Операторно-векторное правило Крамера решения систем линейных векторных уравнений в банаховом пространстве

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Физико-математические науки


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

УДК 517. 98
ОПЕРАТОРНО-ВЕКТОРНОЕ ПРАВИЛО КРАМЕРА РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ ВЕКТОРНЫХ УРАВНЕНИЙ В БАНАХОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ
© В.И. Фомин
Fomin V.I. The Cramer operator vector rule for the solution of the systems of linear vector equations in the Banach space. The Cramer rule for the solution of the systems of linear scalar equations is generalized for the systems of linear vector equations with the bounded operator coefficients in the Banach space.
В банаховом пространстве E изучается система вида
(і)
АцХ, + А] 22. + АІих" =*1
A2]X] + A222 +. ¦ + А2пх" (N о II
Аи1х, + А «2Х2 +.. +А""х» с -С) II
де X,, х2,…, х" неизвестные
Ьх, Ьг,…, Ьп — некоторые заданные элементы из Е Агу (1 & lt-/,_/'-<- и) — некоторые заданные операторы из Ь (Е), удовлетворяющие условию
Аы = Акт А,-, V1 & lt- 1^, к, т & lt- п.
Рассмотрим операторный определитель системы (1):
Ап A,!. • Aln
А = a21 A22. A2n
A"i A/72 • ¦ A""
= '-& quot-Ч, ,-'-Чг ,.
(л, Л. ЛМ"
где Рп — множество перестановок индексов 1,2,…, и- фОрУг' ~ число инверсий в перестановке
(/1 & gt-У2>---->-Уп) ¦
Введём в рассмотрение операторно-векторные определители системы (1): для любого 1 & lt- у & lt- п
An Aj2 • ¦ Ay-i йі Aij+i ¦¦ A
д/г& gt--= a2i A 22 ¦¦ A2& gt-1 6j. ^ij+. A
Anl A, l2 •• A"y.| b" A"/+i ¦. A
где Ак] - операторное алгебраическое дополнение элемента Ад.- операторного определителя А
(1 & lt-Л, у<-и):
Ац = (-1)к+1'-М/д- ,
где Мк, — операторный минор элемента А^ операторного определителя А, то есть операторный определитель (п — і) -го порядка, получаемый из, А вычёркиванием его к -ой строки и у -го столбца.
Теорема. Если 3 А 1 Є Ь (Е), то система (I) имеет единственное решение
(2)
fc=i
Доказательство. Заметим, что операторные определители обладают теми же свойствами, что и определители с элементами из коммутативного ассоциативного кольца с единицей [1]. В частности, при любом фиксированном 1 & lt- / & lt- п
=0, VI & lt-к<-п, кФі
J=і
5& gt-а=а-
(3)
(4)
У=1
Подставляя (2) в левую часть / -го уравнения системы (1) (1 & lt- I & lt- п) и используя (3), (4), получаем:
7=1 fc=l
к= ^'-=1
X ХА. л л"Х-=Х їлл =1 j=l
п
ХА"л
-'-=1
АЛ- = ААЛ, =Л,.
Теорема доказана.
Если формулу (2) записать в виде
х, =А1А,(6), 1 & lt-j<-n.
то она становится похожей на обычное правило Крамера для решения систем линейных скалярных уравнений [2] (для операторного определителя, А можно
условиться считать, что — = А4).
А
ЛИТЕРАТУРА
1. Размыслович Г. П., Феденя М. М., Ширяев В. М. Геометрия и алгебра. Мн.: Изд-во «Университетское», 1987. С 149.
2. КурошА. Г Курс высшей алгебры. М.: Наука, 1975. С. 57.
Поступила в редакцию 14 мая 2002 г.

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой