Об одном точном аналитическом решении в термодинамике

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Физика


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

2015 ВЕСТНИК НОВГОРОДСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА № 3(86) Ч. 2
КРАТКИЕ СООБЩЕНИЯ
«
УДК 536. 7
ОБ ОДНОМ ТОЧНОМ АНАЛИТИЧЕСКОМ РЕШЕНИИ В ТЕРМОДИНАМИКЕ
А.М. Сарры
ABOUT ONE EXACT ANALYTICAL SOLUTION IN THERMODYNAMICS
A.M. Sarry
Институт электронных и информационных систем НовГУ, ASARRY@yandex. ru
1. В этой краткой заметке показан редкий случай возможности получения точного аналитического вида для внутренней энергии Е (У, Т) и давления РУ, Т) тела. Это достигается путем точного совместного решения двух точных же линейных дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка.
Первым таким уравнением служит основное термодинамическое соотношение, связывающее внутреннюю энергию тела с его давлением [1]:
(дЕ/дУ)Т = Т (дР/дТ)у — Р (У, Т). (1)
В качестве второго уравнения берется теорема вириала для этого тела [1]: 3УР (У, Т) = (п + 2) ЕЫп (у, Т) — пЕ (У, Т) =
= 2Ец"У, Т)-пЕро1(У), (2)
где Е = Ек, п + Ер01, Р (У, Т) есть внешнее давление на рассматриваемое тело, а п есть степень однородности потенциальной энергии и (г) центрального взаимодействия структурных единиц (электронов, атомов, молекул…) тела, т. е. гди (г)/дг = пи (г).
В общем случае, т. е. когда кинетическая энергия тела может зависеть еще и от объема тела, уравнения (1−2) не удается замкнуть, чтобы получить точные явные выра-жения для его энергии Е (У, Т) и давления Р (У, Т), поскольку тогда нужно иметь еще одно уравнение, с участием и ЕЫпу, Т). Если же в уравнении Эйлера на собственные значения и собственные функции степень однородности окажется равной минус двум, то, как видно из выражения (2) для теоремы вириала, уравнения (1−2) замыкаются. Это единственный случай точного замыкания уравнений (1−2) с помощью теоремы вириала.
2. Уравнения для давления и внутренней энергии тела для п = -2.
В этом случае основные уравнения (1), (2) примут такой вид:
Т (дР/дТ)у — (3/2)У (дР/дУ)Т = (5/2)Р, (3)
Т (дЕ/дТ)у -(3/2)У (дЕ/дУ)Т = Е. (4)
Решать эти уравнения удобно методом характеристик [2]. Сами решения имеют вид:
P (Y, t) = ЛуГ3/n]tn3)/n U-2=/lyt3'-2]5'-2, если f (Y),(5) ey, 0=qiY-n/3t]Yn/3in=-2=qiY2/3t]Y-2/3, если E (1t)=ф (0,(6) где f (y) и ф (/) — заданные функции объема или температуры соответственно, и еще введены безразмерные объемы и температуры: (V /V0) = Y, (T / T0) = t).
Выражения (5−6) дают полное и точное решение задачи определения термодинамических функций системы, если энергия взаимодействия ее структурных единиц есть однородная функция минус второй степени.
Если такая система находится в ограниченной области пространства, и на нее не действует внешнее давление Р, то ее внутренняя энергия Е, согласно ТВ (2), равна нулю, т. е. в такой системе существует притяжение между структурными ее единицами:
3PV = 2EE = 0Ekin + U = 0 ^ U = -Еш. (7)
Кстати, при отсутствии внешнего давления на систему и при отрицательной степени однородности ее энергии взаимодействия в системе всегда будет притяжение между ее структурными единицами, а при положительной степени однородности, наоборот — всегда будет отталкивание, так как при P = 0 из ТВ (2) следует соотношение: Epot = (2/n)Ekin.
Теперь встает вопрос о практической ценности этого решения: есть ли в природе такие термодинамические системы, или их вообще нет? К сожалению, такие термодинамические системы в настоящее время мне неизвестны, хотя они, возможно, и могут существовать в природе (здесь уместно вспомнить недавний шокирующий случай в кристаллографии: кристаллографы 19-го и 20-го столетий были уверены в том, что кристаллов с осью симметрии пятого порядка в природе не существует- однако недавно их все же нашли).
2012 ВЕСТНИК НОВГОРОДСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА № 68
Еще стоит напомнить, что, например, энергия взаимодействия двух термодинамических систем с общими зарядами Q1 ф 0 и Q2 = 0 (или наоборот) в дипольном (первом неисчезающем) приближении, т. е. когда они расположены на больших расстояниях друг от друга, и сводящаяся в этом случае к взаимодействию лишь между зарядом и диполем (т.е. к взаимодействию уже нетермодинамической системы), имеет как раз такой вид [3]:
U = й^ГоУг2, (10)
где г0 = г / г, и направлен этот единичный вектор от центра диполя к центру заряда, а г — расстояние между центром заряда Q1 и центром диполя d 2 (либо наоборот).
Я искренне признателен участникам научного семинара Института электронных и информационных систем НовГУ и руководителю семинара проф.
А. Ю. Захарову за обсуждение работы и полезные замечания.
1. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Статистическая физика. Ч.1. М.: Наука, 1976. 584 с.
2. Фарлоу С. Уравнения с частными производными для научных работников и инженеров. М.: Мир, 1985. 384 с.
3. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теория поля. М.: Физматгиз, 1962. 424 с.
References
1. Landau L.D., Lifshits E.M. Statisticheskaia fizika [Statistical physics]. Part 1. Moscow, & quot-Nauka"- Publ., 1976. 584 p.
2. Stanley J. Farlow. Partial differential equations for scientists and engineers. Willy & amp- Sons, Chichester, 1982. 402 p. (Russ. ed.: Farlou S. Uravneniia s chastnymi proizvodnymi dlia nauchnykh rabotnikov i inzhenerov. Moscow, & quot-Mir"- Publ., 1985. 384 p.).
3. Landau L.D., Lifshits E.M. Teoriia polia [Field theory]. Мoscow, & quot-Fizmatgiz"- Publ., 1962. 424 p.

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой