: С-Пб, 2002, С. 7−13.
[13] Taleyarkhan R.P., WestC.D., Cho J.S., LaheyR.T. (jr), Nig-matulin R. L, Block R.C. Evidence for Nuclear Emissions During Acoustic Cavitation // Science, 2002, 295, 1868−1873.
S4 R, MKM
(a)
Ig I G°l
(*)
Рис. 1. Временные зависимости относительного искажения сфериче-
ской формы г'-4/є4 (а), логарифма его модуля *=г4'-Є4І (Ь), полученные без учета завихренности жидкости, и радиуса. пузырька ^ (а) в случае
Ар — 2. 6р0 (сплошные кривые), ~ ^¦^)° (пунктирные кривые) в ходе его расширения-сжатия.
Рис. 2. Масштабированные зависимости относительного искажения ^4/б4 от амплитуды возбуждения в момент максимального расширения пузырька (, п (^ = Ю, кривая 1), момент достижения критического для модели (1)-(8) значения давления (^ ~, кривая 2), момент достижения максимальной скорости сжатия ^ ^ = 1, кривая 3) и момент коллан-
I і/ _ і
са с (/л — кривая 4), полученные без учета завихренности жидкости.
(«)
(*)
Рис. 3. Временные зависимости относительного искажения сферической формы є4/є4 (а), логарифма его модуля (Ь), полученные
при полном учете вязкости жидкости, и радиуса пузырька ^ (а) в случае
Ар = 2. бр0 (сплошные кривые), ~Ро (пунктирные кривые) в ходе его расширения-сжатия.
Рис. 4. Масштабированные зависимости относительного искажения ^ь4/?д ох амплитуды возбуждения в момент максимального расширения пузырька (К =3, кривая 1), момент достижения критического для модели (1)-(8) значения давления ^ = кривая 2), момент дос-
тижения максимальной скорости сжатия ^ (К = 1, кривая 3) и момент
коллапса (К = 19 кривая 4), полученные при полном учете вязкости жидкости.

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой