Fourier-Bessel'-'-s transform of a generalized function vanishing outside a bounded surface

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Физико-математические науки


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ j^jj Серия: Математика. Физика. 2015. № 17(214). Выл. 40 149 MSC 46А12
FOURIER-BESSEL'S TRANSFORM OF A GENERALIZED FUNCTION VANISHING OUTSIDE A BOUNDED SURFACE
E.L. Shishkina
Voronezh State University,
Universitetskaya pi., 1, Voronezh, Russia, e-mail: ilina_dico@mail. ru
Key words: Fourier-Bessel's transform, generalized functions, Scwartz’s function, Euclidian space, linear functionals.
Let R+ denote an Euclidean space of points x = (x,…, xn), x1 & gt- 0,…, xn & gt- 0 and the multiindex 7 = (yb…, yn) runs through fixed positive numbers. The space Sev (R+) = Sev is the subspace of the Schwartz function space that consists of functions p (x) even in each variable x1, …, xn. The space of linear continuous functionals, whose regular representatives are generated by the linear weighted form
(!, ф)1
f (x)p (x)x7 dx,
x1 = П xf '
i=1
is called the distribution space over Sev and is denoted by S'-ev (R+) = S'-ev. The Fourier-Bessel transform is denoted by formula
fb[f](?) = Ш) = f f (x)J7(x, 0x'- dx & gt-
where jY (x,?)= П jy-i (xi& amp-), jv (t)=T (v + 1) Jv (t), tER1, Jv (t) is Bessel functions of
i=1 2
the first kind. Spaces Sev and S'-ev are invariant to Fourier-Bessel transform (see [1]).
For the generalized function f E S'-ev, vanishing outside a bounded surface П C R++ the Fourier-Bessel transform is functional
(f (x), jY (x, C))Y
f (a)j7 (x, C) x dx,
n
which acts as follows: function jY (x,?) is replaced by a test function p0(x,?) = jY (x,?) for x E П and po (x,?) = 0 for x E then functional f applies to p0(x,?). The number obtained is independent of choice of this function & lt-^0(x, a).
The Fourier-Bessel transform of any generalized function f E S'-ev vanishing outside a bounded surface for any test function ip (x) E Sev is denoted by formula
J (f (x), jY (x, a))Y Ф (а)аY da
2n-i
n (., 4
П гТ yy)
j=1 v /
(fdE)l.
150 НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ Е Я Серия: Математика. Физика. 2015. № 17(214). Вып. 40
We shall introduce a singular generalized weighted function (compare with construction in [2] page 247)
(SY (r — a), p) Y = J ф (х)хаdS, ф (х) E Sev.
S+(a)
The Fourier-Bessel transform of SY (r — R) is calculated according to the formula:
Fb[S. ,(r — R)(() = j (x,()xYdSR = R& quot-+l7|-1|S,|(1)|7jn+Y-(R|5|).
S+®
Following [3] we introduce the operator Д7:
n
Д Y = BYi,
i=1
where BYi is Bessel operator:
BYi о 2 + о, ¦ 1, H.
axil Xi dxi
The formula (1) can be used for solving a problem
d 2u adu
+ ТЧ7 = ?y u (x, t),
dt2 t dt
u (x, 0) = 0, ut (x, 0) = SY (x).
For 0 & lt- n + IyI — a & lt- 3, |y| = j1 + … + yn the solution of (2)-(3) is
u (x, t) = Cby (n)tl-n-Yl 2F1 (^ - M!)
where
C"y, (n) = 2n+lYl-a-2IS+(n)l
г (If!) Г (n±t2-a)
Г
3-n- Y 2
(1)
(2)
(3)
Y
References
1. Lyakhov L.N. Multipliers of the mixed Fourier-Bessel transform // Tr. Mat. Inst. Steklova. -1997. — 17, V. 214. — P. 234−249.
2. Gel’fand, I.M., Shilov, G.E. Generalized functions. Vol. I: Properties and operations / Boston: Academic Press, 1964.
3. Kipriyanov I.A. Singular Elliptic Boundary Value Problems / Moscow: Nauka, 1996.
НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
Серия: Математика. Физика. 2015. № 17(214). Вып. 40 151
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ-БЕССЕЛЯ ОБОБЩЕННОЙ ФУНКЦИИ ИСЧЕЗАЮЩЕЙ ВНЕ ОГРАНИЧЕННОЙ ПОВЕРХНОСТИ
Е.Л. Шишкина
Воронежский государственный университет, пл. Университетская, 1, Воронеж, Россия, e-mail: ilina_dico@mail. ru
Ключевые слова: преобразование Фурье-Бесселя, обобщенные функции, функция Шварца, евклидово пространство, линейные функционалы.

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой