Умение работать со структурой математических утверждений как логическая основа методической деятельности современного учителя математики

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Народное образование. Педагогика


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

УМЕНИЕ РАБОТАТЬ СО СТРУКТУРОЙ МАТЕМАТИЧЕСКИХ УТВЕРЖДЕНИЙ КАК ЛОГИЧЕСКАЯ ОСНОВА МЕТОДИЧЕСКОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ СОВРЕМЕННОГО УЧИТЕЛЯ МАТЕМАТИКИ
© Маслова О. А. *
Волгоградский государственный социально-педагогический университет,
г. Волгоград
В данной работе доказана важность формирования у будущих учителей математики умения работать со структурой математических утверждений. Приведены некоторые элементы методики формирования указанного умения на занятиях по математической логике, в частности показатели, критерии и уровни его сформированности. Выделены этапы работы со структурой математических утверждений, сформулировано определение умения работать со структурой математических утверждений.
Ключевые слова умение работать со структурой математических утверждений, структура, этапы, критерии, математическая логика, методика, показатели, уровни.
В работах [6- 8] нами была уже озвучена проблема модернизации подготовки будущих учителей математики как «ключевых участников» математического образовательного процесса посредством формирования их профессиональной компетентности в процессе изучения дисциплин математического цикла. Также нами было предложено решение более узкой проблемы в рамках обозначенной, а именно проецирование процесса работы учителя математики над математическими утверждениями на процесс изучения предметного содержания курса математической логики. Результатом наших исследований является методика формирования у будущих учителей математики умения работать со структурой математических утверждений на занятиях по математической логике.
В учебном пособии [9] среди всего многообразия целей преподавания математики в школе выделена общеобразовательная цель — формирование у учащихся системы научных знаний в области математики. Под системой научных знаний в области математики (научной теорией) будем понимать — логически организованное множество высказываний о некотором классе идеальных объектов, их свойствах и отношениях. В свою очередь, под высказыванием грамматически правильное предложение, взятое вместе с выражаемым им смыслом (содержанием) и являющееся истинным или ложным [4].
* Старший преподаватель кафедры Алгебры и геометрии факультета математики, информатики и физики.
Усвоение математических знаний невозможно без целенаправленного развития мышления. С точки зрения формальной логики мышление характеризуется тремя основными формами:
— понятиями, характеризующими некоторую смысловую договоренность-
— суждениями, которые содержат утверждения, возможно нуждающимися в обосновании и являются продуктом мышления-
— умозаключениями, смысл построения которых заключается является в построении вывода из некоторых условий.
В работе [1] отмечено, что определения математических понятий содержат лишь логически независимые свойства понятия. Остальные свойства логически зависимы от основного содержания и приводятся учащимся в виде математических предложений — теорем, которые в том числе выражают отношения между понятиями. Таким образом, теоремы пронизывают все разделы математики, делают ее единой наукой. Поэтому обучение (изучение) математическим утверждениям (определений понятий и теорем) является одной из главных задач методики преподавания математики.
Успешность процесса формирования у обучаемых системы научных знаний в соответствующей научной области, в первую очередь, зависит от умения учителя организовать работу по изучению понятий и их определений, поскольку каждая теория начинается с формирования научных понятий, выделения их свойств и установления отношений между понятиями.
В свою очередь, организации этого сложного процесса зависит от результатов работы учителя над математическим утверждением на профессиональном этапе, включающей логико-математический анализ этого утверждения (понятия, теоремы), подбор или конструирование задач, необходимых для его изучения учащимися, прогнозирование ошибок учащихся. Таким образом, на профессиональном этапе работы с математическим утверждением, учитель, прежде всего, должен уметь работать с его структурой.
Уровень сформированности методических умений в значительной степени определяет успешность процесса формирования у обучаемых системы научных знаний в соответствующей научной области, в частности в математике. Поэтому умение работать со структурой математических утверждений составляют логическую основу методической деятельности современного учителя математики.
В ходе нашего исследования под умением будем понимать освоенный способ выполнения действия, обеспечиваемый совокупностью приобретенных знаний и навыков. Данное определение" наиболее близко отражает тематику наших исследований, поскольку, с одной стороны, позволяет определить структуру умений, их операционный состав, наметить путь формирования с помощью упражнений, с другой — позволяет выбирать способ выполнения действия, адекватный для себя, в соответствии с предлагаемыми условиями, со своими способностями и имеющимися знаниями и навыками.
Исходя из анализа трактовок понятия «методическое умение» в работах [3- 7- 13- 14] и контекста нашего исследования под методическим умением будем понимать освоенные способы выполнения действия учителя математики, обеспечивающие обучение и развитие учащихся.
Для того, чтобы осуществить проецирование процесса формирования умения работать со структурой математических утверждений на процесс специальной подготовки на занятиях по математической логике, необходимо рассмотреть действия учителя математики, обеспечивающие формирование системы научных знаний у учащихся, а именно рассмотрим различные подходы к проблеме выделения этапов работы по введению нового математического утверждения.
Согласно позиции Н. Л. Стефановой, Н. С. Подходовой в пособии [12], методика работы с математическим утверждением включает четыре этапа:
— профессиональный (выполнение логико-математического анализа, который позволит на уроке дать определение в алгоритмизированном виде и отобрать знания, которые необходимо актуализировать) —
— подготовительный (актуализация необходимых знаний, связь с субъектным опытом ребенка, мотивация) —
— основной (обучающий) —
— этап закрепления (применения введенного теоретического материала при решении типовых задач).
Последние три этапа реализуются при работе с учащимися в классе.
В учебном пособии Н. М. Рогановского [10] предлагаются различные методики введения понятий:
Схема конкретно-индуктивного метода:
1. анализ эмпирического материала с точки зрения определенной цели с использованием индукции и других логических методов (сравнение, абстрагирование, обобщение) —
2. выяснение общих признаков понятия в соответствии с поставленной целью-
3. формулирование определения — что означает достижение поставленной цели-
4. закрепление определений путем приведения примеров и контрпримеров-
5. дальнейшее усвоение понятия и его определения, которое осуществляется в процессе их применения.
Схема применения абстрактно-дедуктивного метода:
1. формулирование определения понятия-
2. приведение примеров и контрпримеров-
3. дальнейшее усвоение понятия и его определения, которое осуществляется в процессе их применения.
Автор указывает, что методика ознакомления с теоремами во многом аналогична методике ознакомления с понятиями и их определениями.
Существуют и другие подходы к рассмотрению этой проблемы, например, в учебных пособиях Л. В. Виноградова [2], Г. И. Саранцева [11] и пр.
Отметим, что рассмотренные подходы, по сути, во многом схожи. Детальное изучение этих подходов, с последующим анализом достоинств и недостатков в рамках текущего исследования, позволило выделить три этапа работы над математическими утверждениями.
Первый этап: подготовительный анализ структуры математического утверждения (определения, теоремы). На данном этапе учитель математики самостоятельно анализирует структуру математического утверждения. Для этого он должен использовать целый ряд профессиональных умений. В случае определений к ним относятся:
— умение выполнять логико-математический анализ структуры определения, который осуществляется через фиксацию рода, существенных свойств, целостной системы существенных свойств понятия, связи (конъюнктивной, дизъюнктивной или импликативной) существенных свойств-
— умение делать запись определения математического понятия на языке математической логики-
— умение преобразовывать логическую структуру определения математического понятия с целью перевода его в импликативную форму-
— умение построения отрицания определения математического понятия-
— умение выполнять проверку определения математического понятия на соответствие требованиям корректности к нему.
В случае теорем выделим следующие умения:
— умение выполнять логический анализ формулировки теоремы-
— умение записывать формулировку теоремы на языке математической логики-
— умение преобразовывать логическую структуру формулировки теоремы, в том числе, с целью перевода в импликативную форму-
— умение проверять формулировку теоремы на соответствие требованиям корректности к ней-
— умение выделять необходимые и достаточные условия теоремы-
— умение формулировать утверждения: обратное, противоположное и обратное противоположному (определять их истинностное значение).
На втором этапе создания проекта урока по введению новой порции учебного материала (понятия, теоремы) основным является процесс отбора и конструирования систем задач для изучения математического утверждения. Выделим основные умения, которыми должен обладать учитель математики на этом этапе.
К организации процесса формирования понятия относится умение конструировать задачи: на варьирование несущественных и выделение существенных свойств понятия, на синтез выделенных существенных свойств и фор-
мулировку определения понятия, на отработку понимания учащимися каждого слова в определении понятия и уяснения связи между ними, на выделение ближайшего рода и видового отличия, на математическую запись определения, на усвоение логической структуры определения понятия, на сопоставление понятий, на классификацию и т. д.
К организации процесса изучения теоремы относится умение конструировать задачи: на проведение работы по открытию факта, о котором идет речь в теореме, на уяснение формулировки теоремы, на уяснение содержания теоремы, на применение теоремы и пр.
К организации обоих указанных процессов отнесем умение прогнозировать «логические» ошибки учащихся с последующим построением контрпримеров для их выявления.
Третий этап реализации проекта урока предполагает апробацию сконструированных систем задач, получение опыта реагирования на ошибки учащихся. Последнее, к примеру, можно реализовать, предложив двум студентам задания по одной теме школьного курса математики. Один из них должен будет спрогнозировать возможные ошибки учащихся при изучении данного математического утверждения, а другой — «реагировать» на них, посредством приведения контрпримеров.
Исходя из анализа процесса работы учителя по изучению учащимися нового математического утверждения, в частности, работы учителя непосредственно над структурой утверждения, сформулируем определение ключевого понятия текущего исследования.
Под умением работать со структурой математических утверждений будем понимать методическое умение учителя математики, обеспечивающее анализ его структуры, конструирование систем задач для каждого этапа изучения математического утверждения, прогнозирования и предупреждения ошибок учащихся.
Теперь опишем структурные характеристики данного умения.
Во-первых, представим структуру умения работать со структурой математических утверждений знаниевым и операционным компонентами (табл. 1). Первый компонент включает знания, обеспечивающие
— логический анализ структуры математического утверждения (предметные знания по математической логике) —
— конструирование систем задач для каждого этапа изучения математического утверждения, прогнозирования и предупреждения ошибок учащихся.
Второй компонент представлен группами умений, относящихся к различным этапам работы над математическим утверждением и отвечает за высокий уровень их сформированности, тем самым обеспечивая эффективность применения умения работать со структурой математических утверждений в ходе профессиональной деятельности.
Таблица 1
Структура умения работать со структурой математических утверждений
Знаниевый компонент Операционный компонент
Знания, обеспечивающие логический анализ структуры математического утверждения Включает знания следующих понятий: — элементарные высказывания, предикаты- - истинностное значение высказывания- - логические операции над высказываниями- - область истинности предиката- - логические и кванторные операций над предикатами- - равносильные предикаты- - равносильные формулы алгебры высказываний и логики предикатов- - тождественно истинная / ложная и выполнимая формулы алгебры высказываний и логики предикатов- - логическое следование предикатов- - логическое следование формул алгебры высказываний и логики предикатов- - утверждения: обратное, противоположное и обратное противоположное- - необходимые и достаточные условия в утверждении- - предваренная нормальная форма формулы логики предикатов- - запись утверждения на языке математической логики- - логическое упражнение- Включает следующие умения: (1) умение выполнять логический анализ структуры математического утверждения- (2) умение делать запись математического утверждения на языке математической логики- (3) умение преобразовывать логическую структуру математического утверждения, в том числе с целью перевода его в имп-ликативную форму- (4) умение выполнять проверку формулировки математического утверждения на соответствие требованиям корректности к нему- (5) умение выделять необходимые и достаточные условия теоремы- (6) умение строить отрицание определения математического понятия- (7) умение формулировать утверждения: обратное, противоположное и обратное противоположному (определять их истинностное значение) —
Знания, обеспечивающие конструирование систем задач для каждого этапа изучения математического утверждения, прогнозирования и предупреждения ошибок учащихся Включает знания о — системах задач и методах их конструирования- - основных методах изучения нового математического утверждения- - необходимости прогнозирования и предупреждения ошибок учащихся в процессе изучения нового математического утверждения- - субъективном опыте учащихся- - возрастных психологических особенностях учащихся при (с целью выбора эффективного для определенного возраста учащихся метода изучения нового математического утверждения). (8) умение конструировать задачи: на варьирование несущественных и выделение существенных свойств понятия, на синтез выделенных существенных свойств и формулировку определения понятия, на отработку понимания учащимися каждого слова в определении понятия и уяснения связи между ними, на выделение ближайшего рода и видового отличия, на математическую запись определения, на усвоение логической структуры определения понятия, на сопоставление понятий, на классификацию и пр.- (9) умение конструировать задачи: на проведение работы по открытию факта, о котором идет речь в теореме, на уяснение формулировки теоремы, на уяснение содержания теоремы, на применение теоремы и пр.- (10) умение прогнозировать и предупреждать «логические» ошибки учащихся- (11) умение реагировать на ошибки учащихся.
Как отмечает Г. И. Ковалева [5], процесс формирования умения работать со структурой математических утверждений имеет свою логику, этапы и уровни. В связи с этим необходимо иметь четкие представления об уровнях сфор-мированности данного умения.
Под уровнем сформированное™ какого-либо умения будем понимать количественный и качественный состав и характер взаимодействия основных сформированных показателей, достаточно устойчивых и типичных для данного умения.
Для выявления сформированности показателей необходимо выделить критерии (от греч. кйепоп — средство для суждения) — признак, на основании которого производится оценка, определение ли классификация чего-либо.
Выделение структурных компонентов умения конструировать систем задач дало возможность оценить его с помощью показателей (табл. 2).
Таблица 2
Показатели и критерии умения конструировать системы задач
Компонент Показатели Критерии
Знаниевый рь Совокупность выделенных в таблице 1 знаний, обеспечивающих логический анализ структуры математического утверждения р3: Совокупность выделенных в таблице 1 знаний, обеспечивающих конструирование систем задач для каждого этапа изучения математического утверждения, прогнозирования и предупреждения ошибок учащихся Полнота знаний
Операционный р2: Совокупность выделенных в таблице 1 умений (1)-(7) р4: Совокупность выделенных в таблице 1 умений (8)-(11) Сформированность умений
Данные показатели служат исходным моментом для определения уровней сформированности у студентов умения работать со структурой математических утверждений.
Чисто математически задача определения уровней решается очень просто (табл. 3).
Таблица 3
Уровни Количество сформированных показателей Возможные варианты комбинаций показателей
Исходный Ни одного (А, Рг-Рз- Ра)
Первый Один (А, Рг-Рз& gt- Ра) — (А, Рг-Рз-Ра) — (А& gt- Рг-Рз-Ра) — (А& gt- Рг-Рз-Ра)
Второй Два (А, Рг-Рз& gt- Ра) — (А-Рг-Рз-Ра) — (А& gt- Рг-Рз-Ра) — (А-рг-рз-ра) — (А-Рг-Рз-Ра) — (А-Рг-Рз-Ра)
Третий Три (А-Рг-Рз-Ра) — (А-Рг-Рз-Ра) — (А-Рг-Рз-Ра) — (А-Рг-Рз-Ра)
Четвертый Все (А-рг-рз-ра)
В табл. 3 запись р означает, что показатель с номером /'- не сформирован. Комбинации (д, д, д, рА) быть не может, так как элементы математической логики студенты изучают на первом курсе в ходе освоения дисциплины «Вводный курс математики».
Среди рассматриваемых показателей существуют следующие зависимости: р необходим (не недостаточен) для р2, а р2 и р3 необходимы для р4. Тогда все комбинации, в которых р1 & amp- р2, р2 & amp- р4, р & amp- р невозможных. Поэтому комбинации (р, р2, рг, р4), р2, рз, р4), (рр2,р4), р2, рз, р4),
Орр2. рз. р4). р рг, рз& gt- р4). Ор р2& gt- рз& gt- Р4). р2& gt- РЗ& gt- РЛ С^ р2= РЗ = Р4) можно отбросить. Тогда уровни определяются следующим набором показателей (табл. 4):
Таблица 4
Уровни умения работать со структурой математических утверждений
Уровни Возможные варианты комбинаций показателей
Первый (А, р2, р" р& amp-) — (А, Р^ р3, Р*)
Второй (р^ Р2, Pз, Р*) — (Р^ Р2, Pз, Р4)
Третий (A, Р^ Pз, р4)
Четвертый (р^ Pv р^ Р*)
Отметим, что несформированность показателей p2 и p4 может определятся недостаточной освоенностью способов выполнения отдельных действии учителя в процессах подготовки к введению и изучения учащимися нового математического утверждения. Это может проявляться в низком темпе работы, ошибках при выполнении тех или иных действий, отсутствии реагирования на ошибки учащихся при формулировании «нового» математического утверждения самостоятельно и пр. В свою очередь, несформированность показателей p1 и p3 определяется отсутствием тех или иных знаний, ошибочном представлении о некотором понятии.
Список литературы:
1. Виленкин Н. Я., Абайдулин С. К., Таварткиладзе Р. К. Определения в школьном курсе математики и методика работы над ними // Математика в школе. — 1984. — № 4. — С. 43−47.
2. Виноградова Л. В. Методика преподавания математики в средней школе: учеб. пособие для студ-тов вузов / Л.В. Виноградова- Ростов н/Д: Феникс, 2005. — 252 с.: ил.
3. Горлова С. Н. Формирование методических умений будущего учителя математики в процессе изучения курса алгебры педвуза: дисс. … к-та пед. наук. — Нижневартовск, 2003. — 181 с.
4. Ивин А. А. Логика: учеб. пособие для студентов вузов / А. А. Ивин. -М.: ООО «Издательство Оникс" — ООО «Издательство «Мир и Образование», 2008. — 336 с.
5. Ковалева Г. И. Методическая система обучения будущих учителей математики конструированию систем задач: дисс. … д-ра пед. наук. — Волгоград, 2012. — 356 с.
6. Ковалева Г. И., Маслова О. А. Системы задач как средство формирования умений работать с теоремами у бакалавров педагогического образования по профилю «Математика» на занятиях по математической логике [Электронный ресурс] // Современные проблемы науки и образования. — 2013. -№ 6. — Режим доступа: www. science-education. ru/113−11 692.
7. Кудайкулов М. А. Дидактические проблемы формирования основ профессионально-методических умений у будущего учителя: автореф. дисс. … канд. пед. наук. — Киев: КГУ 1977. — 18 с.
8. Маслова О. А. Формирование у будущих учителей математики умения работать с математическими утверждениями при изучении математической логики // Известия Волгоградского государственного технического университета: межвуз. сб. науч. т. № 5(132) / ВолГТУ — Волгоград, 2014. — С. 97 100. — (Серия «Проблемы социально-гуманитарного знания». Вып. 16).
9. Основы философии науки: учеб. пособие для вузов / Под ред. проф. С. А. Лебедева. — М.: Академический Проект, 2005. — 544 с. — («Gaudeamus»).
10. Рогановский Н. М. Методика преподавания в средней школе: учеб. пособие: в 2 ч. / Н. М. Рогановский, Е. Н. Рогановская. — Могилев: УО «МГУ им. А.А. Кулешова», 2010. — Ч. 1: Общие основы методики преподавания математики (общая методика). — 312 с.: ил.
11. Саранцев Г. И. Методика обучения математике в средней школе: учеб. пособие для студентов мат. спец. пед. вузов и ун-тов / Г. И. Саранцев. — М.: Просвещение, 2002. — 224 с.
12. Стефанова Н. Л. Методика и технология обучения математике. Курс лекций / Н. Л Стефанова, Н. С. Подходова. — М.: Изд-во «Дрофа», 2005. — 416 с.
13. Ткаченко К. И. Теоретические основы формирования методических умений студентов в ходе обучения элементарной математике в педвузе: дисс. … канд. пед. наук. — М., 2000. — 169 c.
14. Чикунова О. И. Формирование методических умений будущих учителей в процессе работы над задачей в курсах математических дисциплин педвуза: дисс. … канд. пед. наук. — Екатеринбург, 1998. — 164 с.

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой