Управление переносом вредных веществ в сингулярно возмущенных горных экосистемах

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Физико-математические науки


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

© И. Д. Алборов, В. И. Алехин, Ф. Г. Тедеева, 2008
УДК 669. 507
И. Д. Алборов, В. И. Алехин, Ф.Г. Тедеева
УПРАВЛЕНИЕ ПЕРЕНОСОМ ВРЕДНЫХ ВЕЩЕСТВ В СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЕННЫХ ГОРНЫХ ЭКОСИСТЕМАХ
~ЩЪ процессе добычи полезных ис-
-Л# копаемых, в частности полиметаллических руд на Северном-Кавказе, в горах остается много отвалов некондиционных руд, пустых пород и отвалов хвостов обогащения, которые являются причиной загрязнения окружающей среды, нарушения экологического равновесия. Изучение подобных горноэкологических систем позволяет найти оптимальные пути управления и минимизации вреда, наносимого экосистемам.
Горные экосистемы, в которых начинают происходить, или уже происходят, качественные изменения в дальнейшем будем именовать сингулярно возмущенными. Изменения, происходящие в окружающей среде при функционировании природнотехнической системы, закономерности поведения подобных систем зачастую описываются дифференциальными уравнениями с негладкими коэффициентами.
Рассмотрим общие уравнения диффузии с быстро осциллирующими коэффициентами. Подобного вида дифференциальные уравнения с частными производными описывают процесс изменения концентрации вредных веществ (процесс атмосферной, гидрологической дисперсии) в гетерогенных средах с характерным параметром? {!]:
Зи
З2и
Зх
тіч Зи ,. ". f (x, ?Д) —
+ ~т) — + пи + 10(х,?, t) + 4 7' ' = 0, t Зхі t
(1)
Х = (*1, Х2' Хз)' $ = (^1,2. ^3).
Є
$г =, $ є [0,1], х є р с R3.
ki, т0г., п, f0, f — гладкие, ограниченные функции по х,?.
Данные функции являются периодическими по? с периодом равным 1.
Пусть также даны начальные и краевые условия вида:
и (0,х) = ^(х), u (t, ЙХ) = иах (1)1 (2)
Рассмотрим периодические импульсные выбросы вредных веществ при
г = о, г = Т, г = 2Т…
Для того чтобы найти значение концентрации вредных веществ в начальный момент времени, т. е. при г ^ 0, определим решение уравнения (1) асимптотическим методом (АВИ) [2]. Для этого асимптотическое разложение
и (х, 0 =
и2(т) и_і(т)
I2
+
+и0(т) + ц (т)1 + и2(т)12 +.
+
і=1
1=1
Lu1 = F1, Lu0 = ^,
Lu1 = F1, Lu2 = F2
(5)
и (х, о) = и2(2Тю)
+
о
+ и_іЮ + и0(Тщ) +
о
(6)
і=1
подставим в уравнение (1), в результате получим рекуррентную цепочку уравнений, из которой можно найти неизвестные функции Я (х), и і ,…
Эти функции ограничены и дифференцируемы по т. Будем предполагать, что характерный параметр импульсного выброса вредных веществ О & lt-<- Є Данная система будет иметь вид:
Lu_ 2 = 0,
к=0
Из этой системы определяется асимптотическое решение, которое дает значение концентрации вредных веществ при г = со.
При г & gt-о уравнение (1) редуцируется к уравнению с постоянными коэффициентами по г.
йи ^ «й2и
---- + & gt- К: -----2 +
а & amp- 1 йх: 2
3 йи
+Е т0^ + пи + 1 = 0,. (7)
ЙХ:
Коэффициент^! Ск (г) определим из условия того, что и (х,?, г) является
решением уравнения (7). Для этого подставим данное выражение в уравнение (7) и учтем что
Йи
^ = Х С кик,
З1
к=0
Зи ^ 1
= X Ск (~ ик$ + ик*і) ,
З*і к=0
З 2и
(9)
1 2
= X Ск (~^2ик$$ + ик$ хі + икхі хі)
Зх- - є» є
в результате получим
^ 3
Х[С кик + ск X Кі(и
к=0 і=1
і=1
3 1
1 2
к^і^і є2 + є ик^ +
+ икхіх) + Х т0і(ик^і -+ икхі) + пСки і і Ы є і
кик
= X ^*(х, ^)Фк (1).
є к=0
(10)
Проинтегрируем равенство (10) по $ є [0,1] и по Х є О. В результате получим осредненное по Х, $ уравнение:
І
к=0
• _ 1 _ 2- -С кик + Ск (т Ук + _5к + Єк) +
є є
+ -°к + Ок + ^ є
И да _____
= -21 {Фк (1),
(11)
к=0
Пусть ик (Х, $) _ полная, ортонор-
мированная система непрерывных функций.
Рассмотрим формальную сумму следующего вида:
здесь ик = Ц ик (х,$)ёхё$
О 0
з 1
У к =ХЯ Кіик$$ ^,
і=1 О 0 3 1
=
ХЯ 2К гик$х х,^$-
=1 О 0
з І
6к =ХЯК гикхЛ^ ,
i=1 Q 0
І з
Шк =ЯХ m0i ик^ dxd? ,
Q 0 І=І І
Qk = Яnukdxd? ,
Q 0
І
fk = J J fkdxd? — эффективные коэф-
Q 0
фициенты.
Перепишем (ІІ) следующим образом:
случае систему (15). Для этого, используя систему MATCAD, определим фективные коэффициенты:
І0 І
X^4C k + Ck (Yk +є(2 $k +®k) +
k=o
да _
є2(Є +Qk + Nk))] = Х (Фk (t). (12)
k=o
Не трудно видеть, что выражениями
?(2^к + ок), ?2(@к +Цк + Nк)
можно пренебречь. Тогда из (12) полу-
чим:
да _
Х (s-stct+СкТк) = Х л фк и), (із)
к=0
или
к=0
u = JJsin (x)sin (?)dtd? = 0,845, ,
00 І0 І
й2 = JJ sin (2 x) sin (2?)dtd? = 0,21,
00 І0 І
йз = JJ sinpx^inp^dtd^ = 0,187,
00
у/u = -2,796, v2 /й2 = 7,5І4,
Уз /йз = з, 465, (Іб)
Учитывая коэффициенты (Іб), запишем систему (І5):
U — C — 2,796СІ - cos (t) = 0 U — (С2 + 7,5І4С2 — cos (2t) = 0 U — Сз + з, 495Сз — cos^t) = 0
Применяя программу Euler, определим Q, Сі, С2, Сз,… из системы (І7) (рис. І.)
Таким образом, мы определяем выражение
У (? икСк + 7кСк /кФ к (г)) = 0
к=0
(14)
т-г 2
Положим ц = ?. Для того, чтобы выполнялось венство (14) необходимо, чтобы
ц • икск + 7кСк — ЛФк = 0,
(15)
к = 0,1,2,…
Запишем в одномерном
Рис. 1. Здесь М1 = ^ М2 = С2,
М3 = С3, М0 = с0
Рис. 2. Здесь г = X, М4 = С, М5 = С2,
X
и
Рис. 3. z = и (х, у) = sin (x)sin (y)
и (х, ?) = Со (1) + +C1(t)sin (x)sin (^) + (18)
+^(^^(2x^(2^) + +C3(t)sin (3x)sin (3 ^) +…
Аналогичным образом можно найти эффективные коэффициенты в плоском случае:
эп (х^п (у^п (^) х х sin (п)dxdyd^dп = 0,715 '
(19)
ху^ sin (x)sin (y)sin (^) х х sin (^)dxdyd^d^ = -11,17'
= -2. 492 (20)
Далее, находим выражение для системы (аналогично системе (17))
Д • С1 — 1 5. 6С1 — СОв^) = 0
С2 — 56. 6С2 — сов (20 = 0 (21)
Далее, аналогично (18) определяем выражение для
и (х, у,?, л, г) и (х, у, ?, пД) =
= С ^)9п (х)9п (у)9п (?) х х ЭП (п) + С2(^п (2х) х х an (2y)sin (2^)sin (2п) + +C3(t)sin (3x)sin (3y) х
хЭП (3^)ЭП (3п) +… (22)
Далее, приведем некоторые математические модели горных сингулярно возмущенных геоэкологических
и1
Рис. 4. z=u1(x, y)=sin (x)sin (y)+sin (2x)sin (2y)
М4
10 10 1 1
0 0 0 0 и2 = 0,044
НИ
систем:
На рис. 3, 4 изображены математические модели горного рельефа, в котором может происходить перенос вред-ных веществ согласно уравнению (1).
Заключение
В статье приведена математическая модель, позволяющая изучать процесс
1. Алборов И. Д., Алехин В. И. Перенос вредных веществ в гетерогеных средах под действием импульсных источников // Цветная металлургия, № 1, 2004, с. 37−39.
переноса вредных веществ в горной среде. Приводится алгоритм реализации данной модели, это дает возможность исследования вопросов, связанных с оптимальным управлением геоэкологическими системами.
-------------- СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
2. Алехин В. И. Метод АВИ в математической теории переноса вредных веществ в гетерогенных средах // Тр. Молодых ученых / Владикавказский научный центр РАН. Владикавказ, 2002, № 3, с. 28−32. ЕШ
— Коротко об авторах ----------------------------------------------------------------------
Алборов И.Д.- доктор технических наук, профессор, академик МАНЭБ,
Алехин В. И. — кандидат технических наук, старший научный сотрудник,
Тедеева Ф. Г. — кандидат технических наук, старший преподаватель,
Северо-Кавказский горно-металлургический институт (Государственный технологический университет).
Доклад рекомендован к опубликованию Северо-Кавказским горно-металлургическим институтом.
----------------------------------- ДИССЕРТАЦИИ
ТЕКУЩАЯ ИНФОРМАЦИЯ О ЗАЩИТАХ ДИССЕРТАЦИЙ ПО ГОРНОМУ ДЕЛУ И СМЕЖНЫМ ВОПРОСАМ
Автор Название работы Специальность Ученая степень
ВЛАДИВОСТОКСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
ДЬЯЧЕНКО Юлия Экономическая оценка природных ресурсов как фактор повышения инвестиционной привлекательности горнодобывающих 08. 00. 05 к.э.н.
© И. Д. Алборов, В. И. Алехин, Ф. Г. Тедеева, 2008

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой