Двумерные течения неоднофазной смеси в сопле и струе, истекающей в затопленное пространство

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Механика


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц, А Г И Том VIII 1977
№ I
УДК 533.6. 071. 08:532. 57
ДВУМЕРНЫЕ ТЕЧЕНИЯ НЕОДНОФАЗНОЙ СМЕСИ В СОПЛЕ И СТРУЕ, ИСТЕКАЮЩЕЙ В ЗАТОПЛЕННОЕ
ПРОСТРАНСТВО
В. И. Благосклонов, А. Л. Стасенко
Разработана методика численного исследования сверхзвуковых плоских и осесимметричных стационарных течений смеси газа с неиз-меняющимися шаровыми частицами с учетом обратного влияния частиц на газ. Для определения коэффициентов взаимодействия частиц с газом при произвольном значении числа Кнудсена, построенного по диаметру частицы, использованы интерполяционные формулы Шермана, асимптотически переходящие в соответствующие выражения для случаев сплошного и свободномолекулярного обтекания. Приведены некоторые характерные результаты численного исследования в широкой области значений начальной относительной концентрации частиц и их радиусов.
Неоднофазные среды являются физическим объектом, широко распространенным как в природе (облака, туманы, атмосферы планет), так и в человеческой практике (пересыщенный пар турбин, струи и т. п.).
Динамику неоднофазных сред можно рассматривать по существу как один из разделов механики релаксирующего континуума, в котором, однако, в отличие, например, от случаев неравновесных химических реакций или возбуждения внутренних степеней свободы молекул имеет место инерционное отставание макроскопических частиц от газа, приводящее к сепарации их линий тока и необходимости многоскоростного приближения. К настоящему времени динамике неоднофазных сред посвящено несколько монографий и обзоров [1−6], охватывающих порядка тысячи статей. Наиболее мощный толчок развитию рассматриваемой области газодинамики дали в последние два десятилетия исследования течений в каналах и струях. Однако до сих пор эти исследования проводились раздельно в соплах и струях [2, 6, 7−10]. В соответствии с этим в качестве коэффициентов взаимодействия газа с частицами, которые являются в данном случае входной информацией, вы-
бирались либо коэффициенты для сплошного обтекания сферических частиц [7, 8], иногда с экстраполяцией до чисел Кнудсена
/ч Л ¦
(Кп = //2а) порядка нескольких единиц [11], либо коэффициенты для случая свободномолекулярного обтекания [9, 10]. Между тем ясно, что при расчете только струи граничные условия на срезе сопла (отставания частиц от газа по скорости и температуре) зависят от всей предыстории движения и не могут быть оставлены в виде свободных параметров в случае, и без того богатом параметрами- с другой стороны, мелкие частицы в принципе в любой точке сопла или струи могут попасть в условия свободномолекулярного обтекания.
В настоящей статье излагается численное исследование двумерных течений монодиспе^сной взвеси (с учетом обратного влияния частиц на газ) в сверхзвуковой части сопла и струе, истекающей в затопленное пространство- для определения коэффициентов силового и теплового взаимодействия при произвольных значениях Кп использованы интерполяционные формулы Шермана, асимптотически переходящие в выражения для свободномолекулярного и сплошного обтекания. Задача рассматривается в следующих предположениях, содержащихся в работах [12] и [13]:
1) газ идеальный совершенный- вязкость и теплопроводность проявляются только при взаимодействии с частицами-
2) суммарный объем (но не масса!) частиц '-№=-^-т: а5п (п,
м~3 — их числовая плотность) пренебрежимо мал, что имеет смысл, согласно работам [5, 14], вплоть до значений относительной плотА
ности частиц е=р/р-10 (действительно, даже при г-10ир~1кг/м:! № ~ ер/р° ~ 10 • 1 /(103 -г- 104) ~ 10-* - 10−3 & lt-С 1) —
3) отсутствуют столкновения частиц друг с другом (это пред-
положение выполняется строго для случая монодисперсной взвеси и стационарных течений)., !
В отличие от статьи [15], в которой впервые предлагается рассматривать движение смеси как взаимопроникающее движение нескольких сплошных сред, здесь не используется предположение о баротропности компонентов, а рассматриваются уравнения энергии, как и в [12, 13 и 16].
В этих предположениях уравнения плоских (V = 0) и осесимметричных (& gt-=1) течений смеси газа и неизменяющихся шаровых частиц имеют вид (л — осевая координата):
4 АЛЛ 4__я «
¦ ЛЛ Л Л л л
лл
дх ду у
У '
Ф
3 — Ученые записки № 1
зз
Л Лц Л Л А
ч-3--fx^k (u — u) — к = р Сор [(и — и)2 + (г» — г& gt-)8]½-
л Л л
Ля) ^
и-& amp-:==А==Ь ('°-'0)'-, Р
л ЙГ
мж = ?-
_?* г. р°
*.
Л ' а
Здесь уравнения импульсов и энергии для частиц (2) записаны в виде характеристических соотношений вдоль их линий тока. Эта система уравнений приведена к безразмерному виду следующим образом: все линейные размеры отнесены к радиусу критического сечения сопла (или полуширине плоского) плотности — к
р*- скорости — к а*- давление — к р*а2- удельные внутренние энер-
Л Л 2 2
гии еие = с°Г-ка, — проекции ускорения частицы /х, /у — к'-а. /г*- поток тепла, приходящий на частицу & lt-7, — к а3/г,. Параметры частицы отмечены значком «Д», свойства ее материала — верхним индексом *0″.
Функции силового и теплового взаимодействия частицы с газом /х, /у, ^ известны в области сплошного обтекания (верхний индекс «с») в виде многочисленных полуэмпирических зависимостей от чисел М и 1? е относительного потока [17−20]
Д = [(ц — и)2 + (V
V)2]
½
У т
— & quot-о* ?Ци-и^ + (У-УП112 №*)
Ие — Ие
Иеа
2йр* я*
и в области свободномолекулярного обтекания (верхний индекс
г-- Л
«г») — в виде функций 5=Кх/2М и коэффициентов аккомодации молекул по импульсу и энергии 0 и, а [21, 22]:
Со = (1 + 0,15Ие0−687)
Ие
1 + ехр
0,427
М
4,63
К
м,
СЬ
1& gt-=-е^^2) — + ег{5−454 + 453'- У % Б3
254
1/.
35 V Т:
дс = тми (Тсг — Т), N11 — (2 + 0,459 Яе^Рг0−33) /Ск-
, ^ гГ'- 1-, *¦ + 1 «
дг = тг -у- Ие Рг
8% 52
7 =
^ + ег"(т + 5!)
(Тг-Т) —
2 а* Л
а3 р° с0
(3)
(зо
(4) (4'-)
В первом случае величины /х, /у, & lt-7 содержат неизбежную ошибку эксперимента (примерно +20% [23]), во втором неопределенна информация относительно значений & amp- и а.
Выражение С Ь является результатом обработки многих теоретических и экспериментальных результатов и учитывает инерционность и сжимаемость потока в виде поправочных множителей к закону Стокса (~24/Ке) — оно пригодно в области чисел
Ие& lt-«1−100 и М& lt-2(я, & gt- 1).
В формулах (4) и (4'-) величины с нижним индексом «г» относятся к условиям адиабатического восстановления (коэффициент г):
П=Г (1-г) + Т (1 + ^у*№)г, *Г = Ц7& gt-
Число Рейнольдса, входящее в выражение для Ми, в случае сверхзвукового обтекания сферической частицы определяется по условиям за прямым скачком:
^ Л
«I Ие при М & lt- 1 /X ^ и. (Т
Ке= Л Н ^ - Ке2 = Яе^-
Ие2 при М & gt- 1
МТУ '
-уя= 4(1 4- (*М2 — -2~& quot-) ^ 2 (х + ^)~2-
В некоторых работах [7, 8] это обстоятельство совершенно упускается из виду и тепловой поток записывается в виде — Т —
Л Л
— Т, что справедливо только при М& lt-С1-
Величина Тгг, входящая в выражение для.- температура адиабатического восстановления при свободномолекулярном обтекании [22]:
Ттг = -^--г |~2х -(- 2 (ч — 1) 52--(*- 1) ег* ]
*+1 I. ^ v ' (½ + Б*) еЛ Б+8е8 1Ук
Поскольку частица при движении в сопле и струе может проходить все режимы обтекания от сплошного до свободномолекулярного, для описания ее взаимодействия с газом необходимо использовать выражения, пригодные в области чисел 0& lt--Кп<-оо. В настоящей работе используются интерполяционные формулы Шермана:
С"1 = (Рс)-1+ (& lt-2ГГ', (5)
где С1 = /х, /у, я.
Эти формулы асимптотически переходят в приведенные выше
выражения для сплошного (Кп 0) и свободномолекулярного
(Кп -«¦ оо) режимов обтекания, а в переходной области совпадают с имеющимися теоретическими и экспериментальными результатами для сферы [21]. Заметим, что вследствие использования формул (5) в выражениях для Сс0 и Ии (3), (4) опущены поправки Милликена и Каванау на разреженность: Км^Кк = 1.
В дальнейшем примем степенную зависимость вязкости от температуры [а — Tw (со & gt-0). Таким образом, задача описывается следующим набором независимых безразмерных параметров: х, а, г,
& lt-о, Рг, р, у, Re*.
Уравнение неразрывности для частиц (1) можно заменить алгебраическим соотношением ф = const вдоль траектории частицы, вводя следующее определение функции тока для частиц:
Л Л Л
— 2у р (udy — vdx).
В основу разностной схемы положены интегральные законы сохранения массы, компонент импульса и энергии для газа и характеристические соотношения для частиц (2), справедливые вдоль их траекторий. Система уравнений, описывающая течение газа, решалась методом, предложенным в [24] и подробно описанным в [25]. Интегрирование системы дифференциальных соотношений для частиц проводилось модифицированным методом Эйлера по характеристической сетке. Шаг по х выбирался равным половине шага А, выбранного из условий устойчивости при расчете параметров газа. При расчете на одном шаге система для частиц интегрировалась два раза: от начального сечения х до х + Л/2 и от х + А/2 до х + Л. Значения компонент скорости, плотности и давления газа, необходимые при интегрировании системы для частиц, находились параболической интерполяцией по у коэффициенты для параболы брались усредненными по четырем точкам. Анализ точности расчетов по использованному методу первого порядка для чистого газа проведен подробно в работах [24, 25]- уравнения динамики и теплового баланса частиц (2) интегрируются со вторым порядком точности.
Ниже приведены примеры расчетов движения монодисперснОй взвеси в сопле, показанном на фиг. 1.
Частицы трех различных радиусов характеризуются набором безразмерных параметров, приведенным в таблице.
Л Л Л 2 ^ Л л
а, мкм р ~ а-1 Re* ~ а Tst ~ а»
1 3. 85 0,235 78,4 1
5 0,77 0,0094 392 25
10 0,385 0,235 784 100
В последнем столбце таблицы представлены обезразмеренные по т* -г*/а* характерные времена релаксации частиц по скорости, которые имели бы место в случае стоксового обтекания,
л л 2 Л
= /и/бя^ат* = -д- а? р0/^*
Свойства газа: 1,125, & lt-в=1 («мягкие& quot- максвелловские моле-
кулы с большим числом степеней свободы, например, фреоны) — а = 0 = 1 (идеальная аккомодация молекул на поверхности частйц).
Смесь истекает в затопленное пространство с давлением газа ря = 6,25−10−5.
На фиг. 1 приведены распределения осевой компоненты скоЛ л
ростей и, и и температур Т, Т, частиц и газа (у = 0), показаны граница струи Г, висячий скачок и сепаратриса 5 для нескольких значений относительной концентрации частиц в критическом сечении
Л Л
8*=Р*/Р*=0, 1 и 2. Радиус частиц фиксирован (а — 5 мкм). Показаны также изменения температуры и осевой компоненты скорости газа вдоль сопла и границы струи (индекс Г).
Начальные условия приняты следующими: л0=11,5- и0 = 1,2-
Л Л Л
Т0 = Т0 = 0,866- и0=, v0 = 0. Уже при г* = 0 (частицы не оказывают влияния на газ) видно, что в рассматриваемых случаях не может быть речи ни о равновесном, ни о замороженном течениях смеси. Поэтому для всех значений є* & gt- 0 параметры газа оставлены одинаковыми- к газу просто добавляется определенное число частиц без пересчета на какие-либо специальные случаи сравнения (например, по одинаковому суммарному расходу). ¦
Из фиг. 1 видно, что если при ?* = 0 осевая компонента скорости газа и вдоль Г меньше, чем на оси, то при е~1 картина качественно изменяется: на оси газ тормозится и нагревается вследствие взаимодействия с частицами. Отметим, что на некотором расстоянии за критическим сечением происходит одновременное торможение и падение давления на оси струи — явление, невозможное в чистом газе с постоянным отношением теплоемкостей. В рассматриваемом случае это явление может быть объяснено не совсем точным заданием начальных величин скольжения при всех е*: газ на оси сначала разгоняется [см. и{х), почти «не чувствуя* частиц, скорость которых задана слишком большой, затем уходит в область однофазного течения, что приводит к падению плотности и давления у оси- оставшиеся в области двухфазного течения порции газа, не будучи в состоянии разогнать большое количество частиц с уже значительным скольжением, тормозятся и нагреваются.
С удалением от критического сечения газ на оси все же начинает разгоняться. За срезом сопла, когда появляется возможность перетекания его в периферийные области струи, он вновь начинает тормозиться на оси. С увеличением содержания частиц видна тенденция к уменьшению разностей температур газа и частиц на оси (см. фиг. 1). Далее, с увеличением е* диаметр первой бочки растет, а сепаратриса слегка приближается к оси (двухфазная область становится все более кумулированной), что физически легко объяснимо: расширяющийся газ не в состоянии «разбрызгать& quot- в стороны все увеличивающуюся массу частиц. Соответственно точка пересечения границы струи и сепаратрисы отодвигается вниз по потоку- за этой точкой частицы попадают в область неподвижного газа и обмениваются с ним импульсом и энергией. В настоящей работе пренебрегается возникающим в результате этого движением газа в затопленном пространстве.
Так же, как и граница струи, в области чистого газа висячий скачок монотонно удаляется от оси с увеличением относительного потока частиц (штрих-пунктирные линии на фиг. 1) — при пересечении сепаратрисы наблюдается увеличение наклона скачка, тем более значительное, чем больше г*. В результате скачок приходит на ось струи при больших е* ближе к соплу, чем при малых.
Интересно отметить влияние начальных условий (задаваемых вблизи критического сечения) на параметры частиц. На фиг. 1 показано изменение вдоль оси скорости газа и рассчитанное по квазиодномерной теории, начиная от камеры сгорания. Полученное
А Л
таким образом значение скорости частицы (а — 5 мкм, и00, 5) использовано в исследуемом двумерном случае (?* = 0) для интегрирования уравнений движения частицы (штрихпунктирная кривая
*=26- а= 5 мкщ у^=6,4
Фиг. 2
Л
и). Видно, что хотя в критическом сечении скорость частицы при-
А
близительно вдвое меньше («0 50, 5), чем значение, принятое выл
ше (ы0=1), тем не менее уже на расстоянии порядка одного диал
метра критического сечения отличие между а (х), полученными при этих различных начальных условиях, становится меньше относительной ошибки коэффициентов взаимодействия газ — частица. Однако влияние на сепаратрису существенно: уменьшение начальной скорости частицы приводит к увеличению времени ее взаимодействия с газом за критическим сечением и к большему разлету частиц в-направлении (см. фиг. 1, штрих-пунктирная кривая 5).
Фиг. 2 и 3 иллюстрируют поперечное распределение газодинамических параметров для = 0- 0,2- 1- 2 и 5 в двух плоскостях х = 26 (у среза сопла) и х= 110 (в струе, в области наибольшего радиуса «бочки& quot-, см. фиг. 1). Штрихпунктирные линии соединяют значения параметров газа на сепаратрисе. Видны существенные двумерные эффекты, свидетельствующие о неточности описания движения смеси в квазиодномерном приближении (из-за наличия
'- Л Л
сепаратрисы). Отметим вместе с тем, что параметры частиц и, V,
А *
Т незначительно изменяются поперек струи в области двухфазного течения, ограниченного сепаратрисой (0-& lt-у<-[^) — они могут
быть найдены по фиг. 1 и приняты равными, например, их значениям на оси (у = 0). Во всяком случае, их наибольшие изменения лежат внутри указанного выше диапазона погрешностей, с которыми определены коэффициенты силового и теплового взаимодействия газ — частица. По излому кривых и, V, Т на фиг. 3 можно, судить об ординате висячего скачка (см. также фиг. 1).
лг=110, а = 5 мкм е*= … О 1 2
ур=.. 24,4 31,7 34,4
Фиг. 3
I
На фиг. 1 — 3 приведены данные для одного фиксирован-
Л
ного размера частиц (а = 5 мкм). Фиг. 4 и 5 иллюстрируют влиял
ние радиуса частиц, а на параметры смеси при фиксированном относительном содержании частиц ?*=1 и прежних начальных условиях. Видна вполне понятная тенденция к уменьшению раз-
Л
ностей температур и скоростей газа и частиц с уменьшением, а (стремление к равновесной смеси, рассмотренной, например, в [6]). Укрупнение частиц, естественно, приводит к тому, что каждая из них разгоняется газом до меньшей скорости и слабее охлаждается- вместе с тем более крупные частицы слабее влияют на давление газа (их числовая плотность меньше при фиксированном е, так
Л Л •
как я* - в, а~3).
Характерное время расчета одного варианта на БЭСМ-6 изменяется в пределах 10−30 мин (при е* = 0-ь5).
Пример расчета с двойным числом точек на начальном луче для е* = 1 приведен на фиг. 2 [кривая и (у), отмеченная крестиками].
. ¦ч N
ч
уг
, — - -

/(0)
= =•-
По) а = 1шм 5мкм
ТВмкм г/
Г^ -

Фиг. 4
Таким образом, примеры показывают, что разработанная методика позволяет эффективно исследовать ряд интересных особенностей двумерных неоднофазных течений монодисперсной взвеси в каналах и струях.
1. Дейч М. Е., Филиппов Г. А. Газодинамика двухфазных сред. М., «Энергия», 1968.
2. Са л та нов Г. А. Сверхзвуковые двухфазные течения. Минск,. Высшая школа», 1972.
3. К р, а й к о А. Н., Нигматулин Р. И., Старков В. К., Стернин Л. Е. Механика многофазных сред. Итоги науки и техники. Гидромеханика. Т. 6. ВИНИТИ, 1972.
4. Циклаури Г. В., Данилин В. С., Селезнев Л. И. Адиабатные двухфазные течения. М., Атомиздат, 1973.
5. Со у С. Гидродинамика многофазных систем. М., «Мир-,
1971. '-
6. Стернин Л. Е. Основы газодинамики двухфазных течений в соплах. М., «Машиностроение& quot-, 1974.
7. Васенин И. М., Рычков А. Д. Численное решение задачи о течении смеси газа и частиц в осесимметричном сопле Лаваля. «Изв. АН СССР. МЖГ 1973, № 5.
8. Рычков А. Д. Течение смеси газа и твердых частиц в сверхзвуковых недорасширенных струях. «Изв. АН СССР. МЖГ», 1974, № 2.
Э. Пробстин Р. Ф. Пылевая газодинамика кометных голов. Сб. «Проблемы гидродинамики и механики сплошной среды». М., «Наука», 1969. *
10. С т, а с е н к о А. Л., Чеховский В. Ф. Сферически симметричное истечение газа с частицами в пустоту. Труды ЦАГИ, вып. 1612, 1974.
11. Гродзовский Г. Л. О движении мелких частиц в газовом потоке. «Ученые записки ЦАГИ», т. 5, № 2, 1974.
12. Клигель Дж. Течение смеси газа с частицами в сопле. «Вопросы ракетной техники», 1965, № 10 (30).
13. К р, а й к о А. Н., СтернинЛ. Е. К теории течения двухскоростной сплошной среды с твердыми или жидкими частицами. ПМТФ, т. 29, № 3, 1965.
14. Otterman В., Levine A. S. Analysis of gas-solid particle flows in shock tubes. A1AA, vol. 12, N 5, 1974.
15. P a x м, а т у л и н X. А. Основы газодинамики взаимопроникающих движений сжимаемых сред. ПММ, т. 20, вып. 2, 1956.
16. С т, а с е н к о А. Л. К динамике двухфазной смеси совершенного газа с макроскопическими частицами. Труды ЦАГИ, вып. 1453, 1973.
17. Карлсон, Хогланд. Сопротивление и теплоотдача частиц в соплах ракетных двигателей. «Ракетная техника и космонавтика», 1964, № 11.
18. К a van a u L. L. Heat transfer from spheres to a rarefied gas in subsonic flow. Trans. ASME, vol. 77, № 5, 1955.
19. Беккер Дж., Дрейк P. Теплоотдача от шара к разреженному газу в сверхзвуковом потоке. «Вопросы ракетной техники», 1953, № 2.
20. Никольский Ю. В., Первушин Г. Е., Ч е р н и к о в, а Л. Г. Экспериментальное исследование теплопередачи на сферах и тонких конусах в гиперзвуковом потоке разреженного газа. «Ученые записки ЦАГИ», т. 1, № 1, 1970
21. Черчиньяни К. Математические методы в кинетической теории газов. М., «Мир», 1973.
22. К о г, а н М. Н. Динамика разреженного газа. М., «Наука»,
1967.
23. Авдеева В. X. Экспериментальное исследование теплообмена шара и пластины в сверхзвуковом потоке разреженного газа. «Изв. АН СССР. МЖГ», 1970, № 2.
24. И в, а н о в М. Я., К р, а й к о А. Н., Михайлов В. Н. Метод сквозного счета для двумерных и пространственных сверхзвуковых течений, 1. «Журн. вычисл. матем. и матем. физ. «, т. 12. № 2,
1972.
25. Б л, а г о с к л о н о в В. И., И в, а н о в М. Я. Алгоритм и программа расчета двумерных сверхзвуковых течений идеального газа. Труды ЦАГИ, вып. 1660, 1975.
Рукопись поступила 301П 1976

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой