Исследование краевого эффекта для криволинейных тонкостенных труб из композитов

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Механика


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

В. Н. Тышкевич
ИССЛЕДОВАНИЕ КРАЕВОГО ЭФФЕКТА ДЛЯ КРИВОЛИНЕЙНЫХ ТОНКОСТЕННЫХ ТРУБ ИЗ КОМПОЗИТОВ
Волжский политехнический институт (филиал) ВолгГТУ (e-mail: tubem@mail. ru)
Получено уравнение краевого эффекта для криволинейных тонкостенных труб из ортотропного слоистого материала. Исследовано влияние краевого эффекта на напряженно-деформированное состояние труб при различных граничных условиях.
Ключевые слова: труба, краевой эффект, напряженно-деформированное состояние.
Equalization of boundary effect is got for the curvilinear thin-walled pipes from ortotropic of laminate. Influence of boundary effect is investigational on the stress-strain state of pipes at different scope terms.
Keywords: pipe, boundary effect, stress-strain state.
Криволинейные участки трубопроводов, ских и температурных деформаций, являются
обеспечивающие необходимую технологиче- наиболее напряженными элементами трубо-
скую компоновку и компенсацию механиче- проводов в силу особенностей их поведения
при нагружении (эффект Кармана, манометрический эффект). Расчет криволинейных труб на прочность и жесткость является одним из наиболее важных этапов при проектировании трубопроводных систем. Определению напряженно-деформированного состояния, расчету на прочность и жесткость криволинейных труб, в том числе и из композитных материалов, посвящено большое число работ, обзор которых представлен в [1].
Решение задачи изгиба криволинейных труб из композитов, представленное в [1, 2], нельзя считать полным, поскольку рассматривалось только основное, медленно изменяющееся вдоль трубы напряженно-деформированное состояние, и не принимались во внимание напряжения и деформации краевого эффекта — состояния быстро затухающего при удалении от края трубы.
Ниже на основании теории краевого эффекта [3, 4] рассмотрены вопросы оценки быстро затухающего напряженного состояния у концов тонкостенных криволинейных труб из орто-тропного слоистого материала при различных вариантах опирания краев и разных нагрузках.
Рассмотрим тонкостенную криволинейную трубу кругового поперечного сечения радиуса r толщиной стенки h длиной L (рис. 1), срединная поверхность которой задана в ортогональных криволинейных координатах a=x/r, в, где х — координата, отсчитываемая вдоль оси трубы, в — полярный угол. Параметры Ляме: r
A1 = r (1 ± cos в), A2 = r. (1)
P
Материал трубы ортотропный, слоистый, подчиняется закону Гука.
Получим для данной трубы уравнение краевого эффекта, учитывая его свойства [3, 4]:
— из усилий и моментов основными являются: N — тангенциальное кольцевое усилие- Ма -изгибающий момент в продольном направлении и поперечная сила Qa. Момент в поперечном направлении Мр = vap Ма. Остальные усилия и моменты не учитываются. Однако их производными по продольной координате, а пренебрегать не следует, так как они соизмеримы с основными величинами: dNa/da ~ 3Nap/3a ~ Np- дИав/да ~ Ma-
— деформация срединной поверхности носит в основном изгибный характер. Наибольшую роль играет изменение кривизны в продольном направлении жа. Для компонент жр, Жар учитываем только производные по а: джр /да ~
~д$ар /да ~ $а. Наибольших значений достигают деформации в окружном направлении вр. Продольные деформации принимаем: ва = Ура вр, для сдвига двар/да ~ вр-
— основным компонентом перемещения является нормальная составляющая w. Тангенциальные и и V малы, но их производные по, а соизмеримы с w: ди/да ~^/да~ w.
Рис. 1. Криволинейная труба
Краевое сечение определяется условием: a= а0 = const.
Упростив с помощью допущений краевого эффекта уравнения равновесия, физические и геометрические соотношения [1], получим однородную систему из семи уравнений, определяющую основные параметры: Np, Ма, Qa, жа, вр, w и Мр. В эту систему входят два уравнения равновесия:
---(QaA) — - = 0-
A1A2 да ' R2
1 д
(M oA2)-Qo= 0-
(,)
А1А2 да физические соотношения:
N/1 = С22? р, Ма = Вц Ха, Мр = Б21 Ха, (3)
два уравнения связи между деформациями и перемещениями:
Ер =™/г,
_L-(_L EWл
A1 да І A1 да
(4)
В физических соотношениях (3) мембранные С22 и изгибные Вц, В12 жесткости определяются по известным формулам, например [1].
Система (2)-(4) сводится к одному уравнению относительно прогиба краевого эффекта, который обозначим wк:
1 д I 1 д
А1 да
А1А2 да
А _д_
А1 да
г 1_ дwк ^ А да
V -ч
С
В11Я
w
= 0. (5)
Учитывая, что для криволинейной трубы параметры Ламе зависят только от координаты в (1), получим из (5) при Я2 = г разрешающее уравнение краевого эффекта для криволинейной ортотропной слоистой трубы:
д У
да4
+ 4т4 = 0,
(6)
где ю (Р) — функция координаты в: & gt-в) =
т
С22Г
4 В,
Л
1 + - 00,3 в
Р
Для однородной ортотропной трубы:
1 11 г в
==11±003 в
¦у12И, у р ,
{в)=
к =¦
н
¦^12У (1 -уарура)
V = ¦
(7)
где Ер, Еа — модули упругости слоистого материала в поперечном и продольном направлении (рис. 1).
Решение (6) ищем в виде:
wк = е-" (а-ао) [С1(Р)со8ю (а-ао) +
+ С2(Р)8тю (а-ао)] +еш (а-ао) [С3(Р)со8ю (а-ао) +
+ С4(Р)8тю (а-ао)], (8)
где Сг (Р) — произвольные функции координаты р.
Первые два слагаемых (8) быстро затухают при удалении от края трубы ао= 0 в область, а & gt- ао, а последние слагаемые затухают при удалении от противоположного края ао= 1о = Ь/г в область, а & lt- ао. Поэтому при рассмотрении краевого эффекта на левом конце трубы вблизи сечения ао= 0 следует принять С3= С4= 0:
wк = е& quot-т (а-ао) [С1(Р)со8ю (а-ао) +
+ С2(Р)8тю (а-ао)]. (9)
Сг (Р) определяются из граничных условий на концах трубы. Ниже будут сформулированы условия лишь для края, а = ао= 0. Для противоположного края формулировка аналогична.
Предположим, что все компоненты основного напряженного состояния известны (N0°,
Щ°, … Еао, Еро,… w0,…), определим компоненты краевого эффекта. Произвольные функции Сг (в) краевого эффекта определяются из нетангенциальных граничных условий. При записи граничных условий необходимо учитывать и результаты расчета для основного состояния: при а°= 0 — 5* + 5° = 5^, где 5®, 5° - любой из параметров краевого эффекта и основного напряженного состояния- 5гр — граничное значение соответствующего параметра, заданного на линии, а = ао.
Рассмотрим следующие варианты опирания краевых сечений кривой трубы.
1. Шарнирно-опертый край. Если в сечении, а = 0 приложена краевая нагрузка в виде равномерно распределенных изгибающих моментов Мо, то нетангенциальные граничные условия формулируются в виде:
при, а = 0:
wк + w0 = 0- Мак + Ура Мро = Мо. (10)
При отсутствии краевой нагрузки оба условия будут однородными. Наличие тангенциальной краевой нагрузки в данном случае не меняет нетангенциальных условий (10) и, следовательно, не сказывается на компонентах напряженно-деформированного состояния краевого эффекта.
Из (10) и (9), учитывая формулу для Мак, полученную по (3), (4) и (7): Ма = -ЕаНН*е& quot-т, а [С1(Р) 8тюа — С2(Р) со8юа] и будем иметь:
С1(Р)= ^°(а = 0),
С2(Р) = [Мо- УРа МРо (а = 0)]/(ЕаНН*). (11)
2. Защемленный край. В этом случае все граничные условия на одном конце трубы сводятся к требованию, чтобы при, а = 0: и = V = 0, w = 31 = 0. Первые два из этих условий — тангенциальные. Они удовлетворяются при расчете трубы в основном состоянии. Два других -нетангенциальные, их можно записать: при, а = 0:
wк + w0 = 0- 3к = 3° = 0.
1 1
Отсюда, учитывая (9) и формулу для угла поворота
3=-А-да 3 {-,=- С={в)
получим:
С1(Р)= - w0- С2 {в) = г^2К30 —
0 w0.
3. Сопряжение двух труб по линии, а = ао.
В этом случае на линии сопряжения труб (1) и (2) должны выполняться 8 условий сопря-
+
жения. Из них 4 тангенциальных условия удовлетворяются в основном напряженном состоянии:
при, а = ao
U (1) = U (2), V (1) = V (2), Na (1) = Na (2), Na p (1) = Na p (2).
Компоненты краевого эффекта (с учетом основного состояния) должны удовлетворять нетангенциальным условиям сопряжения:
при a = ao
wK (1) + w°(1) = wK (2) + w°(2& gt-
QK _l Q о — QK д. Q о *1 (1) + *1 (1) = *1 (2) + *1 (2),
Ma K (1) + vaPMa °(1) = Ma *(2) + vapMa °(2),
Qa к (1) + Qa °(1) = Qa *(2) + Qa °(2& gt-
Знаки правых и левых частей записанных условий уточняются после выбора направлений координатных осей для сопрягаемых труб.
Наибольшие напряжения в краевом эффекте дают изгибающие моменты Иак и кольцевые нормальные усилия NpK, которые носят названия расчетных и определяются при известных Сг (Р):
Иак= -Eahh*e_ma[C1 (P)sin®a-C2(P)cos®a]-
NpK = -Eahe_ma[C1(P)cos®a+C2(P) sinraa]/r. (12)
Значительные напряжения краевого эффекта вызываются действием нетангенциальной нагрузки, например, равномерного внутреннего или наружного давления. Оценим эти напряжения в трубе с шарнирным опиранием краев, нагруженной внутренним давлением. Принимаем составляющую перемещений основного состояния по безмоментной теории оболочек. Тогда w°= pr2/(hEp), Ci = const, и по (11) имеем Q (p)= -pr2/(hEp), C2(p) = 0.
Подставляя эти Ci в (12), получим формулы для момента и нормального кольцевого усилия краевого эффекта:
Иак=pr2 h*e-a, а sinraa-
NpK = -pr e-w a cosraa. (13)
Скорость затухания зависит от функции ra (p), определенной формулой (7). Для криволинейных труб малой кривизны, когда r/p мало по сравнению с единицей, можно принять ra= const, и скорость затухания расчетных усилий (13) будет постоянной для всей краевой зоны.
Для криволинейных труб большой кривизны, когда r/p не мало, скорость затухания будет зависеть от координаты p в соответствии с (7).
Краевой момент Мак достигает наибольшего значения при юа = 0,8, а уже при юа = 3 практически равен нулю. Для трубы с гНл= 50 и Еа = Ер, из (7) ю= 9,6 и ширина зоны затухания, а = 0,31 или х = 0,31 г. Таким образом, ширина зоны затухания краевого эффекта оказывается не более третьей части радиуса поперечного сечения трубы.
Соответствующие Мак и напряжения краевого эффекта определим из (13):
ст = ±-
а
6M
pr
h2
hj 12V (1
V apV Ра
Np pr _
стР =----=-----e та cosюа.
p h h
Максимальные значения напряжений соответствуют (e_m a sinraa) max = 0,32- (e_m a cosraa) max= 1 и будут равны:
ста
0,32 pr
hj 12V (1
VарУРа ,
pr
~h
Оценим погрешность раздельного рассмотрения основного напряженно-деформированного состояния и краевого эффекта в задаче изгиба криволинейных труб из композитов [1]. Общий критерий применимости такого подхода и обоснование применимости полубезмомент-ной теории к тонкостенным криволинейным трубам получены Э. Л. Аксельрадом [5]. В [5] дано выражение для величины относительной погрешности, которую вносит применение по-лубезмоментной теории. Эта погрешность имеет порядок т2Н (3,464г)-1, где т — показатель изменяемости, который в случае тонкостенных труб означает половину числа изменений знака продольного усилия.
Для длинных труб деформация определяется в основном второй гармоникой разложения в тригонометрический ряд [1], а для труб средней длины — тремя членами разложения (т = 2, 3, 4). Показатель изменяемости для этих труб т = 4 и, следовательно, при г/н порядка 0,01 погрешность полубезмоментной теории не превышает 5%.
Расчеты для коротких труб показывают необходимость учета шестой гармоники в разложениях при вычислении деформаций поперечного сечения криволинейной трубы [1]. Значит, т = 6 и погрешность применения полубезмо-ментной теории 10%. Таким образом, для труб средней и большой длины без ограничения по кривизне раздельное изучение основного состояния и краевого эффекта не приводит к большой погрешности. Для коротких криволи-
к
нейных труб необходимо совместное рассмотрение основного напряженно-деформированного состояния и краевого эффекта.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Багмутов, В. П. Расчет и рациональное проектирование криволинейных труб из армированных пластиков: монография / В. П. Багмутов, В. Н. Тышкевич, В. Б. Светличная- ВпИ (филиал) ВолгГТУ. — Волгоград, 2008. — 158 с.
2. Багмутов, В. П. Несущая способность криволинейных труб из армированных пластиков при статическом на-
гружении / В. П. Багмутов, В. Н. Тышкевич, В. Б. Светличная // Известия высших учебных заведений. Авиационная техника. — 2004. — № 4. — С. 71−73.
3. Гольденвейзер, А. Л. Теория упругих тонких оболочек / А. Л. Гольденвейзер. — М.: Гостехиздат. — 1953. — 544 с.
4. Пикуль, В. В. Современные проблемы науки в области прикладной механики: учеб. В 2 ч. Ч. 2. Механика оболочек / В. В. Пикуль. — Владивосток: изд-во ДВГТУ. -2005. — 524 с.
5. Аксельрад, Э. Л. Тонкостенные криволинейные стержни и трубы / Э. Л. Аксельрад // Сб. тр. Ленингр. инта инженеров железнодор. транспорта. — 1966. — Вып. 249. -
С. 147−168.

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой