Смешанная задача для сингулярного параболического уравнения второго порядка в произвольном нормальном цилиндре

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Физико-математические науки


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

В первую очередь, это стимулирование познавательного интереса и выработки общественных умений и навыков, на основе решения одного и того же вопроса интеграции. Второе — это объединение понятийно-информационной сферы учебных предметов. Оно может проводиться в целях наилучшего запоминания каких-либо фактов и сведений, сопутствующего повторения, введения в урок дополнительного материала. При этом необходимо учитывать, являются ли применяемые учащимися знания результатом интегрирования. Третий круг задач связан со сравнительно-обобщающим изучением материала, которое выражается в умении школьников сопоставлять явления и объекты. И четвертый уровень проявляется в деятельности учащихся, когда школьники сами начинают сопоставлять факты, суждения об одних и тех же явлениях, событиях, устанавливать связи и закономерности между ними, применяют совместно выработанные учебные умения.
Элективные ю/псы связаны с удовлетворением индивидуальных образовательных интересов, потребностей и склонностей каждого школьника. Именно они, по существу, и являются важнейшим средством построения индивидуальных образовательных программ, так как в наибольшей степени связаны с выбором каждым школьником содержания образования в зависимости от его интересов, способностей, последующих жизненных планов.
Элективные курсы компенсируют во многом ограниченные возможности базовых и профильных курсов в удовлетворении разнообразных образовательных потребностей старшеклассников.
Усвоение предметного материала обучения из цели становится средством такого эмоционального, социального и интеллектуального развития ребенка, которое обеспечивает переход от обучения к самообразованию.
Условиями преподавания интегрированных элективных курсов являются обстановка сотрудничества, творческий поиск учителя и учащихся, расширенная самостоятельная работа учащихся, возможность выстраивания учеником собственной, индивидуальной, образовательной траектории, дальнейший рост знаний ученика по какому-либо модулю.
Интегрированные элективные курсы совмещают в себе различные формы организации, моделируют противоречия реальной жизни через их представленность в теоретических концепциях, взаимодействуют на проблемно-организационном материале, позволяют активизировать внимание учащихся, соединяют воедино различные предметы, интересы, способности.
Поступила в редакцию 8 ноября 2006 г.
СМЕШАННАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ СИНГУЛЯРНОГО ПАРАБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА В ПРОИЗВОЛЬНОМ НОРМАЛЬНОМ ЦИЛИНДРЕ
© А.Ю. Сазонов
Пусть М++1 полупространство у & gt- 0 точек х — (хь…, хп, у) = евклидова (п + 1)-мерного
пространства Еп+1. С+ и — ограниченные (п + 1)-мерные области, расположенные в Кп+1 и прилегающие к гиперплоскости у — 0. Через Г° обозначим часть границы области лежащей на гиперплоскости у = 0, а Г+ - замыкание оставшейся части границы. Через (?т обозначим (п + 2)-мерный цилиндр, равный произведению Г2+ х (0 & lt-? & lt- Т). В работе рассматривается вопрос о разрешимости в классическом смысле краевой задачи:
— - ?Л1 = ДМ): (ж,?) е С) т (1)
и (х, 0) = & lt-р (х)) х (= П+,
(2)
Г+х (0, Т)
— о,
du{x, t)
ду
= 0,
Г° х (0,Т)
(3)
где & lt-р (х) — заданная функция, определенная в области С+, /(ж, I) — заданная функция, определенная в цилиндре С}т,? — определенный в области С+, дифференциальный В-эллиптический оператор [1]:
ь=Е
i, 3−1
д_
дХі
д
aijW-
д2 к д
+ ^& quot-2 + - -К- + с (х), ф) & lt-0, к& gt-0. и ду2 уду
Общее решение задачи (1)-(3) представимо рядом Фурье
u (x, t) = У^Ур{х) р-1
г
ippe~Xpt + j fp{r)e-x^T)dT
(4)
(5)
в котором Ир (х) — собственные функции, а Ар — соответствующие собственные значения краевой задачи:
Lv + Ли = 0, х Є
1−0 —
1г+_ ' ву
= 0.
Г°
Через (fp, и /р (г) обозначены коэффициенты Фурье разложения функций tp (x), и f (x, t) по системе {fp (a-)}. Обозначим через Ву = к & gt- 0 дифференциальный оператор Бесселя и
через [а] целую часть числа а.
Теорема. Пусть Г2+ - произвольная нормальная область, содержащаяся вместе с частью границы Г+ е открытой области С+ и Г+ составляет с гиперплоскостью у = 0 угол, равный ЖІ2- Коэффициенты оператора L, начальная функция & lt-р{х) и правая часть f (x, t) удовлетворяют следующим требованиям:
1) a, ij (x) и (х) удовлетворяют условиям с{х) ^ 0, a-ij (x) — а^(. т), для любого, а = (ai, …, ап+1), |о-| /0и для любого 6 & gt- 0 выполнено неравенство
2 aij^ociotj +u^+1 ^Sa
равномерно по х € С& quot-1"-. а^(х) имеют непрерывные производные до порядка [п+^+1] + 2, а коэффициент (ж) — до порядка [п~^+1] + 1 е областей С4& quot- и, кроме того,
д1аі: і(х)
ду1
= 0,
д1
го
ду1
г°
п + к 4−1
-1-
Г 1+2, Гп+ь-цл
2) (р е (^) Ч кроме того, & lt-р, Ь (р,…, Ь4 ф принадлежат пространству
Н{ (П+) —
[& quot-+^+11−1-2 Гп+Н21
3) / € Н. 1 ((?Т) и, кроме того,/, Ь/,…, 1& lt-- 4 1/ принадлежат пространству (фт).
Тогда ряд (5) и ряд полученный однократным почленным дифференцированием ряда (5) по Ь,
сходятся равномерно во всем замкнутом цилиндре (?т, о ряды, полученные дифференцированием
вида дх9дх, Ву ряда (5) сходятся равномерно в любой строго внутренней подобласти & lt-2т¦
При этом сумма ряда (5) определяет классическое решение задачи (1)-(3).
Сформулированная теорема имеет своим классическим аналогом соответствующую теорему
о
В. А. Ильина [2]. Весовые функциональные пространства И. А. Киприянова {С2Т) введе-
ны и изучены в работе [3]. В работе [4] аналогичный результат установлен для гладких границ типа Ляпунова.
ЛИТЕРАТУРА
1. Киприянов И. А. О краевых задачах для уравнений в частных производных с дифференциальным оператором Бесселя // ДАН СССР. 1964. Т. 158 § 2, С. 275−278.
2. Ильин В, А. О разрешимости смешанных задач для гиперболических и параболических уравнений // УМН. 1960. Т. 15. Вып.2. С. 97−154.
3. Киприянов И. А. Преобразования Фурье-Бесселя и теоремы вложения для весовых классов // Труды М П АН СССР. 1967. Т. 89. С. 130−213.
4. Сазонов А. Ю. О классическом решении смешанной задачи для сингулярного параболического уравнения // Дифференциальные уравнения. 1990. Т. 26, № 8. С. 1382−1388.
БЛАГОДАРНОСТИ: Работа выполнена при поддержке Российского Фонда Фундаментальных Исследований (грант № 04−01−324).
Поступила в редакцию 8 ноября 2006 г.
«

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой