Задача о деформировании круглой пластины с отверстием

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Механика


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

УДК 539. 3
Р. М. Тимербаев, Ф. С. Хайруллин, Р. Г. Хакимов
ЗАДАЧА О ДЕФОРМИРОВАНИИ КРУГЛОЙ ПЛАСТИНЫ С ОТВЕРСТИЕМ
Ключевые слова: пластина, плита, трехмерная задача, перемещение, напряжения, вариационный принцип Лагранжа, уравнения Бесселя, модифицированные функции Бесселя, кольцевое напряжение, соотношения упругости.
Приводится решение задачи о концентрации напряжений у края отверстия в круглой пластине в рамках задачи «А» (терминология А. И. Лурье [1]). Трехмерная задача о равновесии круглой пластины сводится к двумерной задаче с помощью принципа возможных перемещений Лагранжа. Приведены так же результаты расчетов безразмерного напряжения у края отверстия при действии сжимающей, плавной, быстро убывающей поверхностной нагрузки.
Keywords: plate, a plate, a three-dimensional challenge, movement, tension, the Lagrangian variational principle, Bessel equations,
modified Bessel function, annular tension, elasticity ratio.
Is the stress concentration at the edge of the hole in a circular plate within the task & quot-a"- (terminology A.I. Lurie [1]).
The three-dimensional problem of equilibrium of circular plates consist of two-dimensional using Lagrangian principle possible movements. See also the results of the calculations the dimensionless stress at the edge of the holes under the action of compressive, smooth, fast diminishing surface load.
Введение
Рассматривается круглая пластина средней толщины со сквозным отверстием [2]. Решается задача о концентрации напряжения у края отверстия при наличии сжимающей поверхностной нагрузки.
В статье используются следующие обозначения: и, и0, и1 — радиальное перемещение и его
составляющие- ч — прогиб- 1 —, где толщина
пластины — 2Н- Г0 — радиус отверстия.
Решение
Решение трехмерной задачи о равновесии круглой плиты будем искать, задаваясь компонентами перемещений в виде [3].
и — и0 + 2иг, Ч -. (1)
Согласно принципу возможных перемещений имеем (массовые силы отсутствуют, действует только поперечная нагрузка)
Л 7пдм& gt-с1а — Зи — 0, (2)
где
W = jjj|
V)
aSe" + a, JSe" + ^
+ a zSez + aJerz
• r • drdydz •
(3)
В (3) напряжения выражаются через перемещения по соотношениям упругости аг — (Л + 2^)ег +Л (е^+ е2 ^
а9 = (Л + 2^)е9+Л (е2 + е), (4)
— (Л + 2^)ег + Л (ег + e& lt-p),
° гг — №гг.
а деформации выражены по соотношениям Коши
ди и ди ди дч, сч
е --, е =-, е --, е ---------------1---. (5)
дг г дг дг дг
При сведении трехмерной задачи к двумерной, рассмотрим вначале выражение для 5и, принимая во внимание (1) — (5)
SU =
hjj
a" - (su0 + z Su, J+
r dry 0 '-
¦ (su0 + z SujJ+
+ - (Su0 + z Su, J+ r
±Sw, + h
f 2z — d s ^
-Su, + z-Sw,
v h, dr 1 ,
dz
rdrdq).
(6)
Используя формулу Остроградского — Грина, получим
& lt-д-- NS’K
SU=-tf
(-
dr
+
2r
v ~h
+(- (
I drK
Su, +
drdp+ (7)
+ 2n • | (n0 (0 + N (2 '-'Su, + N, 3 '-'Sw,)• rdr = 0. r0
Здесь
N0 = h j adz, N0 = h j adz,
-1 -1 1 1
Nfj = h j z ardz, N (2 = h j z avdz,
-1 -1
1 1
N (113) = h j zarzd z, N (3 = h j azd z,
-1 -1
Входящий в (2)поверхностный интеграл
jj Zn • SwdQ =
= jj Zn •(zSwJJh • rdrdv
Q
h * jjSzSw, rdrdq& gt-,
Q
a
rz
Q
Q
Q
где
& amp- - 7++ 7.
Если на поверхностях г — +к действует сжимающая симметричная относительно срединной плоскости нагрузка ц / г, то Я2 — -ц.
Объединяя в (2) соответствующие интегралы и учитывая (7), (8), получим уравнения равновесия
д: ?0'-) — N 2& quot- & gt- - о,
дГ (г№ '-,{& gt-) — И'- - N: 32'-- о,
д г к
— {г* 131-) —
д г4 13 '- к
(9)
(0) — а зз Ч. -
и граничные условия на краю кругового отверстия
К0) _ о N (2) — О N (1) — О (10)
*1(10) — 0, Nl (l2) — 0, N13 — 0.
Учитывая (4) и (5), запишем усилия в (9) через перемещения
Учитывая (11), (12), (13), уравнения (9) будут иметь вид
к (к+2 ") ¦ д- {- • дг (ги0+к ¦ «дг1=0
дг г дг) дг
к (к + 2»)±(1 Цщ)1 — ^ (и, + п ^ I — 0,
дг I г дг
2 дг
(14)
2 — {1 & lt-и))-* { 1 Н+
+ 2(+ 2 «К-- ^ [ 1(г)) — -Ч
Граничные условия (10) запишутся следующим образом
к (к + 2 »)¦ ди 0 + кк ¦ щ°- + кч 1 — 0, д г г
{к + 2″)^ди- + к ¦ - 0, дг г
(15)
N (0J — 2к (к + 2 «)дди° + 2ккЩ° + 2кч1, дг
Щ0
г
ди0
N20- - 2к (к + 2 + 2кк + 2кч1,
г дг
ди и
2к (к + 2 + 2кк-^° + 2кч1
дг г 1
8 ,
±----к
45
и + к щ
дг г
N22} --
ди0
2к{к + 2 «))¦ + 2 кк-^° + 2кч1 г дг
8 ,
±----к
45
{к + 2 + к
дг
2
ди0 + Щ,
ч дг г)
+ 2{к + 2»)& quot-И1
где ио — ио + 3 иГ
(11)
В (11) можно установить зависимости
— 1 ^'-у1 + Л2−1,
N222) — 3 N 22 + Д2),
(12)
где
Т~1(12) — -Ь 11 45
Т~222) — - Ь
22 45
к+2^)^ +2-^ дг г _
к 2^)1+4^
г дг
к д ч1 и 1 + - ---------------- 0.
1 2 дг
Последовательным исключением функций из уравнений (14) можно получить самостоятельные
уравнения для и0, и1,ч1.
д_
дг
1 — V 2к2 1 д (дч1)
ж-----------------1 г-1 I +
1 — 2v 15 г дг ^ дг)
(1 — у/ кЧ г д (1 д | г дч1ур
1 — 2у 45 г дг
г-I-------1 г
дг I г дг I дг
1 — V
к — 2Е дг
1 — у 2к2 1 д (да
а------------------------1 г-
1 — 2у 15 г дг I дг
дг
1 д/- 1 -V 2Ь2 1
-----1ги01----------------
г дгу 0/ 1 — 2v 15 г
д
, г-1-^0)
дг I дг I г дг 0/
+
+
(1-V)2 Ь4 1
1 — 2v 45 г
д_
дг
(__д (дг
1 д (_д (1 _д дг I г дг
г дг
v (1+V) д
2Е дг
(ги0)
1 — V 2Ь2 1 д 1 — 2v 15 г дг
. да
дг
(16)
+
1
+
3
2
д
а
дг
1 д (- 1 -V 2И2 1
1 д (-) ]
— - -г дг 1
— 2v 15 г
дГ-. АГ і.
дг I г дг
дг
Л
+
+
(1 — V)2 И4 1
1 — 2v 45 г
д_
дг
(
д_
дг
Г1 д Г
г дг
дг I г дг
(гио)
'-/У
v (1+ V) д
2Е дг
1 -V 2И 1 д. да.
а----------------------(г-)
1 — 2v 15 г дг дг
1 -V 2И2 дГ1 _д ()Л (1-V)3 2И6 1 — 2у'- 15 '-дг І г'- дг/ (1−2^'-б750'-
д_
'-дг
Г1 _5 Г
г дг
д
'-дг

1 д Г д Г1 д
7 а 1 г д I г'- ?(ги'- *
'-У/
+
ч2^ с. л ои4 я Г1 д Г д Г1 д ЛЛЛ
(1-^)2(3 — 5^)2Ь4 д
(1 — 2^)2 225 дг
І г-I --Ц)
г дг І дг I г дг и
: Ь?1д
4Е дг
1 — V 2И 1 д Г да
а--------------------------1 г. -і
1 — 2v 15 г дг І дг
Рассмотрим первое из уравнений (16). Пренебрегая членами, содержащими к4, получим
д
дг
1 1 д Г дщ
щ--------------і г-----^
а г дг І дг
= во'- д-
дг
1 1 д
д- а ¦ г дг іг'- д
дд
где
2 1 — 2v 15 «1 — V2
а =
1 — V 2И
'-ТТГ' Ро = --

Интегрируя последнее, приходим к уравнению Бесселя
Л 1 д Г дФ
Ф — -2----------------1 г-------
а г дг І дг
= С1
где Ф — Ч1 — в0ц.
Частное решение его будет
Ч1 — РоЧ + С1.
Общее решение соответствующего однородного уравнения
Ч10 — С2?0 («г)+ С3К0 (аг)
где 10 (аг) и К0 (аг) модифицированные функции Бесселя.
Общее решение неоднородного уравнения запишется следующим образом
1 = С1 + С 21 о (аг)+ С3 К о (аг * + Д, Ч-
(17)
Подставляя это решение в первое уравнение системы (14) и проинтегрировав его, получим
и1 — С2 ¦ а2 ¦ 11 (аг) — С3 ¦ а3 ¦ К1 (аг) +
+ Д'-* - 3ї1'-г'- ІС1 +Т-2у ^
И
'-С, 1+Я
где Р 2 -- - ¦ Р0.
Из условия ограниченности напряжений на бесконечности, получим
С1 — С2 — С4 — 0.
Тогда выражения (17)-(19) запишутся так
Ч1 — С3 К (аг)+ А& gt- ^
ио = -С3'- а2'- К1 (аг) + - ¦ | щёг +
и1 = -С3'- а2'- К1 (аг) + в2'- - + -•
ёг г
Граничные условия при этом примут вид
дио ио
-- + а1'- Н'- - + а1'- м1 = о, дг г
ди., и.
-1 + а1 '- Н'- - = о, дг 1 г Н дм1 А
и1 ±--------1 = о,
1 2 дг
С5
где а. =-
Л 1
И (1 — у)
Пусть на пластинку действует сжимающая, плавная, быстро убывающая от края отверстия поверхностная нагрузка
— ш| --1
вид
а = ао'-е
Тогда выражения для перемещений примут
! = С3'- Ко (аг*+ во '- Чо '-е
-ті------1
ио = -С3'- а2'- К1 (аг) + ¦в1го-'- | 1 + -г°-| да І гт У
'- Чо'-'-
С5
^ = -С3а2'- К1 (аг) + в2----до'- е 1 го У +
Сб
В результате решения задачи наибольший интерес представляет величина кольцевого напряжения оу у края отверстия. Выражение для оу, найденное по соотношениям упругости, имеет вид
д
г
г
и1 —
V
г.
ті - -1
г
+
г
г
о
V
С
У (5−18у8 4Ь (1- V)
-1 К1(аг)
, г
1−2v
К () 1−14 и
К0 (& lt-ХГ) 3^~ аи '-
г2
& quot-5 3 6
(1−2у). р1-Г°Г. 1+I-шг I шг I
— (1-& gt-'-)Аш
3 г0
1
V ш
г 1-V г
-ш (--1)
-Я0-е
-2
+ Ъ
[уаа3К0 (аг) — (1 — 2уг)3
С,
— 1 К1(аг) V г
+1−2: с-
^ 2 ^6
— (1-^Р2Ш
1
V ш
л
г 1-V г0
^0-е
2
Постоянные интегрирования С3, С5, С6 найдем из граничных условий
С — 2Р2 — ш — (ш — mv — V)
С3 —
г0У
-qо,
С5 —
2р2 — ш — (ш — шv — V) — а2 — К1(аг0)
У
1 + -
ш
1
ш
qо,
С — 6Р2-ш-(ш -ш- V — V) -К1(аг0)
С3 —
а — и — (1 — ^у
qо,
Г — 3(12и0& quot-) гоКо (аго)ф (1 — 2^)"иК1 (аго)
В таблице 1 приведены результаты расчетов безразмерного напряжения Оу / Ц0 у края отверстия
при 2 — +1 в зависимости от параметров т и го — го/ к, (у= 0,3).
При больших значениях т нагрузка д приближается к сосредоточенной и, как видно из таблицы, с ростом т при одновременном уменьшении радиуса отверстия коэффициент концентрации напряжений оказывается довольно большим, т. е. кольцевое напряжение Оу можно сопоставлять лишь с
напряжением, которое возникает при раскрое трещины в ее вершинах.
Таблица 1 — Значение напряжения у края отверстия
т 1 3 5 10 20 100
1 -0,77 -2,53 -5,87 -21,2 -81,7 -2000
3 -0,523 -0,615 -0,772 -1,44 -3,96 -82,1
5 -0,507 -0,537 -0,583 -0,778 -1,51 -23,4
Литература
1. Лурье А. И. Пространственные задачи теории упругости. — М.: ГИТТЛ, 1995. — 494 с.
2. Белоус П. А. & quot-Осесимметричные задачи теории упругости& quot-. Одесса: ОГПУ, 2000. — 183 с.
3. Хайруллин Ф. С., Серазутдинов М. Н., Сидорин С. Г. Расчет напряженно-деформированного состояния сотового поликарбоната. Вестник Казанского технологического университета. № 9. Казань. 2010 г. С. 433−437.
4. Хайруллин Ф. С., Сидорин С. Г. Определение напряженно-деформированного состояния материала сотовой структуры. Вестник Казанского технологического университета. Т. 15, № 18. Казань. 2012 г. С. 23 — 26.
где
© Р. М. Тимербаев — к.ф. -м.н., доцент, Елабужский фессор КНИТУ, x_faгid@шail. гu- Р. Г. Хакимов -hakimovгg@шail. гu.
институт К (П)ФУ, tiшeгais@mail. гu- Ф. С. Хайруллин — д.ф. -м.н., прок. т.н., доцент, К (П)ФУ, Институт вычислительной математики и ИТ,
+
1
+
+
г
г
0
ш -1
г,
+

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой