Математическая модель двухкомпонентной фильтрации применительно к механическому обезвоживанию осадков

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Лесная и деревообрабатывающая промышленность


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

УДК 676.1. 026. 5
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ДВУХКОМПОНЕНТНОЙ
ФИЛЬТРАЦИИ ПРИМЕНИТЕЛЬНО К МЕХАНИЧЕСКОМУ ОБЕЗВОЖИВАНИЮ ОСАДКОВ
А.Б. Коновалов1
Санкт-Петербургский государственный университет сервиса и экономики (СПбГУСЭ),
191 015, г. Санкт-Петербург, ул. Кавалергардская д. 7, лит. А
Аннотация — Разработана математическая модель процесса механического обезвоживания сжимаемого осадка путем прессования влажного бумажного полотна в прессовом захвате бумагоделательной машины, образованном двумя прессовыми валами.
Ключевые слова: механическое обезвоживание осадка- пресс- бумажное волокно- поровое пространство- система уравнений- метод конечных разностей.
MATHEMATICAL MODEL OF THE TWO-COMPONENTAL FILTRATION WITH REFERENCE TO MECHANICAL DEHYDRATION OF DEPOSITS
A.B. Konovalov
The St. -Petersburg state university of service and economy (СП6ГУСЭ), 191 015, St. -Petersburg, streetKavalergardsky, 7, lit. A Summary -The mathematical model of process of mechanical dehydration of a compressed deposit by pressing of a damp paper cloth in press capture, car for paper manufacturing, formed by two pressing shafts is developed.
Keywords: mechanical dehydration of a deposit- a press- a paper fibre- pinhole space- system of the equations- a method of final differences.
Для многих отраслей промышленности задача повышения эффективности обезвоживания сжимаемых осадков имеет большую практическую значимость. Так, например, при производстве бумаги себестоимость и качество выпускаемой продукции напрямую связано с эффективность обезвоживания бумажного полотна в прессовой части. Также решение проблемы экологической безопасности невозможно без решения проблемы утилизации отходов сточных вод предприятий, относящихся к различным отраслям промышленности. Для решения этих задач широко используются различные методы механического обезвоживания осадков. В данной работе предложена математическая модель процесса механического обезвоживания сжимаемого осадка на примере прессования влажного бумажного полотна в прессовом захвате бумагоделательной машины, образованном двумя прессовыми валами.
Прессовый захват характеризуется шириной площадки контакта валов, а и законом распределения внешнего давления ц (х) по ширине площадки контакта (рис. 1).
Выжимаемая из бумажного полотна вода удаляется в прессовое сукно, играющее роль фильтровальной перегородки и имеющей незначительное по сравнению с бумажным полотном гидравлическое сопротивление. Часто прессование происходит между двух сукон, что позволяет значительно повысить эффективность обезвоживания в результате сокращения пути фильтрации удаляемой воды.
Полагаем, что вода, выжимаемая из осадка, движется в направлении, перпендикулярном движению осадка, а ширина площадки контакта, а на порядок меньше радиусов валков и на порядок больше толщины сжимаемого осадка Ъ. В связи с этим при выводе уравнения, описывающего процесс обезвоживания осадка в прессовом захвате, можно рассматривать уплотнение элемента осадка единичной площади, лежащего на водопроницаемом основании и нагружаемого внешней нагрузкой, изменяющейся по закону д (), где ^ = х / V, где V — скорость движения фильтрующей ткани.
Рисунок 1 — Схема прессового захвата: 1 —
верхний вал- 2 — фильтровальная ткань (прессовое сукно) — 3 — обезвоживаемый осадок- 4 — нижний вал- 5 — эпюра внешнего давления
Сжимаемый осадок будем рассматривать как пористую среду, состоящую из твердых частиц, связанных между собой и образующих «скелет» осадка, воды и воздуха, находящихся в порах осадка. При отсутствии воды и воздуха уплотнению осадка под действием внешней нагрузки препятствовало бы только сопротивление сжатию «скелета». В действительности на «скелет» действует только часть внешней нагрузки. Другая ее часть воспринимается находящимися в порах водой и воздухом. В результате в поровой воде и воздухе создается избыточное гидростатическое давление. Будем считать давление воздуха в порах осадка и давление воды одинаковыми, т. е. будем пренебрегать капиллярным давлением.
Известно, что при механическом уплотнении влажного осадка удается удалить только часть воды, находящейся в нем. При этом предельная сухость осадка, достигаемая при механическом уплотнении, определяется физикомеханическими свойствами частиц осадка. Одним из объяснений этого может быть двойная пористость осадка. Поро-вое пространство может быть разделено на две части: внешнее поровое пространство и внутреннее поровое пространство. Первое представляет собой пространство между частицами осадка. Второе образовано порами внутри частиц осадка. При построении математической модели будем считать, что частицы осадка не сжимаемы и что количество воды, находящейся внутри них, в процессе механического уплотнения осадка остается неизменным. Также известно, что не вся вода,
находящаяся во внешнем поровом пространстве может быть удалена из материала в результате его механического уплотнения. Поэтому ту часть внешнего порового пространства, занимаемого удаляемой механическим путем водой, будем называть активным. Оставшуюся часть внешнего порового пространства и внутреннее поровое пространство — неактивным поровым пространством. Одной из важнейших характеристик пористого материала является пористость т. Активная пористость будем определять
^ ПО а
по формуле т =, где Fnopa — объем
внешнего порового пространства, занимаемого подвижной жидкостью и воздухом в случае его присутствия в материале, в рассматриваемом объеме V бумажного полотна.
Объем бумажного полотна V складывается из объема воды V и объема воздуха V2 во внешнем поровом пространстве, объема частиц осадка V3 и суммы объема воды, находящейся внутри частиц, и объема неподвижной воды во внешнем поровом пространстве, Vi н
V = V* + V* + V2+V3. (2)
В дальнейшем удобнее вместо пористости т использовать коэффициент пористости. Будем использовать коэффициент активной пористости е и предельный коэффициент пористости 8цт, определяемые по формулам
V*
?=
_ '- пор _ 1 +^2
V¦& gt-
з
Slim_
з
VH
пор
1Г'-
(з)
Активная пористость связана с коэффициентом активной пористости соотношением
?
т =
(4)
1+ ?
В процессе прессования осадка в прессовом захвате одновременно с течением воды и воздуха через «скелет» осадка происходит деформирование и самого «скелета» в результате переупаковки образующих его частиц. Поэтому для описания течения воды и воздуха в деформируемом осадке будем использовать уравнение Дарси-Герсеванова [1] кх • (1 + є) др
г/, -щ ~
fV9r
д z
(5)
(6)
к2 • (1 + в) др
(а2-ф2-в дг где: г/ь г/г — скорости воды, воздуха и частиц осадка, отнесенные к занимаемой ими части поперечного сечения материала- к, & amp-2 — проницаемости бумажного полотна для воды и воздуха- фьфг — насыщенность пор водой и воздухом соответственно- ць цг — коэффициенты динамической вязкости воды и воздуха- р — гидростатическое давление.
Перемещение верхней границы бумажного полотна затрудняет формулировку граничных условий задачи. Целесообразнее формулировать задачу с использованием лагранжевой массовой координаты. Выделим двумя горизонтальными плоскостями, перемещающимися со скоростями, равными скоростям волокон «скелета», элементарный слой сжимаемого осадка, представляющий собой параллелепипед, высота которого равна dz, а площадь основания 1. В процессе уплотнения полотна величина будет изменяться, а масса волокон в элементарном слое будет оставаться постоянной и равной ее начальному (перед действием внешней нагрузки) количеству. Таким образом, эйлеровы координаты г верхней и нижней плоскостей в моменты времени 1 и 1+Л 1 будут разными, а массовые координаты 5 будут одинаковыми (рис. 2).
Ч (*)
М лш I5
и (О
22 & amp- г1 (I)
О
«^ (] ?'- ¦-І ІМ 14 І. Ч ГТТЧ 2 q (t+Лt)
21 (Ї+Лі) 21
г, (І+Дї)
О
шиши
О
Рисунок 2 — Схема к пояснению перехода к массовой координате
Массовая координата ^ связана с координатой г соотношением
Рз
*=/
о 1 + 8 + 8Ит
•йі,
(7)
где рз — плотность частиц „скелета“.
Так как
1С=Т^-- & lt-8>-
О Z 1 + 8 + 8цт
то уравнения (5 — 6) могут быть записаны следующим образом
щ=*га-. г?. (9)
/4-ер •? о $
и2 —
• А др /^-(1 — Ф) — є дя
(10)
где г/1, 112 ~ скорости воды и воздуха относительно волокон „скелета“.
В рассматриваемом элементарном слое содержится масса волокна ds, масса воды, находящейся в активном поровом пространстве,
сіМі - є-ф- - -ёъ Рз
и масса воздуха
Р2
(11)
(12)
сіМ2 — є-(І-ф) — - •(!$.
Рз
За промежуток времени йї из рассматриваемого слоя через его нижнюю границу вытекает масса воды, равная
• щ -т -ф (13)
а через верхнюю границу поступает масса воды, равная
щ-т-(р + -(щ-т-(р)-сІ$ -сії. (14)
РГ
д$
В результате за промежуток dt в рассматриваемом слое увеличение массы воды составит
^-(р[ ¦ • ш • ф) • • & lt-Й = …
V & lt-15)
д в
д_
д$
• А ¦ Рз
•сів-сії
Дг (1+ ?+ %т)
С другой стороны это увеличение будет равно
д
дt
Приравнивая выражения (15) и (16), получим уравнение, описывающее течение воды в бумажном полотне,
¦Л.
(16)
V, А • А др
& amp-г ?Пт) д5 У
(17)
Аналогичным образом можно получить уравнение для воздуха
п (- г
6(1- ф) —
2 '- А'- А
/*2-(1+ ^ ^Иш) 05
(18)
Для преобразования этих уравнений к более удобному для решения виду воспользуемся фильтрационно-компрессионными характеристиками осадка и уравнением состояния воздуха. Коэффициент пористости зависит от эффективных напряжений в „скелете“ осадка. Эту зависимость, называемую компрессионной характеристикой осадка, можно представить в виде
8= §-е~а0 (19)
где Во -коэффициент активной пористости осадка перед прессованием, а — коэффициент сжимаемости- а — эффективное напряжение в „скелете“ осадка, равное q — р.
Решение поставленной задачи осложняется также тем, что сжимаемый осадок не является абсолютно упругим материалом и при полном снятии внешней нагрузки восстанавливается не полностью. Примем, что разгрузка осадка, которая начинается при уменьшении эффективного напряжения, описывается уравнением
^ о, а /лл
8 — 80 • С • (20)
Параметры разгрузочной кривой определяются по формулам
п а
Чиах
^ * Чгах
(21)
Ш1П
где сттах — максимальное эффективное напряжение, достигаемое в данной точке осадка на стадии уплотнения.
Проницаемость осадка для воды и воздуха может быть представлена в виде
7 — к, а ¦ кфі, / - 1, 2, (22)
где: ка — абсолютная проницаемость бумажного полотна- кф1, кф2 — относитель-
ные фазовые проницаемости осадка для воды и воздуха соответственно.
Абсолютная проницаемость зависит только от пористости бумажного полотна. Эта зависимость может быть представлена в виде
ка = К
1+ а- є
Пі!!
1+0 +? Пт
?
V Є 0
п
(23)
где к0 — абсолютная проницаемость осадка перед прессованием, п — фильтрационный коэффициент.
Относительные фазовые проницаемости зависят от насыщенности пор соответствующими компонентами и могут быть представлены в виде
Ґ Л3'-5
Фг — Ф кр і
кфі ~
1-ф
/'- = 1,2,
Ч — т Кр 1 у
где ф кр г — критическая насыщенность материала 7-й фазой, т. е. такая насыщенность г-й фазы при которой ее движение прекращается.
Уравнение состояния воздуха при изотермической фильтрации будет иметь вид
Р2=Р,-Е±Е^. (24)
Ра
где ра — плотность воздуха при атмосферном давлении ра.
Используя приведенные выше соотношения, уравнения (17) и (18) можно записать в виде
а • ф • & amp-
д ір
кфі'-? Рі'- Рз'- є
+ а- ф- ?•
(1-& lt-р) — ?
Д1
Р ^
Р
(25)
8

д -ф
…+ а р2-
Р2 Яр дер
Г Т0 д т
Ґ
кф2 •? А'- Рз'- др_ д 1р
/12
(-(р)-?$, 1 дд
+••• (26)
А
где ^ - постоянная величина, характеризующая свойства конкретного осадка перед прессованием и равная
& lt-г=
кп
?•"•(1+ а- єит)
(27)
Для удобства решения данная система записана в безразмерных перемен-
ных Т--, тр--, где 2Го — продол-
!()
жительность прессования.
Введем следующие обозначения:
и =
Р
1. = ^*
а-є-ср-
, і.
Р_
Р
?-{-& lt-ру[ р, ----------- а-р2± I
Р 3 Ра)
(28)
р 1
----
Р 3
Р 2
— Є
Р:
Тогда система уравнений (25 — 26) может быть записана в матричной форме
I-
ди
(29)
Полученная система уравнений может быть решена методом конечных разностей. Воспользуемся консервативной разностной схемой, для построения которой используем интегро-интерполяционный метод. Применяя чисто неявную схему, обеспечивающую абсолютную устойчивость и монотонность при любом соотношении шагов по у/ и г и равномерную сетку, состоящую из N узлов, систему уравнений (29) можно записать в виде
М,
/-0,5
•г/,--1
Мі-0,5 + Мі+0,5 /г
М,
7+0,5
/?
•г/7+1 =-Ц-Щ-Иг Ад,
(30)
где /? = А|/ Ах — йг — значение неизвестной переменной в /-ой точке в момент времени х — г/г — значение неизвестной переменной в той же точке в момент времени х+Ах — А q — приращение внешней нагрузки за промежуток времени Ах.
Обозначим
Лі _ мі-0,5
в і -Ц +
м
У-0,5
+ М,
7+0,5
Пі=-Ц-Пі-Ні
И '- '- И
Д9. (31)
Тогда в конечно-разностной форме система уравнений (29) примет вид
А1 ¦ г/0 — В1 • г/1 + А2 • и 2 = /)},
/ 2 * г/1 В2 * г/ 2 ~* г/ ^ ^,
АМ-2 '-11. 3 Вн2 '- ИN-2 + •••
(32)
и
N
-1=Д
аЛ?-1 & quot-ЛГ-2
ЛГ-2» г/л
N-1 & quot-N-1
… + А^ • им —
Для решения системы уравнений, описывающей обезвоживание бумажного полотна, ее необходимо дополнить двумя уравнениями, учитывающими граничные условия. Рассмотрим половину ячейки, граничащей с проницаемой нижней поверхностью (рис. 3).
Рисунок 3 — Схема граничного элемента слоя материала
В выделенном элементе содержится массовое количество воды, равное

2 Рз'
в него поступает за промежуток времени Л ї массовое количество воды, равное
(?ф)о
и
к
(игтчр- рХУ А/ =
Чі-А-Рз- І
А
• Д
Д0 =
/0,5
а вытекает Жо -А /.
Уравнение баланса для выделенного элемента будет иметь вид
3 Д5 д
ді 2 р3
кФі • А Я'- ?¦ Ї др
д 5
(33)
-Ж0.
V И ,
Используя компрессионную характеристику материала и безразмерные переменные, можно переписать это уравнение в следующем конечно-разностном виде
м л'-
-Р 3 * ^0
•(г7-е-^)0 -(д, -/& gt-0) +
+
РіЛ2 / - ,
. ° ^оМ^-^о) =
-/7з * о (34)
Кг Рі4
л
(л —
Аналогично, рассматривая баланс воздуха в выделенном элементе, можно получить уравнение
рО рО п00 -°01 рО рО -°10 -°11
(35)
^*1'- Рг'- Р г'-ё '-4

/12
/ 0,5
/ & gt- АГ
ІРі-Ро)*-------7 +
Д (/у
+ ^ 6° *["*б'-*(1-д')*р2] * Д& lt-7 — Г° • 50
-Рз '^о
В матричной форме эти уравнения можно записать так — В () ¦ ?/д + Ау ¦ Ну = + Д*0' (36)
где
2 А- Т0
Рг (8)о _(Р2'-8)о.
/?/"• ?(р-0+с00
/з±-
Ра
+ … С
10
(37)
Л =
Д: ю д01 Д10 Д11
Д г
л
/
И
/0,5

V
Р2
/0,5
С2
?& gt- =- °
О
-х.
ОТ (38)
2 Рз- Го
А[(Я Є(р-(р0+ Ад) +{бф]
Ґ
-(«АІР
^О1
& lt-Ро
а- Р2+
а
¦Ро±
Щ =
и =
№.
0
г х-: _д_ №
0 х? а р 0 {& lt-
Аналогичным образом можно записать и уравнение, учитывающее граничное условие на верхней поверхности бумажного полотна. В общем случае, учитывая возможность прессования между двух сукон, это уравнение будет иметь вид
Дг • /V-1 — & quot-11N = ^ - Хн ,
где
0
о
0
0
An —
00
N
10
N
к
A
A1
Ф1
Ф2
01 N 11 N.
R • Р • є І М
Рг'- Рз'- 6? М
(39)
/N-0. 5
Л
/N-0. 5
BN ~
п00 п
вы B
JN
& gt-10
BN в
S2
-X …
2 /93- 7J,
/?'-(«'- ?ф)лг
¦Ac00
?(1-ф)-(«- А±)
Ра.
А'- (8)л? «(Рг s) n
(40)
4n
40
N
0
0
D N~
S2
11N ~
2 R • T0 Pn'-
(?(1-Ф))
11N-1 — '-
/}[(«Єф)№

& amp-
a- p2+ -
Pa J N 0
-(Pn+ 5ФЫ •/V+(® p2) N- Ac-(є p) N-(pN
X
A'-«U-
PN-1
[ФлтГ «1 ІФлм
В случае прессования с одним сукном, когда верхняя граница бумажного полотна соприкасается с непроницаемой поверхностью верхнего вала пресса, потоки Жо'- и Ж1'- будут равны нулю. После добавления в систему уравнений (32) уравнений (36) и (37) система примет вид
-Во ¦ ио + Ау ¦ иу = Оо + Xо,
Ау • Щ- Ву • иу+ А2 ¦ иг= Оу,
А2 '-иу~ В2 'и2 + А3 '-и3= О2,
(41)
ним нижним сукном используется соотношение Хд = 7/0 • Х (°, где
«_кгФ'- Рг Их
'-/О-----------1 •
И'-г кф '- Р
Данное соотношение получено на основании следующих определений для удельных массовых потоков воды и воздуха на нижней границе бумажного полотна
к =
К Pi- Рз дР A (l+?+?lim)
Ai ¦ui-І~ Bi ¦Ui+Ai+І •ui+І- Dv
(42)
w02 =
k~.
Рг Рз
д p


(43)

АЫ-2 ' иЫ-3~ ВЫ-2 ' иЫ-2+ АЫ-у '- иЫ-у = °М-АМ-у 'иИ-2~ВИ-у 'иМс-у + АЫ'-иЫ = DN,
Аы ¦ и^ у- BN • и^ = DN — XN.
На границе прессового сукна с бумажным полотном давление будем считать давление заданым. При решении рассматриваемой задачи прессования с од-
И (І+Є+Єнт) ^
Таким образом, полученная сис--2, тема содержит 2('-+1) уравнений и столько же неизвестных: Х0°, ф0 и рі, фі (і = 1,2, …, '-). Матрица системы имеет диагональную форму с шириной ленты 5 и система может быть легко решена методом Гаусса.
1 Коновалов Александр Борисович, кандидат технических наук, доцент, доцент кафедры сервиса торгового оборудования и бытовой техники, тел.: 3 684 289, e-mail: alex_bor_kon@mail. ru

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой