Cовременное состояние теории устойчивости оболочек

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Механика


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

Математика
Вестник ДВО РАН. 2008. № 3
УДК 539. 3
В.В. ПИКУЛЬ
Современное состояние теории устойчивости оболочек
Рассмотрены основные этапы развития теории устойчивости оболочек. Показано, что предложенная автором гипотеза высвобождения потенциальной энергии деформированных элементов оболочки в момент потери устойчивости приводит теорию в полное соответствие с экспериментом и тем самым позволяет завершить построение теории устойчивости оболочек.
Ключевые слова: устойчивость, устойчивое равновесие, критическая сила, критическая нагрузка, оболочка, цилиндрическая оболочка, потенциальная энергия упругой деформации.
Up-to-date state of the theory of shell stability. V.V. PIKUL (Institute of Marine Technology Problems FEB RAS, Vladivostok).
The basic phases of development of the theory of shell stability have been considered. A hypothesis about deliverance of the potential energy of shell deformed elements has been proposed. The hypothesis has been shown to bring the theory to conformity with the experiment, and thus to complete construction of the theory of shell stability.
Key words: stability, stable equilibrium, critical force, critical load, shell, cylindrical shell, strain energy.
Потеря устойчивости исходной формы равновесия под воздействием внешних сил является одной из главных причин разрушения современных инженерных сооружений и машин, основу конструкции которых составляют стержни, пластины и оболочки. Строительство мостов из железа вызвало развитие теории устойчивости стержней, постройка кораблей — теории устойчивости пластин, а изготовление ракет, подводных и воздушных судов — теории устойчивости оболочек. Но если теория устойчивости стержней и пластин полностью подтверждается экспериментом, то теория устойчивости оболочек существенно отличалась от экспериментальных данных. И только в последние годы удалось решить эту проблему.
Потеря устойчивости конструктивных элементов инженерных сооружений и машин. К основным конструктивным элементам инженерных сооружений и машин относятся стержни, пластины и оболочки. При их сжатии или скручивании нагрузкой, увеличивающейся с течением времени, наступает момент нарушения исходной формы равновесия, и сооружения выходят из строя. При этом разрушающая нагрузка оказывается существенно меньше той, при которой эти конструктивные элементы разрушились бы из-за исчерпывания прочности при сохранении исходной формы равновесия. Разрушение конструктивных элементов вследствие нарушения исходной формы равновесия получило название «потеря устойчивости».
Это явление было теоретически обнаружено Л. Эйлером еще в 1744 г. Однако практики не обратили на него должного внимания, и почти полтора столетия, до зарождения железного судо- и мостостроения, инженерные сооружения и машины проектировались без его учета. Высокая прочность материалов на основе железа позволяет значительно уменьшить
ПИКУЛЬ Владимир Васильевич — доктор физико-математических наук, заведующий лабораторией (Институт проблем морских технологий ДВО РАН, Владивосток). E-mail: pikulv@mail. ru
толщину конструктивных элементов. Но из-за уменьшения толщины резко снижается их сопротивляемость к потере устойчивости, что может вызвать разрушение сооружения.
Показательно в этом отношении строительство моста с главным пролетом 549 м через р. Св. Лаврентия в 14 км от г. Квебек (Канада). В 1907 г. за 15 мин до конца рабочего дня мост обрушился, погибли 74 рабочих, 9 тыс. т металлических конструкций пришло в полную негодность. Причиной катастрофы стал неправильный расчет устойчивости сжатого составного стержня. Через 9 лет, в 1916 г., на том же месте произошло вторичное крушение, при этом затонул подвесной пролет. Уже в нашем веке происходят обрушения перекрытий аквапарков, рынков и спортивных сооружений. Это говорит о том, что необходимы надежные методы расчета устойчивости конструктивных элементов, основу которых составляют теория устойчивости и экспериментальные исследования.
Теория устойчивости стержней и пластин находится в соответствии с экспериментальными данными. Иначе обстоит дело с оболочками, теория устойчивости которых экспериментом не подтверждается. Поэтому при проектировании оболочечных конструкций приходится пользоваться результатами экспериментальных исследований. В настоящее время, когда создаются новые высокопрочные материалы, потребность в теории устойчивости оболочек приобретает первостепенное значение.
Основные этапы развития теории устойчивости оболочек. История развития теории устойчивости оболочек подробно изложена в книге-обзоре Э. И. Григолюка и В. В. Кабанова [7], где рассмотрены 1626 литературных источников. В их более позднюю монографию [8] вошло 409 источников. Мы ограничимся 21 и будем пользоваться в основном сведениями, опубликованными в монографии [8].
Впервые явление потери устойчивости оболочек изучали английские экспериментаторы: в 1858 г. — Фёйербёрн. РапЬапп) (цилиндрическая оболочка при внешнем давлении), в 1908 г. — Лилли (ЖБ. ЬШу) и Маллок (А. Ма11оск) (цилиндрическая оболочка при осевом давлении). Первые теоретические работы были выполнены в 1859 г. в Германии Грасгофом (РЖОгаБИо!) и во Франции Брессом (М. ВгеББе). Первые фундаментальные результаты в теории устойчивости оболочек получены немецким исследователем Лоренцем (Я. Ьогет) в 1908—1911 гг. и русским ученым С. П. Тимошенко в 1910—1914 гг.
Об исключительной важности проблемы можно судить по росту посвященных ей публикаций за период с 1900 до 1965 г., число которых к 1965 г. только по цилиндрическим оболочкам достигло 1600 наименований [8].
В первых работах использовалась идеализированная расчетная схема. Оболочка считалась геометрически совершенной и идеально упругой. Предполагалось, что она свободно опирается по торцам и может вплоть до момента потери устойчивости свободно деформироваться в радиальном направлении без изгибания своей поверхности (безмоментное напряженное состояние). Для решения использовались линеаризированные уравнения устойчивости, получаемые на основе статического критерия Л. Эйлера. Согласно этому критерию, критическая нагрузка, вызывающая потерю устойчивости, определяется как наименьшая, при которой наряду с исходной формой равновесия оказывается статически возможной смежная бесконечно близкая к ней форма равновесия. Такая, ставшая классической, постановка проблемы широко используется до настоящего времени, а определенная в ней критическая нагрузка получила название «верхняя критическая нагрузка». Наблюдаемые в экспериментах критические нагрузки были значительно ниже нее. Дальнейшее развитие теории устойчивости оболочек направлено на выявление причин расхождения теории с экспериментом и их устранение.
В 1941 г. американские ученые Карман (Т.Ь. Кагшап) и Цзян (И.8. ТБ1еп) на основе уравнений Маргерра установили, что в закритическом состоянии с ростом деформаций нагрузка падает. Такой результат был неожиданным и противоречил известным фактам, полученным в решениях аналогичных задач для стержней и пластин, где с ростом деформаций нагрузка непрерывно росла.
Резкое падение нагрузки после смены исходной невозмущенной формы равновесия стали объяснять наличием несмежных изгибных форм равновесия при малых уровнях нагрузки и чрезвычайной чувствительностью оболочки ко всякого рода возмущениям: начальным прогибам, несоблюдению краевых условий, динамическим эффектам окружающей среды и т. п. Полагали, что при наличии этих возмущений оболочка скачком переходит от исходной формы равновесия к несмежным формам. Нагрузку, соответствующую перескоку от исходного состояния к несмежному, приняли за действительную верхнюю критическую нагрузку. Также пришли к выводу, что существует и нижняя критическая нагрузка, за которую приняли наименьшую, ниже которой не могут существовать другие равновесные формы.
На этом этапе развития теории исследовались различные классы оболочек и разные виды нагрузок при стандартном методе решения на основе уравнений пологих оболочек. Функция прогиба оболочки аппроксимировалась тригонометрическим рядом. На первых порах в тригонометрическом ряду удерживалось малое количество членов. Получаемая при этом величина критической нагрузки оказалась ближе к экспериментальным результатам. Появление электронных вычислительных машин позволило уточнить решения, увеличивая количество членов ряда. Оказалось, что при этом величина нижней критической нагрузки уменьшается. В некоторых работах получены даже отрицательные значения этой нагрузки. Стало ясно, что введенное понятие нижней критической нагрузки не может служить характеристикой устойчивости оболочек. Ученые обратили более пристальное внимание на несовершенства формы поверхности оболочки, на краевые условия и момент-ность исходного состояния.
Теоретические исследования показали, что начальные прогибы, совпадающие по форме с прогибами при потере устойчивости совершенной оболочки, приводят к существенному снижению критической нагрузки. Однако при других видах начального прогиба возможно даже повышение критической нагрузки, тем не менее это не нашло подтверждения при экспериментальных исследованиях. Величина и форма начальных несовершенств носят случайный характер, поэтому маловероятно, что именно они являются главной причиной расхождения классической теории с экспериментом.
Расхождение теории устойчивости с экспериментом не может быть объяснено и с позиции учета реальных краевых условий и моментности исходного состояния. Реальные краевые условия оболочек большой и средней длины практически не оказывают какого-либо влияния на критическую нагрузку. Учет моментности исходного состояния в случае сжатия круговой цилиндрической оболочки приводит к снижению верхней критической нагрузки по сравнению с классической на 15−20%. Этого снижения недостаточно, чтобы объяснить расхождение теории с экспериментом.
Основные этапы развития экспериментальных исследований устойчивости оболочек. В истории развития экспериментального направления исследования устойчивости Э. И. Григолюк и В .В. Кабанов выделяют два периода [8].
В первый период (1858−1950 гг.) эксперименты в основном регистрировали величину критической нагрузки. Форма потери устойчивости оценивалась визуально. Материалы, из которых изготовлялись оболочки, имели недостаточно высокие упругие свойства для исследования закритической стадии деформирования. Технология изготовления моделей оболочек была несовершенной: применялись вальцовка, сварка, клепка.
Во второй период (с 1950 г.) эксперименты проводились на более высоком уровне. Основное внимание уделялось совершенству геометрии оболочек. Отрабатывались новые методы изготовления моделей: точение, центробежное литье, электроосаждение, напыление в вакууме. Применялись пластиковые материалы с хорошими упругими свойствами. Использовалась современная регистрирующая аппаратура: осциллографы, полярископы, скоростные фотокамеры и пр. Результаты некоторых экспериментов приблизились к теоретическим расчетам. Однако согласовать теорию с экспериментом для практически используемых оболочек не удалось.
Новое направление в согласовании теории с экспериментом. С позиции механики сплошных сред теория устойчивости оболочек является безупречной [3, 9, 11]. Однако не удается ни согласовать теорию с экспериментом, ни найти убедительную причину их расхождения. Тем не менее утвердилось мнение, что главной причиной расхождения является необычайно высокая чувствительность оболочки к начальным прогибам и другим несовершенствам формы поверхности [1, 4, 5, 8, 10].
Пока теоретики с экспериментаторами искали главную причину расхождения, в инженерной практике, воспользовавшись экспериментальными данными, получили расчетные формулы, позволяющие достаточно точно находить истинную критическую нагрузку для расчета оболочек, изготавливаемых из существующих конструкционных материалов [12]. Наличие таких расчетных формул служит доказательством существования физических закономерностей поведения оболочечных тел в процессе потери устойчивости, которые в теории устойчивости оболочек не учитываются. К этому выводу можно также прийти, рассмотрев процесс зарождения продольных и поперечных волн, предшествующий моменту потери устойчивости тонкостенной цилиндрической оболочки при осевом сжатии.
Качественная постановка экспериментов и использование современной регистрирующей аппаратуры показали неизвестные ранее особенности деформирования оболочки в момент потери устойчивости. Кадры скоростной фотосъемки процесса потери устойчивости тонкостенной цилиндрической оболочки при осевом сжатии отчетливо показывают образование часто расположенных продольных гофров [8]. Эти гофры появляются непосредственно перед моментом потери устойчивости и состоят из большого количества волн в окружном направлении и одной полуволны в продольном [21]. Образование большого количества волн в окружном направлении возможно только при появлении каких-то препятствий для расширения оболочки в радиальных направлениях, которые происходят вследствие эффекта Пуассона. Но при классическом подходе никаких препятствий к ее расширению не выявлено, следовательно, волны порождаются какими-то неизвестными внутренними закономерностями деформирования оболочки в процессе потери устойчивости.
Таким образом, необходимо определить физическую закономерность, способную породить дополнительное к внешней нагрузке воздействие на оболочку в процессе потери ею устойчивости.
Новый этап поиска основной причины расхождения теории устойчивости оболочек с экспериментом. Новый этап начался в 2006 г. с опубликования статьи [14]. Идеально плоская пластина, сжатая в одном направлении равномерно распределенным давлением, остается плоской вплоть до потери устойчивости. Совершенная в геометрическом отношении цилиндрическая оболочка, сжатая равномерно распределенным осевым давлением, начинает расширяться еще до потери устойчивости. Чтобы привести постановку задачи деформирования оболочки в соответствие с поведением пластины в докритическом состоянии, к боковой поверхности оболочки приложена фиктивная равномерно распределенная нагрузка [14]. В результате расчетная формула пришла в полное соответствие с экспериментом. Осталось понять физическую сущность полученного результата. Для этого исследуем возможность изотропной цилиндрической оболочки, сжатой осевым давлением, создавать препятствие к ее расширению в радиальных направлениях.
При осевом давлении длина цилиндрической оболочки уменьшается на величину продольной деформации при увеличении радиуса срединной поверхности вследствие эффекта Пуассона. Тем самым осевое давление вызывает растяжение оболочки в окружном направлении и удерживает ее в таком состоянии плоть до потери устойчивости. Это возможно только за счет внутренних связей между окружными и продольными деформациями. В упругом изотропном материале внутренние связи выражаются законом Гука через коэффициент Пуассона, а в анизотропном — через коэффициенты Пуассона и Ченцова и коэффициенты взаимного влияния первого и второго рода.
Предположим, что в критическом состоянии оболочки, когда наряду с основной формой появляются смежные формы равновесия, внутренние связи между окружными и продольными деформациями утрачиваются. Тогда потенциальная энергия растянутых круговых элементов высвобождается и расходуется на работу по деформированию оболочки. Растянутые круговые элементы, подобно пружине, устремятся в ненапряженное состояние и при освобождении от внутренних связей вызывают дополнительное деформирование оболочки в момент потери устойчивости. Высвобождаясь, потенциальная энергия растянутых круговых элементов оболочки создает препятствие для ее расширения в радиальных направлениях, вследствие чего образуются продольные гофры. Других физических причин для появления продольных гофров непосредственно перед моментом потери устойчивости не существует.
Приведенный пример сжатия цилиндрической оболочки осевыми силами выявил физическую возможность для высвобождения потенциальной энергии растянутых круговых элементов. Освобождаясь, эта потенциальная энергия совместно с действующими силами способна произвести работу по деформированию оболочки в момент потери устойчивости. Растяжение круговых элементов оболочки — это проявление эффекта Пуассона, при котором сжатие продольных элементов сопровождается растяжением оболочки в окружном направлении.
Обобщая данные о механизме потери устойчивости цилиндрической оболочки, сжатой осевым давлением, автор выдвинул следующую гипотезу: в критическом состоянии оболочки, когда наряду с основной формой появляются смежные формы равновесия, внутренние связи между ее деформированными элементами утрачиваются, и это приводит к высвобождению потенциальной энергии деформации этих элементов [15]. У изотропных и ортотропных оболочек высвобождается потенциальная энергия растяжения. При более высоком уровне анизотропии к потенциальной энергии растяжения добавляется потенциальная энергия сдвига. Эта гипотеза позволяет объяснить все странности в поведении оболочки при потере устойчивости, в том числе резкое падение нагрузки в закритической области деформирования оболочки и образование продольных гофров непосредственно перед моментом потери устойчивости.
Предлагаемая физическая гипотеза выходит за рамки механики деформируемого твердого тела, но согласуется с общими законами физики, в соответствии с которыми расщепление целого на составные части сопровождается высвобождением энергии.
С позиции механики деформируемого твердого тела классические методы исследования устойчивости оболочек безупречны. Однако они не способны согласовать теорию устойчивости с экспериментальными данными. Это означает, что в классической теории не соблюдены все физические закономерности процесса потери устойчивости оболочек. Недостающие закономерности отражены в предложенной физической гипотезе, поэтому она способна завершить построение теории устойчивости оболочек.
Для определения критических величин нагрузки, вызывающих потерю устойчивости оболочек, используются статические и динамические критерии устойчивости, на основании которых разработаны статические и динамические методы исследования [2, 6, 13, 16−20]. При выявлении закономерностей процесса потери устойчивости оболочек учет высвобождаемой потенциальной энергии, образующейся вследствие утраты внутренних связей между деформированными элементами, позволит согласовать теорию с экспериментом. При использовании энергетических методов высвобождаемая потенциальная энергия включается непосредственно в расчет, а в случае использования дифференциальных уравнений устойчивости — через внутренние силы, с помощью которых она совершает работу по деформированию оболочки в момент потери устойчивости. Высвобождаемую потенциальную энергию можно также учесть с помощью фиктивных внешних сил, работа которых по деформированию оболочки эквивалентна высвобождаемой энергии [14].
Результаты сопоставления теории устойчивости с экспериментом применительно к изотропной цилиндрической оболочке, сжатой осевым давлением, приведены в таблице. Относительная длина оболочки принята равной единице, I / Я = 1, а коэффициент Пуассона V = 0,3. Сопоставление теории с экспериментом произведено в диапазоне изменения относительной толщины к /Я от 1/250 до 1/2500.
Результаты сопоставления эксперимента с теорией устойчивости оболочки с учетом (рк) и без учета р) высвобождаемой потенциальной энергии (Р90 и Р99)
Критическая величина осевого давления Я/И Относительный радиус срединной поверхности оболочки
250 500 750 1000 1500 2000 2500
Рк, ЕИ/Я 0,16 0,12 0,10 0,09 0,07 0,064 0,058
р в, ЕИ/Я 0,605 0,605 0,605 0,605 0,605 0,605 0,605
р90 & gt- еи/я 0,18 0,16 0,14 0,13 0,11 0,09 0,08
Р99 ¦ ЕИ/Я 0,14 0,12 0,10 0,08 0,07 0,065 0,06
Рк / Р99 1,14 1,00 1,00 1,13 1,00 0,98 0,97
Р. /Р99 4,32 5,04 6,05 7,56 8,64 9,31 10,08
Примечание. р90 и р99- величины, полученные в результате статистической обработки экспериментальных данных соответственно с 90- и 99%-ной достоверностью [5]- Е — модуль нормальной упругости- Я — радиус срединной поверхности- к — толщина оболочки.
Анализ результатов, приведенных в таблице, показывает, что при учете высвобождаемой потенциальной энергии растяжения деформированных элементов оболочки теория устойчивости оболочек приходит в полное соответствие с экспериментальными данными. При этом величины критического осевого давления рк находятся в промежутке экспериментальных данных и очень близки к данным с 99%-ной достоверностью (рк / р99). Классическая теория устойчивости дает величины критического давления, завышенные в 4−10 раз (ре / р99).
В заключение отметим, что нам удалось выявить различные пути высвобождения потенциальной энергии деформированных элементов оболочек в процессе потери ими устойчивости и разработать методы определения критических нагрузок для всех существующих классов оболочек. У оболочек нулевой и отрицательной гауссовой кривизны потенциальная энергия высвобождается статически, у оболочек положительной гауссовой кривизны — динамически. При динамическом высвобождении появляются инерционные силы, интенсивность которых втрое превышает плотность внешней нагрузки. В результате критическая нагрузка, вызывающая потерю устойчивости оболочек положительной гауссовой кривизны, оказывается в четыре раза меньше той, что дается классической теорией. И это полностью подтверждается экспериментальными данными. Нам представляется, что участившиеся в последние годы обрушения куполов аквапарков, рынков и спортивных сооружений являются следствием применения классической теории устойчивости, завышающей разрушающую нагрузку, к оболочкам положительной гауссовой кривизны.
Выводы. Введение гипотезы о высвобождении потенциальной энергии деформированных элементов оболочки в момент потери устойчивости позволяет объяснить все особенности деформирования существующих классов оболочек. Гипотеза объясняет резкое падение нагрузки в закритической области деформирования и образование продольных гофров непосредственно перед моментом потери устойчивости цилиндрической оболочки и позволяет учесть динамический характер потери устойчивости сферических оболочек. Гипотеза приводит теорию устойчивости в полное соответствие с экспериментом и позволяет завершить построение теории устойчивости оболочек.
1. Алфутов Н. А. Основы расчета на устойчивость упругих систем. М.: Машиностроение, 1978. 312 с.
2. Болотин В. В. Неконсервативные задачи теории упругой устойчивости. М.: Гостехтеоретиздат, 1961. 339 с.
3. Болотин В. В. О сведении трехмерных задач теории упругой устойчивости к одномерным и двумерным задачам // Проблемы устойчивости в строительной механике. М.: Стройиздат, 1965. С. 166 -179.
4. Васильев В. В. Механика конструкций из композиционных материалов. М.: Машиностоение, 1988. 272 с.
5. Вольмир А. С. Устойчивость деформируемых систем. М.: Наука, 1967. 984 с.
6. Григолюк Э. И., Чулков П. П. Устойчивость и колебания трехслойных оболочек. М.: Машиностроение, 1973. 215 с.
7. Григолюк Э. И., Кабанов В. В. Устойчивость круговых цилиндрических оболочек // Механика деформируемых тел. 1967: Итоги науки. М.: ВИНИТИ, 1969. 348 с.
8. Григолюк Э. И., Кабанов В. В. Устойчивость оболочек. М.: Наука, 1978. 360 с.
9. Гузь А. Н., Бабич И. Ю. Трехмерная теория устойчивости стержней, пластин и оболочек. Киев: Выща шк., 1980. 167 с.
10. Доннелл Л. Г. Балки, пластины и оболочки / под ред. Э. И. Григолюка. М.: Наука, 1982. 568 с.
11. Новожилов В. В. Общая теория устойчивости оболочек // Докл. АН СССР. 1941. Т. 32, № 5. С. 316−319.
12. Палий О. М., Спиро В. Е. Анизотропные оболочки в судостроении. Л.: Судостроение, 1977. 392 с.
13. Пановко Я. Г., Губанова И. И. Устойчивость и колебания упругих систем: Современные концепции, ошибки и парадоксы. М.: Наука, 1979. 384 с.
14. Пикуль В. В. К теории устойчивости оболочек // Вестн. ДВО РАН. 2006. № 4. С. 81−86.
15. Пикуль В. В. К теории устойчивости оболочек // Докл. АН. 2007. Т. 416, № 3. С. 341−343.
16. Погорелов А. В. Геометрическая теория устойчивости оболочек. М.: Наука, 1966. 296 с.
17. Саченков А. В. Об устойчивости цилиндрической оболочки при произвольных краевых условиях под действием равномерного поперечного давления // Изв. Казан. фил. АН СССР. Сер. физ. -мат. и техн. наук. 1958. № 12. С. 127−132.
18. Соломенко Н. С., Абрамян К. Г., Сорокин В. В. Прочность и устойчивость пластин оболочек судового корпуса. Л.: Судостроение, 1967. 488 с.
19. Тимошенко С. П. Устойчивость стержней, пластин и оболочек. М.: Наука, 1971. 808 с.
20. Товстик П. Е. Устойчивость тонких оболочек: асимптотические методы. М.: Наука, 1995. 320 с.
21. Шалабанов А. К., Малеев М. В. Докритическое поведение цилиндрической оболочки под действием осевого давления // Исследования по теории пластин и оболочек. Казань: Изд-во Казан. ун-та, 1984. Вып. 17, ч. 1. С. 153−160.
Кафанов А. И., Кудряшов В. А Выдающиеся ученые-биогеографы: биобиблиогр. справочник.
KafanovA.I., Kudrjashov V.A. Outstanding Biogeographers: biobibliogr. manual.
М.: Наука, 2007. — 308 с. — ISBN 5−02−35 318−3.
Институт биологии моря им. А. В. Жирмунского ДВО РАН
690 041, Владивосток, ул. Пальчевского, 17. Fax: (4232) 310 900.
E-mail: inmarbio@mail. primorye. ru
Впервые в мировой практике вниманию читателей предлагается иллюстрированный биобиблиографический справочник-указатель по всем аспектам биогеографии, позволяющий очертить круг основных биогеографических концепций. Он включает краткие биографические сведения (с указаниями библиографических источников) о 289 российских и иностранных ученых XVII—XX вв., характеристику их основных биогеографических воззрений, список основных работ по биогеографии.
Для биогеографов, биологов и географов широкого профиля, специалистов в области охраны окружающей среды. Может быть использован как пособие для преподавателей, студентов и аспирантов биологических и географических специальностей вузов.
The book presents the first comprehensive illustrated overview of biographic and bibliographic data relating to all fields of biogeography. It covers the major principles of biogeography, includes brief biographic data (with bibliographic references) of 289 Russian and foreign scientists of the XVII-XX centuries, gives the brief account of their biogeographical concepts and contains a list of most important publications.
The book will be of interest to biogeographers, biologists, geographers, and experts in environmental protection. It can be used as a textbook by university lecturers, undergraduates, and postgraduate students majoring in biology and geography.

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой