Метод расчета обделок тоннелей произвольного поперечного сечения на динамические воздействия

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Строительство. Архитектура


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

Известия Тульского государственного университета
Естественные науки 2008. Выпуск 2. С. 253−262
= НАУКИ О ЗЕМЛЕ =
УДК 624. 192
С.А. Саммаль
Тульский государственный университет
МЕТОД РАСЧЕТА ОБДЕЛОК ТОННЕЛЕЙ ПРОИЗВОЛЬНОГО ПОПЕРЕЧНОГО СЕЧЕНИЯ НА ДИНАМИЧЕСКИЕ ВОЗДЕЙСТВИЯ
Аннотация. Предложен новый аналитический метод расчета монолитных обделок тоннелей произвольного поперечного сечения на динамические воздействия. С целью оценки достоверности результатов расчета выполнено их сравнение с данными, полученными другими авторами при рассмотрении задач, которые в рамках разработанного метода могут быть рассмотрены как частные случаи.
Современные автомобильные, железнодорожные и гидротехнические тоннели, а также заглубленные в грунт трубопроводы являются наиболее ответственными подземными сооружениями, к надежности и долговечности которых предъявляются особые требования. При этом трассы тоннелей и подземных трубопроводов могут пролегать в сложных горно-геологических условиях, в том числе — в массивах с динамическими проявлениями, обусловленными как последствиями землетрясений, так и многократными промышленными взрывами.
Общепринятыми в настоящее время являются подходы к прогнозу поведения подземных сооружений при динамических воздействиях, базирующиеся на изучении напряженно-деформированного состояния конструкций с учетом их взаимодействия с окружающим массивом пород (грунта). Существующие аналитические методы позволяют производить расчет обделок (в том числе — многослойных) круговых тоннелей глубокого заложения, когда массив моделируется линейно-деформируемой или двухкомпонентной (водонасыщенной) изотропной средой. При этом динамические проявления в массивах моделируются как стационарные или нестационарные процессы дифракции продольных и поперечных волн на сооружениях. Аналогичных
методов, предназначенных для расчета обделок тоннелей произвольного поперечного сечения, до настоящего времени не существовало.
В связи с этим в Тульском государственном университет в течение ряда лет проводятся исследования, направленные на разработку нового аналитического метода обделок некруговых тоннелей на динамические воздействия. С этой целью рассматривается плоская стационарная задача о распространении плоской продольной волны сжатия или сдвига в однородной изотропной линейно — деформируемой среде, ослабленной отверстием произвольной формы, подкрепленным кольцом из другого материала. Предполагается, что падающая волна является гармонической, имеет круговую частоту и) о и распространяется по оси Ох'-, составляющей произвольный угол /3 с вертикальной осью Ох (рисунок).
Расчетная схема
Здесь однородная изотропная среда во, обладающая удельным весом 70 и деформационными характеристиками — модулем деформации Ео и коэффициентом Пуассона щ моделирует массив пород. Кольцо вг, ограниченное контурами 1/о и Ьі, материал которого имеет удельный вес 71 и деформационные характеристики Еі, моделирует обделку тоннеля.
Далее, с целью решения поставленной плоской динамической задачи теории упругости в областях (^ =0, 1) вводятся потенциалы и которые должны удовлетворять волновым уравнениям Гельмгольца [1]:
(V2 + фМ = О, (V2 + и?) -& lt-/'-«>- = О, (1)
где V2 — оператор Лапласа- С./ (./ = 0. 1) отношение скоростей распро-
странения волн сдвига и сжатия г^ ' в среде 5'-о (,/ = 1) и области 5) (,/ 1), выражающееся формулой
(з)
-и]
2(1 ~чУ
и-- - безразмерная частота колебаний частиц в области, определяющаяся
формулой о-, = Ш. З/с^- Н — средний радиус выработки (контура /. о).
Отметим, что решение уравнений (1), имеющее физический смысл, получается после умножения найденных из этих уравнений потенциалов ф^ гл-^ на (? — безразмерное время, Ь = с^Ч/К) и выделения действи-
тельной части.
Полные напряжения и смещения в среде 5'-о представляются как суммы напряжений сг (°)(°) и смещений? У (°)(0) в падающей волне (в среде без под-
11 смещении
крепленного отверстия) и дополнительных напряжений а-(°)(1)
{/(°)(1), вызванных распространением волн, отраженных от границы /. (). то есть
а
(0)
а
(о)(о) + ст (о)(1). и (о) = цШО) + ^(0)(1)_
(2)
здесь символом (7 обозначены все компоненты тензора напряжений, а символом II — составляющие вектора смещений.
Таким образом, полным напряжениям и смещениям в среде 5'-о в окрестности кольца 5) соответствуют суммы потенциалов падающей и отражен-
ных волн, т. е.
^(0) = ф (0) + ^& lt-0)(0)} ф (0) = ф (0) + ф (0)(0)'-
Далее для сохранения общности записи вводятся обозначения
(1)
(3)
(4)
с учетом которых записываются известные формулы для напряжений и смещений в области 8} {] =0,1) в полярной системе координат г, в (г — безраз-
Г п) чеРез потенциалы [1]:
мерный радиус г
Г О'-)
а:
N
V-
-ш2(р^ + 2
'д2& lt-рМ 1 д2ф^
дг2 +
& lt-т
(з)
Ш
гв
-Из
¦н
ш2^ + 2
'-дУСЯ 1 д2фСз)
дг2 г дгдв
1 дф (& gt- г дгдв г2 дв
1 & lt-9гл--
д2^
дгдв
1 д& lt-рЫ
дв
(5)
(і) _ д^ і дфи ц) _ і ду& gt-<-5>-
г „дг + г а“ ' в ~ г дв дг
Здесь
Ез
Иэ —
2(1 + *& lt-?)
Потенциалы падающих волн в полярной системе координат, следуя работе [1], определяются соотношениями
— при рассмотрении волны сжатия
ОО
^& lt-0)(о) =--------2 У& quot- ГЛ (ш0гУ'-(в-'-3& gt-, #°& gt-<-°>- = 0- (6)
— при рассмотрении волны сдвига
^ ОО
^(°)(°) = 0, У'& lt-0)(0) =----* У (7)
и і& gt-=- оо
Здесь .1 ,{: !¦) — функции Бесселя порядка V.
Общее решение уравнений (1) при ] =0 с учетом условий излучения, выражающих отсутствие отраженных волн, приходящих из бесконечности, в полярных координатах г, в представляется в виде
СЮ
5(0)
ф (°)(г, 9)= (Ап со& amp- п9 + Вптпп9) Нп (ш^г),
71=0
ОС
^(°)(г, $) = (Сп собпО + Бп віп пв) Нп (ш0г),
п=О
(8)
где Нп (х) — функции Ханкеля I рода порядка щ Ап, Вп, Сп, Вп — неизвестные коэффициенты, определяемые из граничных условий.
Решение уравнений (1) при ] = 1 может быть представлено в виде
СЮ
?& gt-(1)М) =? (м» сое пв + Ып эт пв) 7та (сої ?і г) +
71 =О
СЮ
+ Е (& amp-" СОБпв + Рп $шпв)уп (ші?іг),
71=0
ОС
Фт (г, в) =? (Р" сое пв + ?*)п віппв)(шг) +
«=О
(9)
сю
+ XI (ТПСО8П0+ Уп8тп0)?п (ш1г),
п=О
где? п (г) — функция Неймана (функция Бесселя 2-го рода) порядка щ Мп. Д». С". У". Рп,. Тп. V, — неизвестные коэффициенты, подлежащие определению.
При этом под напряжениями здесь и далее понимаются коэффициенты концентрации, т. е. безразмерные отношения напряжений к интенсивности основного напряженного состояния в падающей волне.
Кольцо S1 и среда So деформируется совместно, то есть на линии контакта I/о выполняются условия непрерывности векторов смещений и напряжений. Внутренний контур кольца L свободен от внешних сил.
Таким образом, граничные условия имеют вид: на I/o
ветственно нормальные и касательные напряжения.
После перехода к полярной системе координат с помощью известных формул [1] преобразования напряжений условия (10), (12) могут быть представлены выражениями вида {] =0,1)
соответствующий угол между радиальным направлением и направлением внешней нормали к контуру I (./ =0, 1).
Далее, следуя работе [1], для решения поставленных динамических задач о дифракции плоской упругой волны сжатия или сдвига на кольце произвольной формы, подкрепляющем отверстие в бесконечной среде, применен метод возмущения формы границы.
С этой целью с помощью рациональной функции со (() производится конформное отображение внешности круга радиуса Н1 1 в плоскости пере-
менного С (С — ре11) на внешность контура в плоскости ^ таким образом, чтобы контуру 1/о заданной формы в плоскости г {г = гегв) соответствовала окружность единичного радиуса, Но =1.
Далее отображающая функция представляется в виде
(10)
(И)
на L і
і
J2 (-1Г+1 (4& quot-1) + С'-, (ст& lt-т) — 4т& gt-) + 2§, т1г= 0-
m=j
1
Е (-1)m+1 (т'? — § л41) — 4!)) + Щт$) = о, (13)
m=j
где Cj = - sin2 aj = cos2 aj — 1 = (cos 2n j — 1). Sj = sin n j • cos n j. aj —
П© =Ш = С + ЄІ(С)
(14)
где
ДС) = Е& gt-С1-'--
и=1
? — малый вещественный параметр, изменяющийся в интервале 0 & lt-? & lt- 1, характеризующий степень отклонения формы отверстия от круговой- к — число членов ряда отображающей функции, необходимое для обеспечения требуемой точности конформного преобразования (как указано в работе [2] для достижения приемлемой точности достаточно принимать к = 5).
Таким образом, с использованием формулы (14) переменные г ж в, а также все входящие в решение функции этих переменных можно представить в виде рядов по степеням е:
оо кп
х =2 Хп, 8 €%81еп1 (15)
«=0 в=-кп
здесь величина х задается своими коэффициентами разложения хГКН. причем жо, о принимает значения либо 0, либо 1.
Представление вида (15) позволяет производить все основные операции с рассматриваемыми величинами.
Так, например, произведение двух функций х и у определяется преобразованием
/ оо кп / оо ки
.V (Е Ё хп^'Чп XX! У,^е
п={) «= -А'я / h'-=0j=- кь& gt-
оо кп оо к V
= Е Ё Е Е ж»,
п=0 в= - кп /'-=0 /=- кы
Остальные операции — деление, сложение, вычитание, а также получение комплексно — сопряженных величин осуществляются аналогичным образом.
Далее, для получения разложений величин г, 0, С, 5, входящих в граничные условия, используются представления
п (0=ге& quot-, С = ре* = РО, (16)
где & lt-Т — точка единичной окружности & lt-Т = (лу.
Отметим, что, в отличие от решения, изложенного в работе [2], в нашем случае разложения функций получены при любом р. поскольку при раскрытии соответствующих граничных условий на контурах — {] =0,1) используется представление р = Щ. В связи с этим вводятся в рассмотрение следующие функции (_/ =0,1)
а
и)
Г"©, 1 а і
С ] | C& gt-=Rja і
8 18 7
оо кп
Е Е
«=0 в=-кп
с-паи)
С и'-П, 8С'- ?
6°) = ["'-(С)]
С = /?•, гг
1 = Ю'-(Д,& lt-т) — 1 =
— 1 оо кп
= е ?(і+"ь-, як7 = Е е
з= - к п=0 в= - кп
где коэффициенты аЦ, Ьп}8 определяются из выражений
а
(з)
71, в
ьУ1
71, в
Щг)-8, при п = 1, -к ^ 5 & lt- О,
О, при остальных значениях п. я.
(. %• + при п = 1, -к ^ 5 & lt- О,
О, при остальных значениях п. я.
В результате удается записать
гз
|^(С)||р=д, — = + «(і) + «(і) +
(-а^У — (-а^У
(17)
СЮ
и=1
V
Выражения (17) позволяют получить разложения любой функции переменных г и в. С этой целью используется известный прием разложения произвольной функции Ф (г. в) в ряд Тейлора
СЮ ^
*м) = Е^
«=О
до і п /Л N V
^-«, — + (0−7) —
Ф (р, 7)
Далее, следуя методу возмущения формы границы, потенциалы в),
ф (э)(г, 0) (_/ =0, 1) представляются в виде рядов по степеням? И (лу. При этом с целью удобства дальнейшего вывода формул искомые потенциалы представляются в форме разложений по степеням сгв.
Так, потенциалы падающей волны представляются в общем виде (для обеих рассмотренных задач)
(0)(о)
СЮ сю
п=0 в= -оо
оо оо
. 0(«)№(Г, 0) = Х ^ ?& quot-Й"ЛЦг)е"#, (18)
п=0 в= -оо
где • г я!1(0) — коэффициенты, которые задаются на основании формул
(5), (6) в каждом п по. м приближении.
В свою очередь, выражения (9) представляются в форме
Ф{о& gt-{г, 0) =? ? е& quot-^1{0)Нв (^ог)еш,
п=0 б=-оо /-|ОЧ
ф (°)(г, в)=^2 Е? пфк/з Н8(ш0г)е18 В,
п=0 в=-оо
где & lt-рп^° Ф{Л{0) — неизвестные коэффициенты /7. -1 юго приближения, подлежащие определению.
Далее, принимая во внимание, что Нп (,-) = ,/» (,-) + /У~» (, —). выражения (3) и (4) для потенциалов в среде 5'-о {] =0) и в кольце Б{] =1) представляются в виде
сю N /1 / -
& lt-Ри){г, в) =? ? ^& gt-(,)-, це) т)е"Ч
п = 0 8 = -М
ОО ОО /о/ '-
+? ? еп& lt-р$Ь)Н,(и&-г)еш,
п=0 в=-оо
сю N /і
¦0(Л (г50)=]Г? «78(и^г)е*80 +
п=0 8=-Ы
ОО ОО /о/ '-
+? ? єп4'-іІІь)н,(шіг)еш.
(20)
п=0 в=-оо
Таким образом, для получения соотношений, позволяющих определять искомые коэффициенты & lt-р^з^фп?8^^ В /7,-по.м приближении, выражения (5) напряжений и смещений через потенциалы (20) подставляются в граничные условия (10), (13) и производится разложение полученных представлений по степеням? и сгу при р = Ия (д =0,1). Далее члены при одинаковых степенях параметра? и сгу группируются и выделяются члены, содержащие • В результате в каждом рассматриваемом приближении
удается составить систему из б групп линейных алгебраических уравнений, с правыми частями, уточняемыми по результатам предыдущих итераций. Указанная система разрешается относительно б-ти групп искомых коэффициентов фщ1^° Фп^іг = 1, 2) разложения потенциалов
(коэффициенты & lt-рМ° ф^ являются известными), полностью определяющих напряженно-деформированное состояние областей 5-- (] =0,1).
Следует отметить, что существенным преимуществом описанного решения является то, что, будучи основанным на получении рекуррентных соотношений, оно позволяет построить итерационный процесс вычисления любого количества приближений.
Полученное решение реализовано в виде компьютерной программы, позволяющей производить эффективные расчеты с целью определения распределения максимальных динамических напряжений за все время прохождения волны (то есть огибающие эпюр напряжений).
С целью проверки полученного решения и его компьютерной реализации на первом этапе производилась оценка точности удовлетворения граничных условий поставленной задачи теории упругости. При этом вследствие особенности полученного решения задачи погрешность удовлетворения граничных условий не зависит ни от числа удерживаемых в рядах членов ЛГ, ни от количества приближений т в итерационном процессе, а целиком определяется точностью решения разрешающей системы линейных алгебраических уравнений. В связи с этим все вычисления, в том числе — связанные с формированием системы выполнялись с максимально возможной точностью (то есть до 16 -ти значащих цифр в числе).
Помимо проверки точности решения поставленной задачи было произведено сравнение результатов расчета с данными, полученными другими авторами при рассмотрении задач, которые в рамках разработанного метода могут быть рассмотрены как частные случаи.
Прежде всего, были воспроизведены приведенные в работе [1] результаты определения безразмерных максимальных нормальных тангенциальных
— С1−1) (
напряжении & lt-т0 шах за все время прохождения волны (отнесенных к основному напряженному состоянию в падающей волне) на контурах кругового, эллиптического и квадратного неподкрепленных отверстий в бесконечной среде при распространении гармонической волны сжатия.
Поскольку в случае кругового отверстия в сравниваемых методах задачи решались совершенно в одинаковых постановках, удалось установить не только полное (до 5 значащей цифры в числе) совпадение расчетных напряжений, но также и соответствие формульных выражений в решении [1] и в нулевом приближении разработанного метода.
Сходимость приближений для эллиптического отверстия при задании в (14) щ = г = ^=| = - | (а и Ъ — полуоси эллипса), а также квадратного отверстия со скругленными углами (//,) = §) при значениях коэффициента Пуассона материала среды щ 0. 28 и относительной частоты воздействия
=0,4 иллюстрируется таблицей.
Далее были воспроизведены результаты расчета напряжений на контуре выработки произвольного поперечного сечения, полученные по методу
Н. Н. Фотиевой и В. Г. Гарайчука, приведенные в работе [2]. В результате было получено полное совпадение расчетных напряжений.
Выполненное сравнение результатов, получаемых в соответствии с известным решением для кругового кольца и по разработанному методу, также показало их полное совпадение.
Сходимость максимальных напряжений по приближениям
Форма отверстия Метод расчета Приближения
Первое Второе Третье Четвертое
Эллиптическая Г. Н. Савина 3,914 4,106 — -
Разработанный 3,814 4,017 4,058 4,0668
Квадратная Г. Н. Савина 4,584 5,120 — -
Разработанный 4,464 5,031 5,225 5,2905
Наконец, на заключительном этапе выполнено сравнение расчетных напряжений, получаемых в соответствии с разработанным методом, с результатами квазистатического расчета по методу проф. Н. Н. Фотиевой [3]. При этом, поскольку в рамках разработанного метода принципиально невозможен переход от динамической задачи к статической путем задания в качестве исходного данного а- 0. расчеты производились при последовательно уменьшающихся значениях частот ш и определялись значения, к которым стремятся динамические напряжения. Выявленное удовлетворительное согласование абсолютных сравниваемых значений напряжений, позволило сделать вывод о корректности разработанного метода и его компьютерной реализации.
Библиографический список
1. Савин Г. Н. Концентрация напряжений около отверстий /Г.Н. Савин- М.: Техиздат, 1951.
2. Фотиева Н. Н. Алгоритм и программа определения напряжений в окрестности горных выработок при стационарных динамических воздействиях /Н.Н. Фотиева, В.Г. Га-райчук. — М.: НИИ оснований и подземных сооружений, 1972.
3. Фотиева Н. Н. Расчет крепи подземных сооружений в сейсмически активных районах / Н. Н. Фотиева. — М: Недра, 1980.
Поступило 26. 11. 2007

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой