Определение диэлектрической проницаемости диафрагмы, помещенной в прямоугольный волновод, по коэффициенту отражения

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Физико-математические науки


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

УДК 517. 3
Е. Д. Деревянчук
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ДИЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ПРОНИЦАЕМОСТИ ДИАФРАГМЫ, ПОМЕЩЕННОЙ В ПРЯМОУГОЛЬНЫЙ ВОЛНОВОД,
ПО КОЭФФИЦИЕНТУ ОТРАЖЕНИЯ
Аннотация. Рассматривается обратная задача электродинамики — задача определения эффективной диэлектрической проницаемости диафрагмы, помещенной в прямоугольный волновод, по известному коэффициенту отражения. Разработан численно-аналитический метод решения поставленной обратной задачи. Представлены численные результаты обоих методов.
Ключевые слова: обратные краевые задачи электродинамики, эффективная диэлектрическая проницаемость, дифференциальные уравнения, численно-аналитический метод, коэффициент отражения.
Введение
Определение электрофизических параметров нанокомпозитных материалов является одной из актуальных задач нанотехнологии и наноэлектроники [1, 2].
С появлением композитных, нано- и мета-материалов возникла необходимость в разработке новых методов решения обратных задач электродинамики, так как применение известных методов на практике, как правило, невозможно из-за композитного характера материалов и малых размеров образцов. Поэтому применяют методы математического моделирования и решают задачи численно с помощью компьютеров.
По данному направлению имеется целый ряд работ как в России [3, 4], так и за рубежом [5, 6]. Решение этих задач с приемлемой для практики точностью на электродинамическом уровне строгости математическими методами требует очень большого объема вычислений и часто невозможно даже на самых современных суперкомпьютерах [7, 8]. Поэтому актуальна разработка численно-аналитических методов решения обратных задач электродинамики.
В данной работе рассматривается задача определения эффективной диэлектрической проницаемости л-секционной диафрагмы, помещенной в прямоугольный волновод, по известному коэффициенту отражения.
Данная задача сводится к решению обратной задачи для системы уравнений Максвелла. Падающее электромагнитное поле и коэффициент отражения В, а также длина
каждой секции л-секционной диафрагмы предполагаются известными. С использованием условия сопряжения для компонент электромагнитного поля на границах раздела сред внутри волновода задача сводится к решению системы дифференциальных уравнений. В работе предложен численно-аналитический метод решения системы, которое определяет диэлектрическую проницаемость каждой секции диафрагмы.
Постановка задачи
Пусть в декартовой системе координат задан волновод Р = {х: о & lt- х1 & lt- а, о & lt- х2 & lt- Ь, & lt- Х3 & lt- с идеально проводящей поверхностью ЭР. В волноводе расположено объем-
ное тело Q (Q с Р) — область, которая представляет собой параллелепипед, разделенный на л секций (рис. 1):
Q1 ={х: о<-х1 & lt-а, о<-х2 & lt-Ь, о<-х3 & lt- 11},
Q2 ={х: о<-х1 & lt-а, о<-х2 & lt-Ь,/1 & lt-х3 & lt- 12},
Qn ={х: о<-х1 & lt- а, 0 & lt-х2 & lt-Ь, 1п1 & lt-х3 & lt- 1п}.
Рис. 1. Диафрагма в волноводе
В Р Q среда изотропна и однородна с постоянной магнитной проницаемостью во всем параллелепипеде (0 & gt- о) и постоянными диэлектрическими проницаемостями в
каждой секции (є(- & gt- о).
Требуется по известным коэффициентам, А и В электромагнитного поля определить эффективную диэлектрическую проницаемость є ^ каждого слоя (рис 2). Амплитуда В прошедшего поля считается известной и получается в результате измерений.
в 4 • 3- 3. 3-
Га 7і 7і 7п Го
А Сі с2 С3 Р
> > > > >
о, А Ь ^ л
Рис. 2. Схема распространения волн в волноводе
Рассмотрим математическую постановку задачи. Поведение электромагнитного поля внутри и вне объекта, расположенного в волноводе, описывается уравнениями Максвелла:
| го^И = -гюе Е, (1)
[го^Е = гюцИ,
где E — вектор напряженности электрического поля- H — вектор напряженности магнитного поля- ю — круговая частота.
Предполагаем, что л / a & lt- k0 & lt-л / b, где k0 — волновое число вакуума, k, 2 = ю2 є 0 ц 0.
В этом случае в волноводе распространяется только одна волна (волновод «работает» в одномодовом режиме) [9].
Используя уравнения (l), рассчитаем поле внутри объекта Q. Будем предполагать, что внешнее электрическое поле имеет вид
E 0 = e2 A sin fj e~i3
с известной амплитудой А. Здесь
Y =К -л2/a2 ^rn2?o^o -л2/a2.
Тогда полное поле в n областях объекта Q и вне объекта имеет вид
E (o) = sinf^)(Ae'-iY^ + BeiYo) — Ew= sin f ^) (Є '-з + VY-'-з) —
Г …
E (n)= sin (^) ((+ dJ^'-) — E («+l)=sin (лт j Fe^Yn 11 x'-.
На границе областей L: ={x'- = o, x'- = l1,…, x'- = ln } должны выполняться условия сопряжения:
[E]|l = 0- [H]|l = 0.
Тогда получим следующую систему уравнений:
A + B = Cl + Dl-
Y o (B — A) = Yl (Dl — Cl) —
C1e^ + D1eiYlll = C2e^ + D2eiy2ll-
г Y1 (e^ -Qe-Ylll) = y2 (D2(Y2ll -Qe-^) — (2)
Cne-iYnln + D•ei Ynln = Fe-Yn+lln-
Yn (Dnellnln -Cne-iYnln) =Yn+l (-Fe~llnl-1).
В зависимости от того, что полагать в системе (2) неизвестными, задача может быть либо прямой, либо обратной.
Метод решения обратной задачи
В обратной задаче по известной амплитуде падающего поля A и известному коэффициенту отражения B, а также известным длинам каждой секции диафрагмы требуется определить все диэлектрические проницаемости єj, jє (o- n). Идея разработанного ме-
тода решения данной задачи состоит в том, чтобы найти рекуррентную зависимость известных амплитуд, А и В от неизвестных диэлектрических проницаемостей еу, (еу е К).
Такая зависимость была найдена:
нейным уравнением относительно п неизвестных диэлектрических проницаемостей е у.
Очевидно, что количество уравнений меньше, чем количество неизвестных. Записывая данное уравнение при различных значениях круговых частот, получим необходимое количество уравнений. Для случая п секций достаточно знать значения, А и В при п/2 круговых частотах, чтобы составить систему из п уравнений.
Математическая модель для трехсекционной диафрагмы
Для трехсекционной диафрагмы формулы для обратной задачи имеют вид
А = УпрП±1±мП±1
В У пРп±1 ±У 09™'
(3)
где
р± = 1- р2 = Уор± соб, а ± у1д1±I бш а-
р±±1 = У у _1 Р± соб, а у ± у 9±1 бш, а у- 9± = 1- 92 = УоР±I бш, а ± У19± соб а1- 9±±1 = У у-гР±1 б1п, а у ± у ^ соб а---
С учетом того, что У у =^Ю2?у ц0 — Т12/а2, уравнение (3) является комплексным нели-
А =У пР±±1 ±У о9±±1 В У пР-±1 ±У о9-±15
(4)
где
р± = 1- р2 = Уор± соб а1 ± ухд±I б1п а1-
Р3 = У1 р2 соб а2 ± у2д21 б1п а2- р4 = у2р3 соб аз ± у3д31 б1п а3-
д± = 1- 92 = Уор±I б1п а1 ± у^* соб а1-
?3 = У 1р2I Б1п а2 ± у2д2 соб а2- ?4 = У2р3I Б1п а3 ± у3д3 соб а3-
Численные результаты
Данная модель была реализована и протестирована в системе компьютерной математики МаШСа& amp-
Результаты моделирования представлены в табл. 1.
Таблица 1
Точные значения е^ Исходные данные Численные результаты
?1 = 1,1 a = 2 см, b = 1 см, с = 2 см, l1 = 0,5 см, ?1 = 1,09
е2 = 1,2 l2 = 1,2 см, l3 = 2 см, ю1 = 2,5, ю2 = 1,7, ?2 = 1,2
е3 =1,3 B (ю1) = 0,13 — i 0,03, B (ю2) = 0,31 + i 0,3 е3 =1,3
?1 = 1,3 a = 2 см, b = 1 см, с = 2 см, l1 = 0,5 см, ?1 = 1,29
?2 =-1,1 l2 = 1,2 см, l3 = 2 см, ю1 = 2,5, ю2 = 1,7, ?2 =-1,095
е3 =-1,2 B (ю1) = 0,78 -i 0,63, B (ю2) = 0,08 + i 0,996 ?3 =-1,22
Из табл. 1 видно: погрешность вычислений не превышает 3%, что доказывает эффективность данного метода.
Заключение
Таким образом, был разработан численно-аналитический метод решения обратной задачи электродинамики для определения диэлектрической проницаемости л-секционной диафрагмы в волноводе по коэффициенту отражения.
Отметим некоторые особенности разработанного численно-аналитического метода:
— метод прост в реализации-
— позволяет находить диэлектрические проницаемости каждой секции л-секционной диафрагмы с приемлемой для практики точностью-
— может быть применен для изучения электрофизических характеристик композитных и метаматериалов.
Список литературы
1. Изменение типа резонансного отражения электромагнитного излучения в структурах «нано-метровая металлическая пленка-диэлектрик» / Д. А. Усанов, А. В. Скрипаль, А. В. Абрамов, А. С. Боголюбов // Письма в ЖТФ. — 2007. — Т. 33, № 2. — С. 13−22.
2. Complex permittivity of composites based on dielectric matrices with carbon nanotubes / D. A. Us-anov, A. V. Skripal, A. V. Abramov, A. S. Bogolyubov // Technical Physics. — 2011. — V. 56, № 1. -Р. 102−106.
3. Смирнов, Ю. Г. Применение ГРИД технологий для решения нелинейного объемного сингулярного интегрального уравнения для определения эффективной диэлектрической проницаемости наноматериалов / Ю. Г. Смирнов // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. — 2008. — № 3. — С. 39−55.
4. Гурина, Е. Е. Численное и аналитическое решение задачи дифракции электромагнитного поля на диэлектрическом параллелепипеде, расположенном в прямоугольном волноводе / Е. Е. Гурина, М. Ю. Медведик, Ю. Г. Смирнов // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. — 2010. — № 2. — С. 44−53.
5. Study of a slab waveguide loaded with dispersive anisotropic / Tao Pan, Guo-Ding Xu, Tao-Cheng Zang, Lei Gao // Applied Physics A. — 2009. — Р. 367−372.
6. Near-perfect tunnelling and amplification of evanescent electromagnetic waves in a waveguide filled by a metamaterial: Theory and experiment / J. D. Baena, L. Jelinek, R. Marques, F. Medina // Physical Review B. — 2005. — № 72.
7. Shestopalov, Yu. V. Volume Singular Integral Equations Method for Determination of Effective
Permittivity of Meta- and Nanomaterials / Yu. V. Shestopalov, Yu. G. Smirnov, V. V. Yakovlev //
Proceedings of Progress in Electromagnetics Research Symposium (PIERS 2008), Cambridge, USA, July 2−6. — Cambridge, 2008. — P. 291−292.
8. Shestopalov, Yu. V. Development of Mathematical Methods for Reconstructing Complex Permittivity of a Scatterer in a Waveguide / Yu. V. Shestopalov, Yu. G. Smirnov, V. V. Yakovlev // Proceedings of 5th International Workshop on Electromagnetic Wave Scattering, October 22−25, Antalya, Turkey. — Antalya, 2008.
9. Вайнштейн, Л. А. Электромагнитные волны / Л. А. Вайнштейн. — М.: Радио и связь, 1988.
Деревянчук Екатерина Дмитриевна Derevyanchuk Ekaterina Dmitrievna
аспирант, postgraduate student,
Пензенский государственный университет Penza State University
E-mail: mmm@pnzgu. ru
УДК 517.3 Деревянчук, Е. Д.
Определение диэлектрической проницаемости диафрагмы, помещенной в прямоугольный волновод, по коэффициенту отражения / Е. Д. Деревянчук // Вестник Пензенского государственного университета. — 2013. — № 1. — C. 97−102.

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой