Об одной задаче управления для абстрактного уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Физико-математические науки


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
Серия: Математика. Физика. 2015. № 17(214). Вып. 40 13
MSC 35Q05
ОБ ОДНОЙ ЗАДАЧЕ УПРАВЛЕНИЯ ДЛЯ АБСТРАКТНОГО УРАВНЕНИЯ ЭЙЛЕРА-ПУАССОНА-ДАРБУ
А. Н. Бабаев, А.В. Глушак
Белгородский государственный университет, ул. Победы, 85, Белгород, 308 015, Россия, e-mail: BabaevQbsu. edu. ru. GlushakQbsu. edu. ru
Аннотация. Рассматривается задача управления для абстрактного уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу, в которой следует определитв начальные условия весовой задачи Коши, обеспечивающие заданные значения решения и её производной в произволвной точке T & gt- 0.
Ключевые слова: абстрактное уравнение Эйлера-Пуассона-Дарбу, задача управления.
Пусть A — замкнутый оператор в банаховом пространстве E с плотной в E областью определения D (A). При 0 & lt- к & lt- 1 рассмотрим весовую задачу Коши для уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу (ЭПД)
к u'-'-(t) + ju'-(t) = Au (t), t & gt- 0, (1)
u (0) = u0, lim tku1 (t) = u1. t^o (2)
В работах [1], [2] для уравнения (1) при значениях параметра к & gt- 0 исследована разрешимость задачи Коши с условиями
u (0) = u0, и'-(0) = 0 (3)
и доказан критерий равномерной корректности этой задачи, который формулируется в терминах оценки нормы дробной степени резольвенты R (X) оператора A и ее производных. Множество операторов A, для которых равномерно корректна задача Коши (1), (3) обозначим через Gk, а соответствующий разрешающий оператор, который называется операторной функцией Бесселя, будем обозначать Yk (t).
Случай к = 0 подробно рассмотрен в классических работах [3], [4]. В них установлено, что задача (1), (3) при к = 0 равномерно корректна только тогда, когда оператор A является генератором косинус-оператор-функции C (t).
Пусть задан оператор A Е Gk и uo, ui Е D (A). Согласно работе [5], единственным решением задачи (1), (2) будет функция
u (t) = Yk (t)uo + (1 — к) 1t1 кY- (t)ui. (4)
Отметим также, что при к & gt- 1 задача (1), (2) корректной не является.
Работа второго автора выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, грант № 13−01−378 А-2013.
14 НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
Серия: Математика. Физика. 2015. № 17(214). Вып. 40
В настоящей работе рассмотрим задачу нахождения начальных условий uo и u 1 по заданным финальным значениям
u (T) = U2, Щ (T) = из • (5)
Полученная задача (1), (5) и будет простейшей задачей управления для абстрактного уравнения ЭПД (1).
Подставляя определяемое равенством (4) решение в финальные условия (5), получим систему операторных уравнений
Fi (T)uo + F2(T)ui = u2, (6)
F'-(T)uo + F2(T)ui = u3, где Fi (t) = Yk (t), F2(t) = (1 — к)-lt1 -kY- (t). (7)
Все операторы, входящие в систему (6), (7), являются ограниченными и коммутирующими друг с другом операторами. Поэтому систему (6), (7) можно решать так же, как и в скалярном случае. Важную роль при этом играет операторный определитель этой системы
w (t)= F {t) W (t) Fit) F2(t) '- Теорема 1. Пусть 0 & lt- к & lt- 1 и A Е Gk. Тогда операторный определитель W (t) удовлетворяет операторному уравнению
к W'- (t) + jW (t) = 0 (8)
и начальному условию lim tk W (t) = I t^o (9)
и, следовательно, W (t) = t-kI.? Пусть uo Е D (A). Тогда
W (t)uo = Fi (t)F2(t)uo — F[(t)F2(t)uo •
Вычисляя производную, получим
W (t)uo = F[(t)F2(t)uo + Fi (t)F2(t)uo — F['-(t) Fi (t)uo — F[(t)F2(t)uo =
= Fi (t)F2(t)uo — F1'-(t)F2(t)uo ,
и, поскольку Fl (t)uo и F2(t)uo удовлетворяют уравнению (1), после подстановки в левую часть (8), будем иметь
к k к
W (t)uo + tW (t)uo = Fi (t)F2(t)uo — F& quot-(t)F2(t)uo + jFi (t)F2(t)uo — fF[(t)F2(t)uo =
= FI (t)(^F2(t) + tm)) u — (flit) + tw)) F2(t)uo =
НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
Серия: Математика. Физика. 2015. № 17(214). Вып. 40 15
= Fi (t)F2(t)Au0 — Fi (t)F2(t)Au0 = 0.
Поэтому в силу плотности D (A) в E имеет место равенство (8). Справедливость же начального условия (9) очевидно следует из представления
W (t)uo = Fi (t)F2 (t)uo — Fi (t)F2(t)uo =
t kYk (t)Y2-k (t)uo + (1 — k) lt1 кYk (t)Y2,_к (t)uo — (1 — k) lt1 кY?(t)Y2-k (t)uo
и равенства (см. [2])
Y,(t)uo
t
k + 1
Yk+2Auo.
(10)
Из теоремы 1 следует, что оператор W (T) обратим и W-i (T) = Tк. Кроме того, при решении системы (6), (7) методом исключения неизвестных, используется равенство (10) и формула сдвига по параметру для ОФБ (см. [1])
Ym (t'-)uo
B (k/2 + ½, m/2 — k/2) Jo
(1 — s2)(m-k-2)/2skYk (ts)uo ds,
где m & gt- k, B (a, b) — бета-функция Эйлера.
Теорема 2. Пусть 0 & lt- k & lt- 1, A? Gk, u2? D (A), us? E. Тогда задача (1), (5) имеет единственное решение, определяемое равенством (4), где
uo
(T2) T
V-(T& gt- + W-k+3AY-(Т)) щ — -к Y2-k (Тu
T i+k
ui = TkYk (T)u3 — -rAY2+k (T)u2.
(H)
(12)
1 + k
? Действительно, также как и в скалярном случае, рассмотрим два вспомогательных символических операторных определителя
Ап
u2
(1 — k)-iTi-kY2-k (T)
u3 T-kY2-k (T) + (1 — k)-i (3 — k)-iT2-kAY-k (T)
= T-kY2-k (T)u2 + (1 — k)-i (3 — k)-iT2-kAY-k (T)u2 — (1 — k)-iTl-kY^-. k (T)u3 =
T
— k
((v2-k (T) + kt-^AY-(T)) «2 — T-P^k (T)*)
И
Ai
k2 — 4k + 3
Yk (T) u2
(1 + k)-iTAY2+k (T) u3
л-k I rrik-
= Yk (T)щ —
T
1 + k
AY2+k (T)u2 =
/ T i+k
= T-kl TkYk (T)us — Y+kAY2+k (T)u2j.
Умножая Ao и Ai на W i (T) = Tk, получим (11) и (12). ¦
2
16 НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
Серия: Математика. Физика. 2015. № 17(214). Вып. 40
В частном случае, когда к = 0 и A Е G0 решение задачи управления имеет вид
u (t) = C (t)u0 + S (t)ul, где C (t) — косинус-оператор-функция,
t
S (t) = J C (s) ds, u0 = C (T)u2 — S (T)u3, ul = C (T)u3 — S (T)Au2.
0
Литература
1. Глушак А. В., Покручин О. А. Необходимое условие разрешимости задачи Коши для абстрактного уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу // Научные ведомости БелГУ. Сер. Математика. Физика. — 2012. — № 11(130) — Вып. 27. — С. 29−37.
2. Глушак А. В., Покручин О. А. Достаточное условие разрешимости задачи Коши для абстрактного уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу // Научные ведомости БелГУ. Сер. Математика. Физика. — 2014. — № 19(190) — Вып. 36. — С. 17−26.
3. Fattorini Н.О. Ordinary differential equations in linear topological space, II // J. Different. Equat. — 1969. — 6. — P. 50−70.
4. Sova M. Cosine operator functions // Rozpr. mat. — 1966. — № 49. — P. 1−47.
5. Глушак А. В., Кононенко В. И., Шмулевич С. Д. Об одной сингулярной абстрактной задаче Коши // Известия ВУЗов. Математика. — 1986. — № 6. — С. 55−56.
ABOUT AN CONTROL PROBLEM OF ABSTRACT EULER-POISSON-DARBOUX EQUATION
A.N. Babaev, A.V. Glushak
Belgorod State University,
Pobedy Str., 85, Belgorod, 308 015, Russia, e-mail: BabaevQbsu. edu. ru. GlushakQbsu. edu. ru
Abstract. The control problem of abstract Euler-Poisson-Darboux equation is under consideration. It consists of the foundation initial conditions of weight Cauchy problem which guarantee some given values of solution and its derivative in arbitrary point T & gt- 0.
Key words: abstract Euler-Poisson-Darboux equation, control problem.

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой