О решении задачи Коши для линейного дифференциального уравнения второго порядка в банаховом пространстве в терминах косинус и синус оператор-функций

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Строительство. Архитектура


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

УДК 517. 937
О РЕШЕНИИ ЗАДАЧИ КОШИ ДЛЯ ЛИНЕЙНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА В БАНАХОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ В ТЕРМИНАХ КОСИНУС И СИНУС ОПЕРАТОР-ФУНКЦИЙ
© В.И. Фомин
Ключевые слова: банахово пространство- задача Коши- операторный дискриминант- полугруппа- линейный оператор.
Получено решение задачи Коши для линейного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными неограниченными операторными коэффициентами в банаховом пространстве в терминах косинус и синус оператор-функции.
В банаховом пространстве Е изучается задача Коши
и" (г) + Бы'-(г) + Си (г) = /(г), 0 & lt- г & lt-", и (0) = и0, и& quot- (0) = и'-0 ,
(1)
(2)
где Б, С Є Щ (И) — Щ (И) — множество замкнутых неограниченных линейных операторов, действующих из Е в Е, с плотными в Е областями определения- /(г) Є С ([0,"0- И).
Пусть
1) БСх = СБх, х Є Д (БС) I Д (СБ) —
2) оператор Б1 = (-½)Б является генератором полугруппы и (1) класса С0 и
СП (г)х = и (г)Сх, х Є ДБ2) I Д (С) —
(3)
3) операторный дискриминант Q = Б2 — С с оператором Б1, удовлетворяющим условию 2), является производящим оператором сильно непрерывной косинус оператор-функции С (г) и
БС (г)х = С (г)Бх, х Є Д (Б), С (г)и (г)х = и (г)С (г)х, х є ДБ), Б (г)и (г)х = и (г)Б (г)х, х Є Д (Б),
(4)
(5)
(6)
где Б (г) — синус оператор-функция, ассоциирования с
С (г):
Б (г)х =
} С (т)
хйт
х Є И-
(7)
4) /(г) Є Д^) = ДБ2) I Д© при каждом г Є Є [0, «) и
Б/(г) Є С ([0, «) — И), Б2/(г) Є С ([0, «) — И), С/(г) Є С ([0, «) — И) —
(8)
(9)
(10)
5) ы0 Є Д0, где Де = {х Є Д (Б3) П Д (БС) П
ГІД СВ) | Сх Є Еі}, Еі= {х Є Е | С (Г)т Є С'(М^)}- ы'-0 Є Дь где Д! = {х Є Д (Б2) П Д© | Бх Є И!}.
Теорема. При выполнении условий 1) — 5) задача (1), (2) имеет дважды непрерывно дифференцируемое решение вида
и (г) = и (г)[С (г)и0 + Б (г)(и'-0 — Б^о)] + г
¦ ^ Б (г — г) П (г — т) / (т)Л
(11)
Чтобы не обременять доказательство теоремы вспомогательными деталями, сделаем предварительно несколько замечаний, которые понадобятся нам в дальнейшем.
Справедливы включения
Д0 С Д С Д^) С И1.
(12)
Действительно, известно [1], что ДО) = Е2, где Е2 = = {.г? Е | С (Г)т? С2(й^?)}- а Д С Д следовательно,. 0(2) ^ Е1. Включение Д1 ^ Д (2) очевидно, ибо Д = {х? Д (2) | Вх? Е^. Покажем, что Д0 ^ Д1. Пусть х? Д0, тогда х? Д (В2) и х? Д©, следовательно, х? Д (В2) I Д© = Д (2) — кроме того, Вх? ? Д (В2) и Вх? Д©, следовательно, Вх? Д (2), а значит Вх? Е1 в силу уже доказанного включения Д (2) ^ Е1. Получили: х? Д (2) и Вх? Е1, следовательно, х? Д1.
В силу условий 2), 3) и формулы (7)
и (0) = I, С (0) = I, Б (0) = О,
(13)
где I и О — соответственно единичный и нулевой операторы.
Из условия 2) следует [2]:
и (г)х Є Д (Б), V х Є Д (Б), г Є [0, «) —
(14)
U '-(t)x = ВЩ (і)х, х Є О (В) — В1и (ґ)х = U (t)B1x, х Є О (В),
(15)
(16)
ибо О (Б0 = О (Б).
В силу теоремы о производной от интеграла по переменному верхнему пределу [3] из формулы (7) следует соотношение
S '-(ґ)х = С (ґ)х, х Є Е.
В силу условия 3) имеем [2]:
(17)
Б (г)х Є 0(2), V х ЄЕ, t Є [0, да) — (18)
С '-^)х = QS (t)x, х ЄЕ1- (19)
С (ґ)х Є 0(2), V х Є 0(2), t Є [0, да) — (20)
2С (^х = С (02х, х Є 0(2) — (21)
S (t)x Є 0(2), V х Є 0(2), t Є [0, да) — (22)
QS (t)x = S (t)2x, х Є 0(2). (23)
Из (4) следует, что BS (t)x = S (t)Bx, х Є О (В).
(24)
Действительно, используя формулу (7), замкнутость оператора В и равенство (4), получаем при каждом х Є О (В):
Б^ (0 х = Б | С (т) хйт = | БС (т) хйт =
0 0 Г ¦
= | С (т) Бхйт = ^ (Г)Бх
0
Из (4), (21) следует соотношение
СС (Г)х = С (Г)Сх, х е 0(2). (25)
Действительно, пусть х е 0(2). Тогда х е О (Б), Бх е О (Б) и в силу (20) С (Г)х е 0(2) при каждом Г е [0, да), следовательно, С (Г)х е 0(Б2), Г е [0, да). Применяя (4), получаем:
Б2С (Г)х = Б[БС (Г)х] = Б[С (Г)Бх] = [БС (Г)]Бх =
= [С (Г)Б]Бх = С (Г)Б2х,
следовательно,
Б^2С (Г)х = С (Г) Б^х. (26)
В силу (21) Б12С (Г)х — СС (Г)х = С (Г) Б/х — С (Г)Сх, откуда следует в силу (26) соотношение (25).
Аналогично, из (23), (24) следует соотношение
CS (t)x = S (t)Cx, х Є 0(2).
(27)
Пусть Ф = Ф ([0, да) — Д (Е)) — множество оператор-функций А (Г) действительного переменного Г е [0, да) со значениями в ДО), где Ь (Е) — пространство ограниченных линейных операторов, действующих из Е в Е. Рассмотрим семейство сильно непрерывных по Г е [0, да) на пространстве Е оператор-функций А (Г):
ФЕ0 = {А (Г) е Ф | А (Г)х е С ([0, да) — Е) при каждом х е Е}
и семейство сильно непрерывно дифференцируемых по Г е [0, да) на множестве П ^ Е оператор-функций А (Г):
Фп1 = { А (Г) е Ф | А (Г)х е С'([0, да) — Е) при каждом х е П }.
По условию 2) Є ФЕ°
(28)
По условию 3) оператор-функция С (Г) сильно непрерывна по Г е Я на Е, следовательно,
С (Г) е Фе0. (29)
В силу (7), (29)
5(Г) е Фе0. (30)
В силу (15), (16), (28)
и (Г) е Ф1о (е) — (31)
Из определения множества Е1 следует, что
С (Г) е Ф1Е1. (32)
В силу (17), (29)
Б (Г) е Фе1. (33)
Замечание 1. Если А (Г) е ФЕ0, g (Г) е С ([0, да) — Е), то А (Г^(Г) е С ([0, да) — Е) [4].
Замечание 2. Из замечания 1 следует: если А1(Г), А2(Г) е ФЕ0, то А1(Г)А2(Г) е ФЕ0.
В силу (28) — (30) и замечания 2
С (0Щ (0 Є Фе0, S (t)U (t) Є Фе0, U (t)C (t) Є Фе0, Щ (Щ1) Є Фе0.
(34)
(35)
(36)
(37)
Замечание 3. Если Л (^ Є Фп*, g (t) Є С*([0, да) — Е) и g (t) Є А при каждом t Є [0, да), то Л (^(^ Є Є С1([0, да) — Е) и справедлива формула [3]
[лшог=л'-(ґ)8(ґ)+л (і)^(і).
(38)
В дальнейшем понадобится также частный случай формулы дифференцирования интеграла по параметру:
Р (п)
g (т, п) Л
Р (п)
І [?(т п)] П *+Р'-(п).? ОХпХ п). (39)
Доказательство теоремы. В силу (13) функции (11) удовлетворяют начальному условию и (0) = и0. Покажем, что эта функция удовлетворяет начальному
условию «'-(0) = «'-о и уравнению (1), которое можно записать в виде
«& quot-(Г) — 2Б 1"'-(Г) + С"(Г) = /(Г), 0 & lt- Г & lt- да Запишем (11) в виде «(Г) = и (Г& gt-0(Г) + МГ), где ^(Г) = С (Г)"0 + Б (Г)(«0'- - Б1"0),
и '-(Г)^0(Г) = ЩГБ^Г).
(51)
(40)
I
, (Г) = |Б (/ - т) и (Г — т)/(т)^т.
Тогда «'-(Г) = [и (Г& gt-0(Г)]'- + Д (Г)
(41)
при условии, что слагаемые в правой части (40) дифференцируемы. В силу (31) и замечания 3, если
^(Г) е С1([0, да) — Е), (42)
м’о (Г) е О (Б), Г е [0, да), (43)
то и (Г)^0(Г) е С1([0, да) — Е) и по формуле (38)
[и (Г)^(Г)]'- = и '-(Г)^(Г) + и (Г)^'-(Г). (44)
Покажем справедливость включений (42), (43).
В силу (12) и условия 5)
«0 е Е1,
(45)
следовательно, в силу (32) С (Г)"0 е С1([0, да) — Е).
В силу (33) Б (Г)(«0'- - Б1"0) е С1([0, да) — Е). Из последних двух включений следует (42). В силу (12) и условия 5)
«0 е 0(2),
следовательно, в силу (20) С (г)"0 е 0(2), г е [0, да). В силу (12) и условия 5)
«0 е °(2Х
следовательно, в силу (22) БУМ е 0(2), Г е [0, да).
(46)
(47)
(48)
(49)
В силу условия 5) Б"0 е 0(Б2) и Б"0 е 0©, следовательно, Б"0 е 0(2). Тогда Б1"0 е 0(2) и в силу (22)
Б (Г)Б1"0 е 0(2), Г е [0, да).
(50)
В силу (47), (49), (50) справедливо включение м’о (Г) е 0(2), Г е [0, да), откуда следует (43). Итак, в силу (42), (43) справедлива формула (44). В силу (15), (16), (43)
В силу (19), (45) С '-(Г)"0 = 2Б (Г)"0. В силу (23), (46) 2Б (Г)"0 = Б (Г)2"0. Получили:
С '-(Г)"0 = Б (Г)2"0.
В силу (17)
Б '-(Г)(«0'- - Б1"0) = С (Г)(«0'- - Б1"0).
В силу (52), (53) мъ'-(Г) = Б (Г)2"0 + С (Г)(«0'- - Б1"0). В силу (44), (51), (54)
(52)
(53)
(54)
[и (Г& gt-0(Г)]'- = и (Г)[Б1С (Г)"0 + Б1Б (Г)(«0'- - Б1"0)] +
+ и (Г)[Б (Г)2"0 + С (Г)(«0'- - Б1"0)]. (55)
В силу условия 5) «0 е 0(Б), следовательно, в силу (4) Б1С (Г)"0 = С (Г)Б1"0. (56)
В силу условия 5) «0'- - Б1"0 е 0(Б), следовательно, в силу (24)
Б1Б (Г)(«0'- - Б1"0) = Б (Г)(Б1"0'- - Б12"0).
(57)
В силу (56), (57) формулу (55) можно записать в виде
[и (Г& gt-0(Г)]'- = и (Г)[С (Г)Б1"0 + Б (Г)(Б1"0'- - Б12"0)] +
+ и (Г)[С (Г)(«0'- - Б1"0) + Б (Г)(Б12"0 — С"0)]
или, после приведения подобных членов,
[и (Г)^(Г)]'- = и (Г)[С (Г)"0'- + Б (Г)(Б1"0'- - С"0)]. (58)
Найдем /0'-(Г). В силу непрерывности функции /(т), включения (35) и замечания 1 подынтегральная функция g0(т, Г) = Б (Г — т) и (Г — т)/(т) непрерывна по т и Г. В силу условия 4)
/(т) е 0(Б), т е [0, да),
(59)
следовательно, в силу (31), (33), (38) ^0(& quot-Г, Г)]Г'- = = Б'-(г — т) и (г — т)/(т) + Б (г — т) иг — т)/(т), или в силу (15) — (17) ^0(т, Г)]Г = С (Г — т) и (Г -- т)/(т) + Б (Г — т) и (Г — т) Б1/(т), из чего видно в силу (8), (34), (35) и замечания 1, что производная [& amp-)(т, Г)]Г'- непрерывна по т и Г, следовательно, можно применить формулу (39):
I
ют = /+
С (Г — т) и (Г — т) / (т)й?т +
г
^ Б (Г — т) и (Г — т) Б1 / (т)Л: —
(60)
+Б (0)и (0) / (Г). В силу (13)
Б (0)и (0)/(Г) = 0. (61)
В силу (41), (58), (60), (61)
«'- (Г) = и (Г)[С (Г)"0 + Б (Г)(Б1"0 — С"0)] +
Г Г
+1Б (Г — т) и (Г — т) Б1 / (т)й?т +| С (Г — т) и (Г — т) / (т)Л.
В силу (13) «'-(0) = «0, т. е. функция (11) удовлетворяет второму начальному условию. Запишем «'-(Г) в виде
«'-(г) = и (гу*1(г) + ш + /2(г), где ^1(Г) = С (Г)"0'- + Б (Г)(Б1"0'- - С"0),
(62)
(Г) = | Б (Г — т) и (Г — т) Б/ (т)А, /2 (Г):
0
^ С (Г — т) и (Г — т) / (т)Л.
Тогда
«& quot-(Г) = [и (Г)^1(Г)]'- + Д (Г) + /2'-(Г)
(63)
при условии, что слагаемые в правой части (62) дифференцируемы. В силу (31) и замечания 3, если
(64)
(65)
(66)
^(Г) е С1([0, да)-Е),
^(г) е 0(Б), г е [0, да),
то и (Г)^(Г) е С1([0, да)-Е) и
[и (Г)^(Г)]'- = и'-(Г)^1(Г) + и (Г)^1'-(Г).
Покажем справедливость включений (64), (65).
В силу (12) и условия 5)
«0 е Е1, (67)
следовательно, в силу (32) С (Г)"0'- е С1([0, да)-Е).
В силу (33) Б (Г)(Б1"0'- - С"0) е С'([0, да)-Е). Из последних двух включений следует (64). В силу (20), (48)
С (г)"0'- е 0(2), Г е [0, да). (68)
В силу условия 5)
Б1"0'- е Е1, (69)
следовательно, в силу (18)
Б (Г)Б1"0'- е 0(2), Г е [0, да). (70)
В силу условия 5) С"0 е Е1, следовательно, в силу (18) Б (Г)С"0 е 0(2), Г е [0, да). (71)
В силу (68), (70), (71) ^(Г) е 0(2), Г е [0, да), откуда следует (65). Итак, в силу (64), (65) имеет место формула (66). В силу (15), (65)
и'-(г)^(г) = Би (г1(г).
В силу (19), (67)
С '-(Г)"0'- = 2Б (Г)"0'-.
В силу (17)
Б ,(Г)(Б1"0'- - С"0) = С (Г)(Б1"0'- - С"0).
В силу (73), (74)
^'-(Г) = 2Б (Г)"0 + С (Г)(Б1"0 — С"0).
В силу (66), (72), (75)
(72)
(73)
(74)
(75)
[и (Г& gt-1(Г)] '- = Б1и (Г)[С (Г» + Б (Г)(Б1"0'- - С"0)] +
+ и (Г)[Б12Б (Г)"0'- - СБ (Г)"0 + С (Г)(Б1"0'- - С"0)]. (76)
Запишем правую часть (76) в форме, которая нам потребуется в дальнейшем. В силу условия 5)
«0'- е 0(Б),
следовательно, в силу (4) С (Г)Б1"0 = Б1С (Г)"0'-.
(77)
(78)
В силу (68) С ()"0'- е 0(Б), е [0, да), следова-
тельно, в силу (16)
и (Г)Б1С (Г)"0'- = Б1и (Г)С (Г)"0'-.
В силу (78), (79) и (Г)С (Г)Б1"0 = Б1и (Г)С (Г)"0'-.
В силу (24), (77) Б1Б (Г)"0'- = Б (Г)Б1"0'-.
(79)
(80)
(81)
В силу (18), (69) Б ()Б1"0'- е 0(2), е [0, да), следовательно, Б (Г)Б1"0'- е 0(Б) и в силу (16)
и (Г)Б1Б (Г)Б1"0'- = Б1и (Г)Б (Г)Б1"0'-.
В силу (81), (82) и (Г)Б12Б (Г)"0'- = Б1ЩЩГ) Б1"0'-.
В силу (25), (46)
С (Г)С"0 = СС (Г)"0.
В силу (3), (47) и (г)СС (г)"0 = Си (г)С (г)"0.
В силу (84), (85)
(82)
(83)
(84)
и (Г)С (Г)С"0 = Си (Г)С (Г)"0.
В силу (3), (49) и (Г)СБ (Г)"0'- - Си (Г)Б (Г)"0'-.
В силу (71)
Б (Г)С"0 е 0(Б), Г е [0, да), следовательно, в силу (14) и (Г)Б (Г)С"0 е 0(Б), Г е [0, да).
(86)
(87)
(88)
(89)
Припишем в первых квадратных скобках в правой части (76) выражение Б (Г)(-С"0) + Б (Г)С"0 (это можно сделать в силу (89)). Покажем, что
Б1и (Г)Б (Г)С"0 — Си (Г)Б (Г)Б1"0.
В силу (16), (88) Б1и (Г)Б (Г)С"0 — и (Г)Б1Б (Г)С"0.
(90)
(91)
В силу условия 5) С"0 е 0(Б), следовательно, в силу (24)
Б1Б (Г)С"0 = Б (Г)Б1С"0.
В силу условий 1), 5) БС"0 — СБ1"0.
(92)
(93)
В силу условий 5) Б1"0 е 0(2), следовательно, в силу (27)
Б (Г)СБ1"0 — СБ (Г)Б1"0.
В силу (3), (50) и (Г)СБ (Г)Б1"0 — CU (Г)S (Г)B1"0¦
(94)
(95)
Из (91)-(95) следует (90). В силу (80), (83), (86), (87), (90) соотношение (76) с учетом добавленных слагаемых Б (Г)(-С"0) и Б (Г)С"0 можно записать в виде
[и (Г)^(Г)]'- - 2Б1и (Г)[С (Г)"0'- + Б (Г)(Б1"0'- - С"0)] -- Си (Г)[С (Г)"0 + Б (Г)(«0'- - Б1"0)],
[и (Г)^1(Г)]'- - 2Би (Г1(Г) — СЩХ^Г).
(96)
Найдем /1'-(Г). В силу (8), (35) и замечания 1 подынтегральная функция g1(т, Г) — Б (Г — т) и (Г — т) Б1/(т) непрерывна по т и.
В силу условия 4)
Б/(т) е 0(Б), т е [0, да),
(97)
следовательно, в силу (31), (33), (38) ^(т, Г)]Г'- - Б'-(Г -т)и (г- т) Б1/(т) + Б (г- т) иг- т ^/т) или в силу (15) — (17) ^(т, Г)]Г'- - С (Г — т) и (Г — т) Б1/(т) + Б (Г — т) и (Г — т) Б12/(т), откуда видно в
силу (8), (9), (34), (35) и замечания 1, что производная ^(т, Г)]/ непрерывна по т и Г.
Следовательно, можно применить формулу (39):
+
11 (/) = | С (/ - т) и (/ - т) Б/ (т)йТт
0
t
+ J Б (/ - т) Б1и (/ - т) Б1 / (т^т +
0
+ Б (0)и (0)Б1/(Г).
В силу (13) Б (0)и (0)/(Г) — 0, а следовательно,
1(/) = |С (/ - т) и (/ - т) Б1./ (тМт
0
— J Б (/ - т) Б1и (/ - т) Б1 / (т)^
+
(98)
Запишем правую часть (98) в форме, которая потребуется нам в дальнейшем. В силу (16), (59)
и (Г — т) Б1/(т) — Би (Г — т)/(т).
(99)
В силу (14), (59) и (Г — т)/(т) е 0(Б), т е [0,Г], е [0, да), следовательно, в силу (4)
С (Г — т) Б1и (Г — т)/(т) —
— БС (г — т) и (/ - т)/(т).
В силу (99), (100)
С (Г — т) и (Г — т) Б1/(т) —
— Б1С (Г — т) и (Г — т)/(т).
(100)
(101)
В силу (14), (97) и (Г — т) Б1/(т) е 0(Б),
т е [0, ], е [0, да), следовательно, в силу (24)
Б (Г — т) Б1и (Г — т)^1/(т) — - Б1Б (Г — т) и (Г — т) Б1/(т)
(102)
В силу (101), (102) и замкнутости оператора Б! соотношение (98) можно записать в виде
1 (Г) = Б | С (Г — т) и (Г — т) / (т)й?т —
0
г
¦ Б11Б (Г — т) и (Г — т) Б1 / (т)ёт
11(Г) — Б½(Г) + Б1/1(Г).
Найдём /2'-(Г). В силу (5), (59)
(103)
т. е
т. е
/
1'-2 (/) = Б1 |и (Г — т) С (Г — т) / (т^т +
0
/
Г2 (/) = |и (/ - т) С (/ - т) / (т)^.
0
В силу непрерывности функции /(т), включения (36) и замечания 1 подынтегральная функция g2(т, Г) —
— и (Г — т) С (Г — т)/(т) непрерывна по т и Г.
В силу условия 4)
/(т) е 0(2), т е [0, да), (104)
следовательно, в силу (20) С (Г — т)/(т) е 0(2),
т е [0,Г], Г е [0, да), откуда вытекает, что
С (Г- т)/(т) е 0(Б), т е [0,Г], Г е [0, да). (105)
В силу (12), (104)
/(т) е ?, т е [0, да). (106)
Учитывая (31), (32), (105), (106) и применяя фор-
мулу (38), получаем:
Ы т, Г)]/ - и'-(/ - т) С (Г — т)/(т) +
+ и (Г — т) С'-(Г — т)/(т)
или в силу (15), (19), (106)
[& amp-(т, Г)]/'- - Б1 и (Г — т) С (Г — т)/(т) +
+ и (Г — т)2Б (Г — т)/(т). (107)
В силу (16), (105)
Б1и (Г — т) С (Г — т)/(т) —
— и (Г- т) БС (Г- т)/(т). (108)
В силу (4), (59)
Б1С (Г — т)/(т) — С (Г — т^/т). (109)
В силу (108), (109)
Б1и (Г — т) С (Г — т)/(т) —
— и (г — т) С (г — тБ/т). (110)
В силу (23), (104)
2Б (г — т)/(т) — Б (г — т)2/(т). (111)
В силу (107), (110), (111)
ы т, Г)]/'- - и (Г — т) С (Г — т) Й1/(т) +
+ и (Г — т) Б (Г — т)2/(т),
откуда видно, в силу (8) — (10), (36), (37) и замечания 1,
что производная ^2(т, Г)]Г'- непрерывна по т и Г, сле-
довательно, можно применить формулу (39), согласно которой с учётом (107) и замкнутости В1 получаем:
+ |и (Г — т)2Б (Г — т) / (т)А + и (0)С (0)/(Г).
0
В силу (13) и (0)С (0)/(Г) — /(Г). Тогда, учитывая (5), (59) и вид оператора Q, получаем:
I
12(/) = / (/) + А | с (/ - т) и (/ - т) / (т)Л +
0
I
+ ^ и (Г — т) Б12Б (Г — т) / (т)й?т -0 (112)
— ^ и (Г — т) СБ (Г — т)/(т)й?т.
0
Запишем правую часть (112) в форме, которая потребуется нам в дальнейшем. В силу (22), (104)
Б (г- т)/(т) е 0(2), т е [0,Г], Г е [0, да), (113)
следовательно, ББ (Г — т)/(т) е 0(Б), т е [0,Г], Г е [0, да) и в силу (16)
и (Г — т) Й1Б15(Г — т)/(т) —
— Б1и (Г — т) Б1Б (Г — т)/(т). (114)
В силу (24), (59)
Б1Б (Г — т)/(т) — Б (Г — т^/т). (115)
В силу (114), (115) и (Г — т) Б125(Г — т)/(т) —
— Б1и (Г — т) Б (Г — т) Б1/(т). (116)
В силу (3), (113) и (Г — т) СБ (Г — т)/(т) —
— Си (Г — т) Б (Г — т)/(т). (117)
В силу (6), (59)
и (Г- т) Б (Г- т)/(т) — Б (Г- т) и (Г- т)/(т). (118) В силу (117), (118) и (Г- т) СБ (Г- т)/(т) —
— СБ (Г — т) и (Г — т)/(т). (119)
Учитывая (6), (97), (116), (119) и замкнутость операторов Б1, С, формулу (112) можно записать в виде
12 (/) = / (/) + В11С (/ -т)и (/ - т) / (т)й?т +
0
Г
+ Б11Б (Г — т) и (Г — т) Б1 /(т^т —
0
Г
— С ^ Б (Г — т) и (Г — т) / (т)й?т,
0
т. е.
Ш — /(Г) + Б½(Г) + Б1/1(Г) — С/0(Г). (120)
Подставляя в правую часть (63) вместо [и (Г)^1(Г)]'-, /1'-(Г), /2'-(Г) их выражения из (96), (103), (120) и учитывая (40), (62), получаем:
«& quot-(Г) — 2Б1и (Г)^1(Г) — Си (гу0(г) + Б½(Г) + Б1/1(Г) +
+ /(Г) + Б½(Г) + Б1/1(Г) — С/0(Г) —
— /(Г) + 2Б1[и (Г& gt-1(Г) + /,(Г) + /2(Г)] - С[и (Г& gt-0(Г) + Ш] -
— /(г) — Б"'-(г) — С"(г).
Получили равенство «& quot-(Г) — /(Г) — Б"'-(Г) — С"(Г) или «& quot-(Г) + Б"'-(Г) + С"(Г) — /(Г), т. е. функция (11) является решением уравнения (1). Выше было показано, что она удовлетворяет начальным условиям (2).
Покажем, что
«(Г) е С2([0, да)-Е). (121)
Как уже отмечалось выше, справедливо включение ЩГ^^Г) е С'-([0, да)-Е). Из равенства
/1(Г) = | С (Г -т)и (Г -т)Б1/ (т)й?т +
0
/
+ | Б (Г — т) и (Г — т) Б12 / (т)ёт
0
Тогда в силу (62) «'-(Г) е С1([0, да)-Е), т. е. справедливо включение (121). Теорема доказана.
Замечание 4. В случае Б, Се Д (Е) решение задачи (1), (2) имеет вид [5]
и (?) = ехр (Б1?)[С (?)и0 + Б (/)» -B1u0j +
Г
+ | Б (/ - т) ехр[Б1(? — т)] / (т)^т.
0
Доказанное выше утверждение анонсировано в [6]- оно дополняет результаты работ [7], [8], в которых решение задачи (1), (2) найдено в терминах полугрупп и1(Г) и и2(Г) класса С0 с производящими операторами Л1 = (½)(-Б — Г) и Л2 = (½)(-Б + Г) при условии, что Б2 — 4С — Г2.
ЛИТЕРАТУРА
1. Васильев В. В., Крейн С. Г., Пискарёв С. И. Полугруппы операторов, косинус оператор-функции и линейные дифференциальные уравнения // Итоги науки и техн. Сер. Матем. анализ. ВИНИТИ. 1990. Т. 28. С. 91.
2. Иванов В. К., Мельникова И. В., Филинков А. И. Дифференциальнооператорные уравнения и некорректные задачи. М., 1995. С. 17,
26.
3. Шилов Г. Е. Математический анализ. Функции одного переменного. СПб., 2002. С. 609.
4. Крейн С. Г. Линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве. М., 1967. С. 21, 22.
5. Фомин В. И. Об уравнении Эйлера второго порядка с ограниченными операторными коэффициентами в банаховом пространстве // Дифференц. уравнения. 2006. Т. 42. № 4. С. 483−488.
6. Фомин В. И. О задаче Коши для линейного дифференциально -операторного уравнения в банаховом пространстве // Понтрягин-ские чтения — XIV: сборник материалов Воронеж. весенней мате-мат. шк. Воронеж, 2003. С. 143.
7. Фомин В. И. О решении задачи Коши для линейного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными неограниченными операторными коэффициентами в банаховом пространстве // Дифференц. уравнения. 2005. Т. 41. № 8. С. 1130−1133.
8. Фомин В. И. Об одном семействе решений линейного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными неограниченными операторными коэффициентами в банаховом пространстве // Дифференц. уравнения. 2008. Т. 44. № 3. С. 427−428.
и условий (8), (9) следует, что ^'-(t)? C ([0, *)-?), т. е. Ii (t)? С'-([0, *)-?). Из равенства
12 (t) = f (t) + ju (t — t) C (t — T) Bif (T)dT +
0
t t
+ ju (t — t) S (t — T) B2f (i)di — ju (t — t) S (t — T) Cf (i)di,
0 0
непрерывности функции f (t) и условий (8) — (10) следует, что I2'-(t)? C ([0, Ю) Е), т. е. I2(t)? C1([0, & lt-ю)-?).
Поступила в редакцию 9 марта 2010 г.
Fomin V.I. About the Cauchy problem decision for the linear differential equation of the second order in banach space in terms of cosine and a sine of operators-functions.
Decision of the Cauchy problem for the linear differential equation of the second order with the constant neolimited operational factors in banach space in terms cosine and a sine of operators-functions is achieved.
Key words: Banach space- Cauchy problem- operator discriminant- semigroup- linear operator.

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой