Резонансные свойства энергии во всем пространстве

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Физико-математические науки


Узнать стоимость новой

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН _2014, том 57, № 6_
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА
УДК 51. 53
Ф.В. Срумова
РЕЗОНАНСНЫЕ СВОЙСТВА ЭНЕРГИИ ВО ВСЕМ ПРОСТРАНСТВЕ
Таджикский национальный университет
(Представлено академиком А Н Республики Таджикистан Л. Г. Михайловым 12. 05. 2014 г.)
Исследовано поведение интеграла энергии для волнового уравнения при г ^ да во внешней области «ловушечного» типа.
Ключевые слова: резонансные свойства — энергия.
Пусть О'- - замкнутая ограниченная область в N -мерном евклидовом пространстве, N & gt- 3. Граница дО'- области О'- предполагается достаточно гладкой. Область О3 — связная
компонента множества О'-, содержащая бесконечно удаленную точку, а
Область О содержится в О'-, имеет связное дополнение и мало отличается от О'-. Пусть / (х, г) е (О'-) при г & gt- 0 и непрерывна в О'- х [0, да). Рассмотрим смешанную задачу
д2и
--Ди = / (х, г), х е Км О'-, г & gt- 0, и (х, г) е О [^ О'-х[0, да)], и (х, + 0) = | (х, + 0) = 0, х е О'-, и (х, г) = 0, х е границе О'-. Целью нашей статьи является исследование поведения интеграла энергии Е (г)= | (||(х, г)| х, г)|)дх для волнового уравнения при г ^ да во внешней области
«ловушечного» типа. Изучаемому вопросу посвящены работы [1, 2]. Пусть п± (х, п,
VI)
= ехр (г (п, х) VI) + рр (х, О) аа (п, I, О) + (п, I, О, х) — решение
задачи рассеяния вблизи резонанса. Здесь аа (п, Я, О) = // (I, О) (1 — //(I, О)) е] (п, I, О),
функция Ч (п, I, О) голоморфна по I в окрестности I и непрерывна по О при О ^ О'- в мет-
Т2 * ± ± ± рике. Функции р., а, е. удовлетворяют следующим условиям:
(2 | | & lt-а) {к, П)| (О) 0, а (О) 0,
& lt-т 1 (о) (а (о))12 о, Цру — у/} || о, а (о) о,
е] (п, О) ^ 0, д (О) ^ 0, |и0я, — (ехр (г (п,) VI) + Ч (п, I, О)) ^ 0, д (О) ^ 0
(иш — решение задачи рассеяния для области О3).
Замечание 1. Функции (((п, Я, О) ^ да при к2 ^ Я..
Замечание 2. Пусть (X)е О'-). Тогда в 1} (О'-) существует
{ u±(x, k) f (x)dx = f (k, a),
RnQ'-
S (/)(г, Q'-)={ |(f)(nr, Q'-)
2 k
N-1 j k
г аг, n = --, k
(3)
причем
S{f){r, Q!)dr= J |(/)(?, Q'-) dk = {27rf \f{x)dx
0 |k2 -^|& gt-ct (Q'-)
2
& lt-
Лемма 1. Если f (x, t) e Сда «)J, то классическое решение (1)
задаётся формулой
о (х, t, О!) = (2nyN J и± (х, k) jsinH (* Т) f (k^a)dk
Rn _01
dr,
где f (k, t, Q'-) = j*i) u+ (jc, k^dx. Сходимость интегралов понимается в смысле L2 (RN Q'-). Лемма 2. 1) Если ап, р (г, Q'-) e L'-(0, да), то
да
lim Г1 ут (t, г) р (г, Q'-)dr = 0-
г^да J 0
2) если — точки Лебега функции р (г, Q'-) из LL (0, да), то
да
Й г 1 i ynn (t, г) Р (Г, °'-)аг = ЖР (К I).
0
Рассмотрим поведение энергии E (t) обобщенного решения задачи (1) в двух случаях. В пер-
м
вом случае f (x t) =? fn (x) exp (iaj).
n=1
Теорема 1. Пусть 1) / (x)e L (Rw/Q'-) — 2) con Ф 0 для всех nu |си| есть точка Лебега функции S (/)(г, Q'-). Тогда
Hm М = (2ж) — N (f.)(Cn |). (4)
t n=1
n =1
да
Математическая физика
Ф.В. Срумова
Доказательство. Имеем
f m да
E (t) = (2*)& quot-"- fZ Jr (t, r) S (fn)(r, Q'-)dr
[ n=l 0
+Z$r"m (t,|k|) fn (k, Q'-)fm'-(k, Q'-)dk}.
n^m
Отсюда на основании леммы 2 получим (4). Во втором случае / (х, г) = / (х) х ^ аи ехр (/аиг).
п=1
да
Теорема 2. Пусть: 1) / (л*) е // П I '-- сходится абсолютно, числа соп для всех п
удовлетворяют неравенству 0 & lt- 2a & lt- & lt- b & lt- да, тогда
, k, l2 S (f)(k,|). (5)
lim M = (2»)& quot-"- а, 2 S (f)(И).
W
t
0
да t
Доказательство. Имеем 0 & lt- упп (t, r) & lt- Q, sup |S (f)(r, Q'-)| & lt- C2 (Q'-) & lt- да. Тогда
a& lt-r<-2b
да да
1 Jr (t, r) S (f)(r, Q'-)dr & lt- Cito1 JS (f)(r, Q'-)dr + C2JГ1 xrnn (t, r) dr = C3(Q'-). Далее
E (t) = (2″)& quot-W jZI""12К (t, r) S (f)(r,
1 0 (6)
w
Zan& lt-rnn (t, r) S (f) (r, Q'-)dr.
w
пфш 0
Разделим обе части (6) на t и, переходя к пределу при t ^ да, получим (5). Из (2) и (3) следует, что
J S (f, r, Q) dr & gt- const & gt- 0,
½
если d (Q) ^ 0, cr (Q) ^ 0, cr& quot-1 (Q) (d (Q)) ^ 0, поэтому в окрестности резонансных частот Aj коэффициенты, зависящие от соп, велики, если только
d (Q) достаточно
мала.
Поступило 12. 05. 2014 г.
ЛИТЕРАТУРА
1. Арсеньев А. А. — Докл. АН СССР, 1969, т. 185, № 3, с. 495−498.
2. Арсеньев А. А. — ЖВМ и МФ, 1976, т. 16, № 3, с. 718−724.
п=1
0
0
W
W
Ф.В. Срумова
ХОСИЯТ^ОИ РЕЗОНАНСИАРАЁН ДАР ТАМОМИ ФАЗО
Донишго^и миллии Тоцикистон
Хосиятх, ои интеграли чараён барои муодилах, ои мавчй дар х, олати t ^ да дар сохди берунй боздошташуда омухта ва тадкик карда шудаанд. Калима^ои калиди: хосиятуои резонанси — цараён.
F.V. Srumova
RESONANT PROPERTIES OF ENERGY IN WHOLE SPACE
Tajik National University
The behavior of energy integral for wave equation has been investigated when t ^ да at exterior & quot-trap"--area.
Key words: resonant properties — energy.

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой