Синергетическое управление механической системой «Перевернутый маятник на тележке»: линейное преобразование координат

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Кибернетика


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

СИНЕРГЕТИЧЕСКОЕ УПРАВЛЕНИЕ МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМОЙ «ПЕРЕВЕРНУТЫЙ МАЯТНИК НА ТЕЛЕЖКЕ»: ЛИНЕЙНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КООРДИНАТ
Ал.А. Колесников, И.В. Кондратьев
Таганрогский государственный радиотехнический университет Университет штата Южная Каролина (США)
Более 30 лет в мировой литературе по теории управления рассматривается модель «перевернутого маятника на тележке» (inverted pendulum) [1−4]. Дело в том, что эта двухмассовая модель в определенной мере отражает разнообразные реальные механические системы — от ориентации космических аппаратов до поведения различных манипуляционных роботов и маятниковых, например транспортных систем. Эта модель из-за своих отличительных динамических особенностей стала своего рода «пробным камнем», тестом на эффективность для методов теории управления — от классических линейных методов, опиравшихся в основном на ПИД-регуляторы, до современных методов, базирующихся на технологии FNN — Fuzzy Neural Networks с использованием некоторой комбинации нечеткого регулятора совместно с ПИД-регулятором [2−4]. Следует отметить, что в большинстве работ, возможно за исключением [5, 6], рассматривались линеаризованные модели перевернутого маятника и тележки, что, разумеется, существенно ограничивает динамические свойства соответствующих систем управления положением маятника и тележки. Так, максимальный угол отклонения маятника от вертикального неустойчивого положения обычно не превышал 20−30°.
Возникает достаточно сложная задача управления полной нелинейной моделью «маятника на управляемой тележке» с достижением предельно допустимых углов отклонения маятника от верхнего неустойчивого положения с учетом ограничений на положение тележки, величину управляющей силы и др. Для решения указанной задачи были использованы методы синергетической теории управления [7] и далее представлены основные результаты этих исследований.
Математическая модель
Рассмотрим перевернутый маятник, показанный на рис. 1 и 2. Ось маятника монтируется на тележке, которая может перемещаться в горизонтальном направлении. Тележка приводится в движение небольшим мотором, который в момент времени t прикладывает к тележке силу fi (t), являющуюся управляющим воздействием системы. На основании анализа сил и перемещений можно получить нелинейную математическую модель системы:
Xl (t) = Xi
x2{t) = х4-
x3{t)=u- (!)
¦ 9 ¦ 1
Х4 (t) = - sin 22 — 77 cos ?2 • U.
Lj Lj
Здесь xi = s — горизонтальное перемещение тележки- X2 = (p — угловое отклонение
маятника от вертикального положения- хз = s (t), х4 = & lt-p (i) — т, L — масса маятника
~ХЭ-----сг
Рис. 1. Система «перевернутый маятник
на тележке»
Рис. 2. Кинематическая схема
и расстояние между осью и центром тяжести- J — момент инерции относительно центра тяжести- М — масса тележки- V = - эффективная длина маятника-
1
и =
М + т
mL COS Х2
V
ц — -
mLg sin (2×2) 2V
+ rriLx4 sin X2
(2)
Нелинейные дифференциальные уравнения (1), (2) описывают поведение системы «перевернутый маятник — управляемая тележка». Из этих уравнений следует, что одно и то же управление иЦ) и, следовательно, д (?), приложено к разным каналам, разделенным динамическими звеньями. В линейной теории это приводит к проблеме минимально-фазовости, что ограничивает управляемость системы. Именно это свойство и явилось, на наш взгляд, причиной многолетних недостаточно успешных попыток решить задачу синтеза эффективных законов управления верхним положением маятника путем воздействия на положение тележки.
Произведем следующее преобразование координат [1]:
zi-xi-
z2=xi (i) —
Z3=X1+L'-X2]
Zi = Xxit) + L'-x2{t). Получим систему дифференциальных уравнений
?i (t) = z2-
?2 (t) = щ
?з (*) = Z4
(3)
(4)
?4 (і) = 08ІП
Ч — Zi
+
1 — COS
zЗ — Zi
¦и,
описывающую движение маятника и тележки в пространстве новых координат (3). Модель (4) является более конструктивной по сравнению с моделью (1) с точки зрения управления, хотя эти модели непосредственно связаны друг с другом через простое преобразование (3). Так, если положить для режима малых отклонений
эт •
Z3 ~zi ^ г з — Z ~
и cos ¦
Z3 — Zi
L'-o
1, то получим линеаризованную модель:
?i (i) = z2- z2{t) = щ
Z3(t) = Z4-
Zi (t) = 77(23 — Z).
(5)
В [1] на основе модели (5) показано, что положение и скорость маятника относительно тележки, так же как и скорость тележки, могут быть восстановлены по наблюдаемой переменной, но нельзя восстановить положение тележки. Отсюда следует необходимость физического измерения положения тележки и угла отклонения
маятника. Зная эти переменные, можно построить наблюдатель и регулятор, стабилизирующий маятник в режиме малых отклонений. Отметим, что в [1] выполнены исчерпывающие исследования линейной модели (5) маятника на тележке.
Законы управления для режимов средних и малых отклонений
Выше было показано, что для решения задачи управления верхним положением перевернутого маятника на тележке целесообразно разделить движение системы (4) на режимы больших и малых отклонений и, следовательно, синтезировать двухуровневую систему управления. При этом синтезируются отдельные законы управления соответственно для режимов больших и малых отклонений. Такой комбинированный подход, опирающийся на синергетический метод синтеза законов управления [5], позволяет успешно решить сначала задачу перевода маятника из области больших углов тележки в область средних и малых отклонений, а затем задачу устойчивой стабилизации вертикального положения маятника с учетом ограничения на допустимый ход тележки.
Перейдем к формулировке и решению задачи синергетического управления системой «перевернутый маятник на тележке» в режимах средних и малых отклонений. Необходимо найти закон управления ц (х!, х2, хз, х4), обеспечивающий устойчивый перевод системы в начало координат пространства состояний (а^ = О, г = 1,…, 4). Для того, чтобы найти закон управления в виде функции переменных состояния системы, применим метод аналитического конструирования агрегированных регуляторов (АКАР) [7]. Так как функция и алгебраически связана с управляющим воздействием ц посредством выражения (2), то мы будем искать и, выполняющее задачу управления для системы (1). Рассмотрим режимы больших и малых отклонений маятника от вертикального положения и синтезируем законы управления для каждого из этих режимов.
В соответствии с процедурой метода АКАР введем последовательно две макропеременные
ф! = - V: (г!, г3,24) —
¦ф2 = Ъ — ь23, г4),
где г& gt-1 и ь2 — внутренние управления, и потребуем выполнения уравнений
На многообразии гр2 = 0 (7) система описывается следующими уравнениями:
?1^) = 22- ?2 (0 = и- ?з (*) = *4-
(б)
+ фг = 0, г = 1,2.
(8)
3 — %41р)
Выбрав внутреннее управление v2 в виде
, / kZ3^ 4& quot- k2z4^ і
v2 = г3ф + arcsin І ----------------------І • L ,
(10)
обеспечиваем устойчивое решение задачи управления для системы (9) при к±, к2 & gt-0. Далее, решая совместно уравнения (6)-(8), (10) относительно н и vly находим выражение для и, которое после обратного преобразования координат имеет следующий вид:
/11 |/24 COS J/зі.
«= и + й + --7^]& lt-24−2г) +
-f-
V ((1 1
9 + 7Г' +иЧ5Т + п
siny3i +
+
+
kl 1 Yx + a) Z4 + V {^9Zi + m siny3x) +
V 9У
9У I, • 2/34
-г узі + arcsm --TiT2 g
(H)
где г/31 = г32/34 = *13 + А?24 + *з4- У — у1 «2/24 = + •
Поведение декомпозированной системы (9) с законом г-2 (10) на многообразии ф2 — 0 (7) описывается уравнением
2зіД*) + k2z3il (t) + kyZty = 0,
(12)
которое при & gt- 0, к2 & gt- 0 асимптотически устойчиво относительно гзф = ?3^,(1) = 0. Если выбрать и2 в виде
U
v2 z= z3i, + - {kiZz^hzZ^ + кггф), то управление (11) в исходных координатах (3) примет вид
и = -
та
к2 cos х2 —
Ті + Т2
¦ ТгТ2 Тх+Т2
+ к2 cos х2 J хз
V h Ь'-к2
{-g — L'-k)(xi + L'-x2)
+ sin х2
ТгТ2 g + L'-k +
ТіГ2
І ¦+*
(Гі+т2)
ТіТ2д
ТіТ2д (х3 + Ь'-хі) +
Движение системы на многообразии ф2 — 0 (7) описывается уравнением
(13)
(14)
2зф (і) + ffsin
k2Z3xp (t) + k3z^(t) + кгг3ф 9
0,
которое в отличие от (12) уже является нелинейным. Это уравнение асимптотически
к
устойчиво относительно г3ф — = 0 в области — 7 г & lt- -г3ф & lt- 7 г при к & gt- 0, к2& gt- 0,
к3 & gt- 0. Для внутреннего управления у2 (10) область отработки начальных условий декомпозированной системой (12) будет больше по сравнению с у2 (13). Однако в последнем случае заметно упрощается вид внешнего управления (14).
Рис. 3. Фазовый портрет подсистемы маятника
Рис. 4. Фазовый портрет подсистемы тележки
На рис. 3−5 приведены результаты моделирования исходной системы (4) с законами управления и (11) и ь2 (Ю), а на рис. 6−8 — с законами и (14) и у2 (13). Моделирование производилось с параметрами: Т = 0,03- Т2 = 1- V — 0,1- Ь = 0,1- д = 9,8- к = 4- к2 = 2- кз = 0- // = 1- тп = 0,1- Д, = 100. Как видно, синтезированные законы управления обеспечивают устойчивую отработку углов отклонения маятника ?2тах & lt- 46° при управлении (11) и ж2тах & lt- 35° при управлении (14).
Хотя эти законы синтезированы на основе укороченной системы (6), они позволяют отрабатывать значительные по величине углы отклонения маятника и положения каретки. Это указывает на эффективность синергетического метода АКАР, с помощью которого синтезированы указанные законы управления.
Синтез законов синергетического управления для больших углов подсистемы маятника
Выделим теперь из исходной системы (1), (2) подсистему маятника
х2(Ь) = х4-
. м 9 • 1 (15)
Х4 (г) = - 81П х2 — - 008 Х2 '- и.
1−1 1и
Найдем законы управления, выводящие систему (15) из области больших отклонений угла. Для этого введем макропеременную
ф = Х2
Рис. 6. Фазовый портрет подсистемы маятника
Рис. 7. Фазовый портрет подсистемы тележки
и потребуем ныполнения уравнения
ф (Ь) + airp (t) + а2ф — О,
(16)
гарантирующего попадание изображающей точки системы на ф = 0 при, а & gt- О, а2 & gt-0.
Решая совместно уравнения (15) и (16) относительно и, получим закон управления для режима больших отклонений угла:
•*81ф
= /1(22,2: 4) =
& lt-?sini2 + аХ4Ь'- + a-ix-iL'-
(17)
COS X'-i
Помимо (17), можно предположить и ряд других законов управления в режиме больших отклонений. Например, можно выбрать следующий закон управления:
Usup = /2(32,14) =735tgl2 +ЩХ2 + Г/2Х4 +7/3X4. (18)
Тогда, с учетом (18), поведение системы (15) будет описываться дифференциальным уравнением
I/x2(t) + д{7з — 1) sinx2 + (7/1X2 + т±2(t) + 7/3X2(i))cosx2 = 0. (19)
При 7з ^ 1, 7/i & gt- 0, т/2 & gt- 0, 7/з ^ 0 уравнение (19) асимптотически устойчиво относительно Х2 =Х2=0.
Синтезированные законы управления (17), (18) позволяют решать задачу управления для большого диапазона углов отклонения маятника. Моделирование системы было проведено с использованием следующих параметров: = 0,03- '-1 — 1-
Рис. 10. Фазовый портрет подсистемы тележки
Ь = 0,1 Ь = 0,1- д = 9,8- к — 4- & amp-2 = 2- к3 = 0- ах = 10- а2 = 200- М — 1- тп = 0,1- П$ - 100- щ = 2- щ = 4- туз = 1. На рис. 9−11 приведены результаты моделирования двухуровневой системы управления с законами управления (11) и (17), а на рис. 12−14 — с законами (11) и (18). Как видно из этих результатов, закон управления (11) для режимов средних и малых отклонений совместно с законами управления (17) или (18) для режимов больших отклонений позволяет стабилизировать маятник в верхнем положении при весьма значительных углах отклонения и некотором ограничении на положение каретки, что связано с отсутствием в законах (17), (18) координаты х и ее производной. В частности, достигнуты углы отклонения ?2 шах ~ ±84°, что существенно превосходит известные в научно-технической литературе результаты [1−4]. Это указывает на высокую эффективность метода синергетического управления.
Автоколебания маятника и тележки
Как показали изложенные выше результаты, метод АКАР позволил принципиально продвинуться в решении старой задачи управления перевернутым маятником на подвижной тележке. Однако этот метод позволяет не только стабилизировать маятник в верхнем положении для значительных углов отклонения, но и обеспечить необычные режимы движения маятника и тележки, практически недоступные для других методов современной теории управления. К таким режимам относится, в частности, режим регулируемых автоколебаний, в том числе релаксационных,
Рис. 12. Фазовый портрет подсистемы маятника
Рис. 13. Фазовый портрет подсистемы тележки
возле верхнего положения маятника. Для синтеза законов управления и (х… х4).
обеспечивающих автоколебания маятника, запишем уравнения (9) на многообразии ф2 = 0 (7) в виде одного уравнения второго порядка:
•• /. • (z3 -ф — v2
?3V-W = 9 sm І-у-
(20)
Для формирования режима автоколебаний целесообразно выбрать внутреннее управление у2(23ц, ?зй) и, следовательно, функцию ЬЧгз,/-, ?-^.) так, чтобы уравнение (20) стало одним из известных уравнений теории нелинейных колебаний. Так, например, выберем внутреннее управление
{Я*3* ~ & lt-7^ ~ агз^)^(0
Ъ2(гзф, Чф) — 23V- ~ Ь'- arcsin
Тогда с учетом (21) уравнение (20) принимает вид
z3xp (t) — ?(1 — агІф)і3ф (і) + гзф = 0.
Р (гзф, гзф) — (21)
(22)
Полученное уравнение (22), описывающее автоколебания маятника и тележки, является известным уравнением Ван-дер-Поля. Если же выбрать внутреннее управление
У2& amp-зф,і3ф) = z3lp — L'- arcsin
?(гзф,ізф), (23)
х4, рад/с-

/
— /
(/
С & lt-^0
/
& gt-
ч
** рад
-0,8
0
0,8
Рис. 15. Фазовый портрет подсистемы маятника
Рис. 16. Фазовый портрет подсистемы тележки
то декомпозированное уравнение (20) будет иметь вид
?з-? (1 — аі'-Іф (і)) ?3ф (і) + гзф = 0.
(24)
Уравнение (24) является известным в теории колебаний уравнением Релея. Решая совместно уравнения (6)-(8) и у2 (21), найдем внешний закон управления:
где
и = ІІ2 (І) + (21 — У2) (- ^-(22 — щ{і)),
. №. /23−21
**('} = + («гГ& quot-
. ^ д2?, д?. /23, №. (гъ-гх
і*(0 = щг4 + - ввш + щдпт ^-р-
№ д (гг-гх
(25)
(26)
Этот закон обеспечивает режим автоколебаний маятника и тележки на многообразии '-02 = 0 (7) в соответствии с уравнением Ван-дер-Поля (22). На рис. 15 и 16 изображены фазовые портреты, а на рис. 17 представлены графики автоколебаний
Рис. 18. Фазовый портрет подсистемы маятника
Рис. 19. Фазовый портрет подсистемы тележки
маятника и тележки. Аналогично можно, подставив в (6)-(8) выражение г& gt-2 (23), получить внешний закон управления вида (25), который также обеспечивает режим автоколебаний маятника и тележки в соответствии с уравнением Релея (24). На рис. 18 и 19 изображены фазовые портреты, а на рис. 20 представлены графики автоколебаний маятника и тележки.
Если выбрать внутреннее управление
V2(Z3ip, ?З-ф) — z3ф ?(1 az3ip) z3−0 (i)] ,
то декомпозированное уравнение (20) примет вид
?M?) — 9 sin | ^ [?(1 — аг%ф)гзфЦ) — г3ф | = 0. Подставив v-2 (27) в (6) (8), найдем внешний закон управления:
(27)
(28)
и =
(-Гг — T2) L'-z? Тт2
*+• & amp-IJ -f-
L'-(IW) -Тхд + Щ
+ [(? — zl) z2 + ziz3 ~ zii] COS ' Z3 ^
(T2 + Ti) z2 TiT2 L'-zizI
+
(-2T2 — 2T^L'-zj TT2g
_ Z -g-Lr
TT2g
Ti
z3 +
sin
+
(29)
TT2g
L'-z? (-TiL'--TM-Kg-T^ + L'-Qzt 9 TT2g
Рис. 21. Фазовый портрет подсистемы маятника
х, м
~1Д& quot- -0,8 ~б о-в
Рис. 22. Фазовый портрет подсистемы тележки
Закон управления (29) согласно (28) обеспечивает режим автоколебаний маятника и тележки в соответствии с уравнением (28). На рис. 21−23 изображены соответствующие результаты моделирования.
Если выбрать внутреннее управление в виде
и
^2(23^, 23^) — Ч-ф ~~ [23^? (1 (-*'-2з^,(^)) ?зу& gt-(0] & gt-
то декомпозированное уравнение примет следующий вид:
'-?зА*) -З^п (1 — а4ф^)) ?3^(0 -23^,]| = 0.
Подставив г& gt-2 (30) в (6)-(8), найдем внешний закон управления:
(30)
(31)
и =
(Т2 + Ті)ЗЇЬ'-гІ, Т& amp-д-ЪЬ'-^ + ТЛЬ'- -ТіЬ'-І
Т{Т2
— бЬ'-^г^дсов
+
г3 — г
ТгТ2
яш
V) тхт2
+ [(-Зг| + 1) г2 + Зг| - г4]? сое
2і, (-Г2-Ті)г2, (Ь'- + д) г3 |
I -----т гг-,-----1---гл т------'-
ТгТ2 ¦ ТіТ2д
23~2і
Т& quot- -------Г
+
и) Тхт2д (Тії1 + 6ТіТ2Ь'-Ід2 — Ь'-І + Т2У + Тід + Т2д) г4 ТіТ2д
Рис. 24. Фазовый портрет подсистемы маятника
-1,6
L _
-1,6 -0,8 0 0,8 1,6 Рис. 25. Фазовый портрет подсистемы тележки
1,6
0,8
0
-0,8
-1,6
x3(t). x4(t)




*& lt-(*) l l
xjit) t
0 8 16 24 32 40
Рис. 26. Переходные процессы координат
Закон управления и (32) обеспечивает режим автоколебаний маятника и тележки, описываемый уравнением (31). На рис. 24−26 представлены результаты моделирования системы, подтверждающие изложенные выше положения о возникновении автоколебаний в синтезированной системе управления маятником и положением тележки. Подчеркнем, что указанные режимы автоколебаний практически невозможно обеспечить с помощью известных методов теории управления. Метод АКАР, основанный на синергетической теории управления, позволяет весьма эффективно решить задачу формирования режима автоколебаний маятника и тележки. Этот режим является асимптотически устойчивым движением системы.
Литература
1. Квакернак X., Сиван Р. Линейные оптимальные системы управления. М.: Мир, 1977.
2. Elgerol O.I., Control Systems Theory,-Mc. Graw-Hill, New York, 1967.
3. Jang S., Araki M. Mathematical analysis of fuzzy control systems and on possibility of industrial applications // Trans. Soc. Instrum, and Contr. Eng., 1990, V. 26, № 11.
4. Saito Т., Togawa K. Controls of inverted pendulum: By the technique using the analog control elements // Res. Repts Nagaoka Techn. Coll., 1991, V. 27, № 2.
5. Колесников A.A. Синергетическая теория управления. Москва: Энергоатомиз-дат, 1994.
РАН. Техническая кибернетика, 1993. № 3.
7. Брусин В. А. Глобальная стабилизация неустойчивой нелинейной двухмассовой системы // Известия РАН. Техническая кибернетика, 1991. № 4.
СИНЕРГЕТИЧЕСКОЕ УПРАВЛЕНИЕ МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМОЙ «ПЕРЕВЕРНУТЫЙ МАЯТНИК НА ТЕЛЕЖКЕ»: НЕЛИНЕЙНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КООРДИНАТ
Ал.А. Колесников Таганрогский государственный радиотехнический университет
В промышленности и технике широко распространены различные механические колебательные системы, модели которых имеют ряд отличительных особенностей с точки зрения проблем управления. В механике известны три эквивалентных способа описания движения — на основе второго закона Ньютона, уравнений Лагранжа и формализма Гамильтона. Все эти способы приводят к одинаковым результата^ путем пересчета начальных условий из одной системы координат в другие. При построении моделей механических систем на основе закона Ньютона или формализма Лагранжа образуется система дифференциальных уравнений второго порядка.
Указанные обстоятельства требуют некоторой модификации процедур метода АКАР. В этом случае функциональные уравнения целесообразно записывать также в виде системы уравнений второго порядка относительно макропеременных:
+ аи^*(*) + а2к'-Фк = О, к ~ 1,2
где ш — размерность вектора управления.
В статье [2] были изложены результаты исследований по синтезу законов управления вертикальным положением маятника, расположенного на подвижной тележке, на основе линейного преобразования координат. Это позволило использовать укороченную модель системы. В результате применения метода АКАР для этой модели были синтезированы законы управления, обеспечивающие устойчивую стабилизацию маятника при максимальном угле отклонения от вертикального положения в 45 -г 50° и некотором ограничении на положение тележки.
Возникает идея поиска такого нелинейного преобразования координат, которое позволило бы расширить допустимый диапазон отклонения угла х2 до предельного: -0,57 Г & lt- Х2 & lt- 0,57 Г и, кроме того, чтобы на положение каретки Х ограничений не накладывалось. Это исчерпывающим образом решает поставленную в [1] задачу управления системой «перевернутый маятник на тележке». Перейдем к рассмотрению такого преобразования координат.

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой