Разложение по собственным функциям оператора Лежандра на мнимой оси

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Механика


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

а и& gt-(сг, 1) дается (1). При и = 0 или, а = 4 — п имеем соответственно V = 0 или ги = 0, а и) или V даются первой или второй формулой из (2).
ЛИТЕРАТУРА
1. Опимах А. В. Представления обобщенной группы Лоренца в дифференциальных формах первого порядка на конусе // Вестн. Тамб. ун-та. Сер. Естеств. и техн. науки. Тамбов, 2004. Т. 9. Вып. 1. С. 98−100.
2. Виленкин Н. Я. Специальные функции и теория представлений групп. М.: Наука, 1965.
БЛАГОДАРНОСТИ: Работа выполнена при поддержке грантов Минобр. РФ Е02−1. 0−156, НТП & quot-Университеты России& quot- ур. 04. 01. 052, НИР темплана 01. 002.2.
РАЗЛОЖЕНИЕ ПО СОБСТВЕННЫМ ФУНКЦИЯМ ОПЕРАТОРА ЛЕЖАНДРА
НА МНИМОЙ ОСИ
© М.Ю. Сидляр
Пусть в пространстве К& quot- задана билинейная форма сигнатуры (р, (?), р + д = п:
[х, у] = -Х1У1 — … — хрур + Хр+1Ур+1 + … + хпуп.
Рассмотрим пару двойственных гиперболоидов X: [х, х] = 1 и У: [у, у] = -1. Мы рассматриваем задачу о разложении билинейной формы на прямом произведении Т& gt-(Х) х Т& gt-(У) с ядром 5([х, у]), где & lt-5(?) — дельта функция Дирака. Для р = 1. & lt-у = 2 эта задача была решена в [1].
Одним из существенных шагов в решении этой задачи является разложение по собственным функциям оператора
с = (с2 + 1)^ + (& quot-"-1)с1 на прямой. Уравнение = Аф заменой ф = (с2 4−1)-& quot-'-2/, где ь& gt- = (п — 3)/2, сводится к уравнению
Ь/ = т{т +1)/, (1)
где т = а + у, А = а (а + п — 2),
Г /2 1 г. ^
ь — (с + 1) зз'- + 2ст: +
СІС2 (1с с2 + 1
Оператор I/ формально самосопряжен. Цель настоящей работы — получить спектральное разложение оператора Ь в пространстве ?2(Е, с? с), см. теорему 1 ниже.
Возьмем оператор Лежандра
, 2
& lt-1г2 с1г 1 — г2
и рассмотрим его на мнимой оси: г = гс. Получим в точности оператор Ь. Поэтому решением уравнения (1) являются функции Лежандра Р1'-(гс), см. [2], гл 3. Обозначим Вт© =
Р"1/(гс). Для функции /© обозначим /© = /(-с). Пусть (•, •) — скалярное произведение в Ь2(К, с? с).
Теорема! Имеет место следующее разложение по собственным функциям оператора Ь:
Г + ОО
(/, Л) = [ ы (т)[(/, Вг)(Вг, Л) + (/, Вт)(Д., Л)]
¦/ - оо
сір, (2)
'-=-½+гр
где
так что
со{т) = - (2т + l) ctgT7iT (T + v + 1) Г (-т + г/), отт
п — 2
+ ip
Наметим доказательство теоремы. Сначала мы находим резольвенту Лд = (АЕ — Ь) 1 оператора
L.
Пусть
ZT© = (с2 + 1 у/2 Г (с2 + /с2 + 1 ¦ cosct)7^ & quot-(sina)2"- c? q. ¦/о
Функции Zr{c) и Яг© образуют базис в пространстве решений уравнения (1), они квадратично интегрируемы на -оо и +оо, соответственно. Поэтому ядро резольвенты при 1тЛ 0 есть
К (г гЛ — ^т{с)^т{х), С& gt- X,
х[ ' } гт (с)гт{х), с& lt- х,
где, А = т (т + 1) и И^о — коэффициент вронскиана: 1У = ?о{с2 + I)& quot-1.
Функция Вт выражается через Zт и Zт:
= к е™т 12ZT + e-™T!2ZT
где bv 1 = 2Vt/kY{v +½). Переходя от Л к т и от Zr, Zr к Вт, Вт и используя теорему Титчмарша-Кодаиры, мы получим разложение:
dp,
Т- - 1 /2-f-ip
где 5'-т = ЛА. Под интегралом можно оставить только четную часть по р подинтегральной функции. После этого мы и получим (2).
Отметим, что коэффициент И^о дается формулой
Ж, = Ъ~2{2т + 1) р (т)р (-т — l) ctgт7г, где р (т) — коэффициент перед гт в асимптотике функции Р~'-/(г) на бесконечности (см. [1], 3.9 (19)):
2 Г Г (т + ½)
р (т) =
Г (т + v + l)'-
ЛИТЕРАТУРА
1. Molchanov V.F. Harmonic analysis on a pair of hyperboloids. Preprint Univ. Leiden, MI2004−04, 2004. 21 p.
2. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Т. 1. М.: Наука, 1965.
БЛАГОДАРНОСТИ: Работа выполнена при поддержке грантов Минобр. РФ Е02−1. 0−156, НТП & quot-Университеты России& quot- ур. 04. 01. 052, НИР темплана 01. 002.2.
О РЕАЛИЗАЦИЯХ ОДНОГО ПАРА-ЭРМИТОВА ПРОСТРАНСТВА
© С. В. Цыкина
Пусть (7 есть группа БОо (2,2) — связная компонента единицы в группе линейных преобразований пространства М4, сохраняющих билинейную форму [х, у] = -х0у0 — ху + Х2У2 +?з2/з- Группа С имеет центр {±Е}. Пусть Н — подгруппа в С, состоящая из неподвижных точек инволюции

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой