Задача с интегральным условием для параболо-гиперболического уравнения

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Физико-математические науки


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
Серия: Математика. Физика. 2015. № 17(214). Вып. 40 143
MSC 35L82
ЗАДАЧА С ИНТЕГРАЛЬНЫМ УСЛОВИЕМ ДЛЯ ПАРАБОЛО-ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ
А. К. Уринов, К.С. Халилов
Ферганский Государственный университет,
ул. Мураббийлар (19), Фергана, (150 100), Узбекистан, e-mail: urinovak@mail. ru, xalilov_q@mail. ru
Ключевые слова: параболо-гиперболическое уравнение, интегральное условие, дробное дифференцирование.
В конечной односвязной области D плоскости xOy, ограниченной прямыми x = 0, у = 1, x = 1, x — y = 1, x + y = 0 рассмотрим дифференциальное уравнение Lu = 0 параболо-гиперболического типа, где
(Liu = uxx — Uy — X2u, (x, у) e Di = D П (y& gt- 0),
Lu = & lt-
[ L2u = uxx — uyy — (2p/y) uy, (x, y) e D2 = D П (y & lt- 0), а в, X e R, причем 0 & lt- в & lt- (½).
В настоящей работе исследуется однозначная разрешимость следующей задачи.
Задача Ль Требуется найти функцию u (x, y) e C (D) П C^y1 (D1) П C2 (D2) удовлетворяющую уравнению Lu = 0 в области D1 U D2 и следующим условиям:
i i
u (0,y) = Ri (y), u (x, y) dx = u (1,t) dt + r (y), 0 & lt- y & lt- 1- (1)
a (x) Dlx 13u (I
x), Uf ^ ni-e fx + 1 x — Л, -2)+ b (x) Dxl u (2, 2 1 +
+ c (x) lim (- yfe uy (x, y) = e (x), 0 & lt- x & lt- 1- (2)
yT-0
lim uy (x, y) = lim (-y)2/3uy (x, y), y^+0 y4−0 0 & lt- x & lt- 1, (3)
где Ri (y), r2 (y), a (x), b (x), c (x), e (x) — заданные непрерывные функции,
dL вq (x)
1 d Г (в) dx
(x
x
t) e iq (t) dt,
Dx ie q (x)
i
— 1 _d_ f
Г (в) dx J
x
(t — x) e lq (t) dt,
операторы дробного дифференцирования[1], Г (z)-гамма-функция Эйлера.
Приведем схему исследования поставленной задачи Hi. Пусть u (x, y) — решение задачи Л. Учитывая условие (3) и u (x, y) e C (D), примем обозначения u (x, +0) = u (x, -0) = т (x), 0 & lt- x & lt- 1- lim uy (x, y) = lim (-y)2/3uy (x, y) = v (x), 0 & lt- x & lt- 1 и
y^+0 y4−0
предположим, что т (x) e C [0,1]nC (2,s'-) (0,1) v (x) e C2 (0,1) [x (1 — x)]ev (x) e C [0,1],
144 НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
Серия: Математика. Физика. 2015. № 17(214). Вып. 40
8 & gt- 0. Тогда, функция u (x, у) в области D2, как решение видоизменённой задачи Коши
для уравнения L2u = 0, представима в виде [1]
1 1
u (x, v) = Yi J т (z)[t (1 — t) f-1 dt — Ъ (-У)1−2 В f v (z)[t (1 — t)]-13 dt, (4)
где z = x + v (1 — 2t), Yi = г (2в) /г2 (e), Y2 = r (1 — 20) /г2 (1 — 0).
Пользуясь формулой (4) и условием (2), как и в работе [1], находим
A (x) v (x) = Ya (x) (1 — x) eD^-2eт (x) + yb (x) xeD1x-2eт (x) — g (x), 0 & lt- x & lt- 1. (5)
Здесь
Y = 22вГ (0 + ½) Г (-0 + ½), g (x) = [21−2вГ (1 — в) /Г (1 — 20)] [x (1
-1
A (x) = (1 — x) ea (x) + xeb (x) — 2(1 — 20)2eГ (0) Г (-0 + ½) [x (1 —
Из уравнения Lxu = 0 и краевых условий (1), (2) при у ^ +0 получим
т& quot- (x) — 2 т (x) = v (x), 0 & lt- x & lt- 1,
1
т (0) = У1(0),
т (x) dx = y2 (0).
— x)]ee (x), x)]ec (x).
(6)
(7)
0
Следовательно, функции т (x) и v (x) удовлетворяют уравнениям (5),(6) и условиям (7). Доказано, что справедлива
Теорема 1. Пусть выполнены следующие условия:
a2 (x) + b2 (x) = 0, a (x) b (x) & gt- 0, a (x) c (x) & lt- 0, b (x) c (x) & lt- 0 x E [0,1], (8)
a (x), b (x), c (x) E C [0,1] П C2 (0,1), e (x) E C2 (0,1), [x (1 — x)]3вe (x) E C [0,1]. (9)
Тогда задача {(5), (6), (7)} имеет единственное решение.
Единственность решения задачи {(5), (6), (7)} доказывается с использованием принципа экстремума для операторов D0x и Dx1 [1J, а существование решения- эквивалентным сведением рассматриваемой задачи к интегральному уравнению Фредгольма второго рода, разрешимость которой следует из единственности решения задачи.
После того, как найдены функции т (x) и v (x) го задачи {(5), (6), (7)}, решение задачи Н1 в облас ти D2 находится с помощью фор мулы (4), а в облает и D1oпpeдeляeтcя как решение задачи об определении функции u (x, у) E C (D^ П CХ'1 (D1), удовлетворяющей ypaBHeHHeL1u = 0 и условия (1), (2), u (x, 0) = т (x), 0 & lt- x & lt- 1. Последняя задача исследуется, как и в работе [2].
Справедлива следующая основная
Теорема 2. Пусть h1 (у), h2 (у) E C [0,1] н выполнены условия (8),(9). Тогда решение задачи Н1 существует и оно единственно.
Замечание. Этим же методом можно исследовать задачу Н1 и в том случае, когда
1
второе из условий (1) заменено условием u (1, у) = / u (x, у) dx + ц2 (у), 0 & lt- у & lt- 1-
о
НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
Серия: Математика. Физика. 2015. № 17(214). Вып. 40 145
Литература
1. Смирнов М. М. Уравнения смешанного типа/ Москва: Наука, 1985. — 304 с.
2. Голованчиков А. Б., Симонова И. Э., Симонов Б. В. Решение диффузионной задачи с ин-тегралвнБш граничнвш условием // Фундаменталвная и прикладная математика. — 2001. — 6, № 2. — С. 339−349.
PROBLEM WITH INTEGRAL CONDITION FOR PARABOLIC AND HYPERBOLIC EQUATION
A.K. Urinov, K.S. Khalilov
Fergana State University,
Murabbiylar (19), Fergana, (150 100), Uzbekistan, e-mail: urinovak@mail. ru, xalilov_q@mail. ru Key words: parabolic-hyperbolic equation, integral condition, fractional differentiation.

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой