Верификация прогнозов. a-операторы

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Кибернетика


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

Верификация прогнозов, сх-операторы
• • & lt-
Ьуадалин А. В.
(МГУ им. М. В. Ломоносова- Москва)
1. Введение
Неотъемлемой составляющей апостериорной оценки качесгва экспертного прогноза являегся его точность Этот параметр представляет собой ключевое звено в процессе повышения качества прогноза
Чтобы дать заключение относительно оценки качества прогноза, необходимо иметь, по крайней мере, три оценки- собственную, истинное значение искомого параметра исследуемого объекта и ту экспертную оценку, с которой мы будем сравнивать взятую нами. Сопоставляя с истиной две экспертные оценки, мы ставимaдaчy выяснить, какая из них лучше (точнее) Основы данного подхода к верификации
I «%» * •
экспертных оценок были изложены в работе [7].
• • • «
Предлагается в качестве характеристики точности оценки взять показатель ошибки, а именно, под показателем ошибки понимается произвольная действительная функция Е (х, у), где х принадлежит множеству всевозможных экспертных оценок X, у
• Ж • в,'-
принадлежит множеству истинных значений У, ХсУ, причем У — линейно упорядоченное множество отношением предполагается, что X — связанное
множество в топологии, индуцируемой линейным порядком Функция Е (х, у) должна
* # * • удовлетворять следующим пяти аксиомам: УхеХ, уеУ
1) Е (ж, у)=0 о х=у-
2) Е& lt-1, у)20-
• * • • 4 |
для любого фиксированного х функция Е (х, у) строго монотонно убывает на луче {уеУ: у & lt- х} и монотонно возрастает на луче {уеУ: у & gt- х& gt--
1) для любого фиксированного у функция Е (х, у) строго монотонно убывает на луче {хеХ: х & lt- у} и строго монотонно возрастает на луче {х& lt-=Х: х & gt- у}-
г. * * * '- • *
S) ?(x, у) непрерывна no у относительно порядковой топологии
Таким образом, функция Е (х, у) показывает, насколько экспертная оценка х отстоит от истинного значения оцениваемого параметра
Важным понятием в теории показателей ошибки является понятие эквивалентности показателей. Всю совокупность всевозможных показателей ошибки можно разбить на классы эквивалентности так, что показатели Е* и Е& quot- из одного класса буду! давать одинаковые заключения о точности экспертных оценок х', хм оцениваемого napaMCipa у, т. е.
sign У) — Е'-(х'- у)) — Sign (Е& quot-(х', У) — ?& quot-<-*"-, У))
Характеристикой класса эквивалентности является a-оператор (a: XxX-^Y), который определяется как решение уравнения
Е (х а) — Е (х& quot-, а)-0. (1)
Для показателей ошибки из одного класса эквивалентности а-операторы совпадают, а для показателей из разных классов различаются. Имеется теорема о существовании и единственности a-оператора в рамках аксиом 1)-5) показателя ошибки
Уравнение (1) позволяет понять практический смысл a-оператора: а-оператор играет роль ''среднего& quot- для экспертных оценок х* и х». Иными словами, если х'- и х& quot- -две различные экспертные оценки, равноотстоящие по значениям показателя ошибки от истинного значения, то их среднее, как а (х?, хи), и будет являться истинным значением оцениваемою параметра. Существует ряд соответствий между некоторыми показателями ошибки и a-операторами (см [7]). Так, показателю ошибки Е (х, у)-|х-у| отвечает в качестве a-оператора среднее арифметическое значение х* и х& quot-, показателю Е (х, у)=|/"(х/у)| - среднее геометрическое, а показателю Е (х, у)=|х~у|/х — среднее гармоническое —
Иногда, имея предсгавление о природе оцениваемого параметра, удобнее первоначально построить a-оператор, а не показатель ошибки. В пользу предпочтительности данного подхода говорит и то, что одному tit-оператору отвечает
$
целый класс эквивалентных показателей ошибки Однако, задача построения показателя по «-оператору, вообще говоря, нетривиальна Ранее была доказана
геирена, fin іволяї. пцая ст pom ь показатель по nt-оігери г& gt-ру, имеіоіннму пил среднего пшешенно'-го Ю'-іечньї* экспертных оценок (см [71) IVureMirr пси проблемы г& gt- (мл геи *бщих случаях основная цель моего исследования
В моей работе булvt м.соматриваттхя, а операторы „і показатели ошибки только на одноточечных экспертных оценках, то есть множеі"вг& gt- допустимых истинных качений V оцениваемого экспертами парамеїра являек* по дмн& lt- „ж?а вом действительной оси R Причем, на множество допустимых & gt-м пері них шаднок Оудеі наложено ограничение связанности У ^ыв& amp-я в ьш те и итоженное замечание, как было доказано в [71 мо& gt-* ¦го корректно опре^'- ить а-оператор Естественным офазом возникает обратный „„чцюс описання в ф. *& gt-¦ мионалъных термин** „& gt-сти „& lt-, ev
V I •. (J 1 |
a-операторов {а}, тс '-сть, *ак по виду tp& lt- извольной функции & lt-ii% х“) понять,
• * ¦*.*. г, & gt- * * отвечает ли ей како?-*либо показатель ош ибки или нет При чгам, хотелось бы не
. *. f. в • • ч,
только уметь распознавать а-операторы, но п уметь по ним яоніггрукти& amp-н“ • строить
• •
соответствующие показатели ошибки Некоторые отвесы г& lt- ип вопросы удалось
• f „
получить,
: і. • f f %. k ,
• • •*. 1 4 • * I •
В первой части исс вдевания рассматривается вопрос распознавания м
• ¦ • а *
операторов, то есть нахождения их отличительных свойств, и некоторые из тгих біліти найдены, однако не удалось найти полной системы свойств, позволяющей однозначно утверждаїь, является ли та или иная функция ос-оператором Поэтому, во зго. ооГі части
. • • * I • ® „
вводятся определения условий & quot-нормальности“ и & quot-квазинормальностиа в пятой-
краевой монотонности & gt- которые накладывают вполне допустимые ограничения на
множество
и четвертая часть посвящены
изучению введенных свойств, а в шестой части докатываете я теорема о том, что если
• *? * * * произвольная функция, а удовлетворяет свойства м, полученным в первой части, и свойствам нормальности или квазинормальности и краевой монотонности, то она является а-оператором, при этом удалось получить в явном виде формулу
• 0 * * *
соответствующего показателя ошибки.
Таким образом, решена задача распознавания а-оператора и построения по нему
показателя ошибки для достаточно широкого класса а-операторов на одноточечных экспертных оценках
2. Три свойства а-оперяторя
Л
Целью этой части работы будет нахождение свойств а-операторов или ус нови й. которым они удовлетворяют Зная отличительные свойства & lt-д-операторов, мы сможем хотя бы предварительно, сказать по виду некоторой функции а (х ж& quot-), сможет ли она выступать, как среднее двух экспертных опенок х#, х& quot- или нет
Теоремя I. Пусть отображение а: ХхХ & gt-У является а-оператором Д-пя некоторою показателя ошибки, тогда
1) а (х ж4') ~ а (ж' х'), V ж*, ж’Ч-Х (условие симметричноеги) —
2) |Ып{ж ж"}^ а (х ж“)& lt- таж{ж ж"} V ж ж"& lt-=Х (условие среднего),
3) а (ж хи) покоординатно строю монотонно возрастает на X (условие строгой монотонности) —
и
Доказательство этой теоремы базируется на использовании определения а~ оператора и аксиом показателей ошибки
4
3. Нормальные и квазинормяльные а* операторы
В предыдущей части работы были получены отличительные свойства, а операторов, однако, полученный набор свойств не является полным, то есть не каждая функция а (ж', ж"К обладающая полученными свойствами, является а-оператором или усреднением экспертных оценок % хп Поэтому, приходится ввести ограничительные условия нормальности и квазинормальности на класс рассматриваемых а-операторов Этому и будет посвящена вторая часть работы Допустимость налагаемых ограничений
* %
будет объяснена ниже
Пусть ж“) — функция, удовлетворяющая условиям симметричности,
V-
среднего и строгого монотонного возрастания, тогда через, а '(у| хи) обозначим функцию, которая в точке у принимает значение ж то есть аи (у| ж**) является обратной функцией к а (ж ж“) при фиксированной координате ж& quot-. Областью определения такой функции будет множество {а (ж ж& quot-)| жЧХ} Корректность определения следует из
• •
условия строгого монотонного возрастания
Пусть хеХ, определим следующее множество:
A (x)={a (z, х) | zcX, z & gt-х} (2)
Лемма 1. Если х х& quot-еХ и х*& lt- хи, то xf& lt- аирЛ (х')? supA (х& quot-)
Замечание. В предыдущей лемме предполагается, что sup А (х) может принимать значение оо.
• У -: ** %
Лемма 2. А (х) представляет собой счетное дизъюнктивное объединение связанных множеств.
Определение 1 (свойство нормальности). Будем говорить, что а- оператор ot (xf, х“) является нормальным, если функция z — a (z, х) монотонно возрастает на множестве {zeX| г & gt- х}.
Определение 2. Будем говорить, что a-оператор & lt-х (х х“) является нормальным, если функция, а 1(у| х) — у монотонно возрастает на множестве А (х).
Эквивалентность данных определений следует из (2) и свойства строгой монотонности а~оператора.
'- х •. Ч •
Очевидно, стоит прокомментировать слово ''нормальный» в вышеизложенных
¦ ••
определениях, а именно, насколько нормальным является а-оператор, удовлетворяющий определениям 1, 2. Из свойства строгой монотонности следует, что,
при фиксированном значении a-оператора у ~ a (xf, х& quot-) и возрастающей, например,
•*ж.. *х •• •
первой координате, вторая координата будет обязательно убывать, то есть при фиксированном среднем значении экспертных оценок а (х х& quot-) расстояния oi экспертных оценок х х" до среднего а (х', х") могут возрастать или убывать только
v 9.
одновременно Однако, ниоткуда не следует, что, при фиксированном значении одной экспертной оценки и изменяющейся другой, расстояния от экспертных оценок х х" до среднего а (х*, ж") будут возрастать или убывать только одновременно, хотя данное свойство кажется вполне естественным Определения 1, 2 и определяют это естественное свойство нормальным. Более того, a-операторы. имеющие вид среднего взвешенного, среднего геометрического или гармонического, являются нормальными, что легко проверяется
Определение 3. Будем говорить, что а-оператор инвариантен относительно сдвига,
*
если для любых х х*'-еХ и любого 6 такого, что х'+6, ж& quot-+6єХ а (х*+б* хм+6) ~ а (ж'-, жи)+8.
Пример, а-оператор вида
• • * г
а (х% Iй) = р * юіп { ж'-, Xй} + ц тяж { ж*, ж& quot-}, где р, ц & gt- 0, р+ц = I, является инвариантным относительно сдвига
і
Утверждение I. Если а-оператор инвариантен относительно сдвига, то он нормален Определение 4 (свойство квазинормальности) Будем говорить, что а-оператор а (ж'-, ж& quot-) является квазинормальным, если существует такая непрерывная функция Ф (у) на X, причем строго монотонно возрастающая, что Ф (ж)-Ф (а (г, ж)) монотонно возрастает на множестве {геХ| ж& gt-х}
Определение 5. Будем говорить, что а-оператор а (ж, ж") является квазинормальным,
• • •
если существует такая непрерывная функция Ф (у) на X, что Ф (а (у| ж" - Ф (у)
монотонно возрастает на множестве Д (ж).
• • • • ¦ • •.
Эквивалентность определений 4, 5 следует из (2) и свойства строгой
• ••
, • монотонности а-оператора, а объяснение названия & quot-квазинормальный оператор& quot- будет дано ниже
N •
* • 4 • і
Пример, а -операторы
• • - '. •• • •
• і
а (ж*, х& quot-)= р тіп { ж*, х"} + ц таж { ж*, х& quot-}, а (х& quot-)= Ф Ч р Ф (тіп { х'-, х")) + ч Ф (тех { х'-, х& quot-})|,
• •, * '- •
где р+ч-1, р, ц & gt- 0, а Ф («) — непрерывная строго возрастающая функция, является квазинормальными а-операторами Стоит отметить, что функция а (ж', ж& quot-), имеющая вид среднего взвешенного в явном виде, а именно
, '- 15 I • ••
а (ж ж& quot-)= рж'-чч|х& quot-, где р* ½, не является а-оператором, так как не удовлетворяет условию симметричносги.
• *
Утверждение 2, Нормальный оператор является также квазинормальным
4. Свойства непрерывности нормальных и квазинормальных а-операторов
Утверждение 3. Квазинормальный а-оператор а (г, х) является непрерывным по первой координате на множестве {геХ| *& gt-*}.
То, что квазинормальный а-оператор а (г, х), как и нормальный, является обязательно непрерывным по первой координате на множестве {геХ (г& gt-х), частично объясняет, почему квазинормальный а-оператор называется квазинормальным Ниже
«
будет показано, что по квазинормальным а-операторам можно строить аналогично,
Р
как и по нормальным а-операторам, соответствующие показатели ошибки Лемма 3. Для нормальных и квазинормальных а-операторов множество Д (х) всегда является связанным и представляет собой интервал или полуинтервал вида Л (ж) * (ж, 81ф{а (г, ж)| жеХ, х& gt-ж}).
Доказательство. Так как а-оператор нормален или квазинормален, го из утверждения 3 следует, что а-оператор а (ж, х) непрерывен по первой координате на связанном множестве {хеХ, г& gt-ж }, таким образом, (см [4]) множество А (х) будет связанным, как
• • • • непрерывный образ связанного множества При этом из условия среднего и условия строгого монотонного возрастания а-оператора будет следовать, что А (ж)=(ж, 5ир{а (г, ж)| геХ, г& gt-х}).
5. Достаточные условия нормальности и квазинормальности а-операторов
• • •
Хотя условия нормальности и квазинормальности являются вполне допустимыми ограничениями на класс рассматриваемых показателей ошибки, зачасгую сложно Понять, удовлетворяет ли та или иная функция а (х х& quot-) условиям нормальности или квазинормальности В этой части работы будуг сформулированы и доказаны
# • • «некоторые достаточные условия нормальности и квазинормальности операторов Утверждение 4* Пусть для любых ж, геХ, & lt-г а-оператор а (*, х) имеет частную производную по первой координате в точке г а'(г, х), гоита, а оператор нормален тогда и только тогда, когда
a'(z, х)& lt-1.
Утверждение 5. Пусть для любых х, zeX, x& lt-z a-оператор a («, х) имеет частную производную по первой координате в точке 7 а'-(г, х), тогда a-оператор квазинормален со всюду дифференцируемой на X функцией Ф (х) тоща и только тогда, когда Ф'- (z) & gt- a'(z, х) Ф'(а (г, х)).
6. Условие краевой монотонности
Во второй части работы были введены условия нормальности и квазинормальности, накладывающие некоторые ограничения на класс рассматриваемых a-операторов Однако и эти условия вместе с условиями среднего, симметричности и строгого монотонного возрастания не составляют системы условий, определяющих a-оператор Введем еще одно ограничительное условие (условие краевой монотонности), которое вместе с предыдущими условиями уже будет определять а-оператор.
Определение 6 (условие краевой монотонности) Оператор а (х х») удовлетворяет условию краевой монотонности тогда и только тогда, когда) если sup X = оо, то sup А (х) = оо-
4 •
2) если sup X & lt- да, то sup А (х) строго монотонно возрастав! на X
Слоит прокомментировать допустимость ограничений, накладываемых условием краевой монотонности на класс рассматриваемых a-операторов Если sup X ~ on, го это означает, что эксперт может давать сколь угодно большие оценки В этом случае, кажется вполне естественным, что a-оператор, как среднее двух экспертных оценок, может принимать сколь угодно большие значения при фиксированной одной из них. То есть, усреднением бесконечности и конечной экспертной оценки является бесконечность Иными словами, конечная и бесконечная экспертные оценки не могу* быть одинаково хорошими оценками конечного истинного значения у. Именно это ограничение накладывает условие sup X — & lt-л. Если sup X & lt- оо, то из условия среднего
-v* •
следует, что sup А (х) & lt- «ю Vxt-X
По лемме I функция sup Д (х) монотонно возрастае» па X, однако, ниоткуда не
следует строгое монотонное возрастание, хотя, это свойство кажется вполне естественным. Если sup X еХ, то есть множество допустимых экспертных оценок X имеет максимум, то строгое монотонное возрастание sup Л (х) следует из условия строгого монотонного возрастания a-оператора, так как sup Л (ж) = а (х, max X). Если же sup XgX и функция sup Л (х) имеет участок постоянства Х|& lt- х& lt- х2, то при
различных оценках Xi х2'е (хь х2) и экспертной оценке хи близкой к sup X, ofo'-, хи)"а (х2*, хи), то есть средние принципиально различных пар экспертных оценок (ii хм), (ха хн) могут быть сколь угодно близки, что кажется мало приемлемым Таким образом, условие краевой монотонности представляется вполне допустимым ограничением на класс рассматриваемых а-операторов
7. Построение по а-оператору показателя ошибки
Содержательной частью следующих теорем будет построение по произвольному отображению а (х х,!), удовлетворяющему условиям симметричности, среднего, строгой монотонности и некоторым ограничениям, показателя ошибки
Замечание. Следующие теоремы будут формулироваться для нормальных и
квазинормальных а-операторов, поэтому следует учитывать, что согласно лемме 3
• 1 * *
множество У представимо в виде дизъюнктивного объединения трех связанных
компонент:
Теорема 2. Пусть а: ХхХ-«У удовлетворяет условиям симметричности, среднего, строгой монотонности, нормальности и условию краевой монотонности, тогда функция
является показателем ошибки, причем функция а (ххм) является его а-оператором Теорема X Пусть ш ХхХ-*У удовлетворяет условиям симметричности, среднего, строгой монотонности, квазинормальности с функцией Ф («) и условию краевой
Y- {у€Y| у? х} Л (х) v {yeY| у*Л (х), у& gt-х}.
Е (х, у) — х-у
— о '-(у| *Ьу * sup X • sup Л (х)
если у & lt-х- если уєЛ (х) — если у $ Л (х), у& gt-х,
ЦОНОТ0ННОСТИ, тогда функция
Е (х, у)~Ф (ж)-Ф (у), если у & lt- ж-
=Ф (а'(у|ж))-Ф (у), если уеЛ (ж) —
— Ф (зирХ)-Ф (*ор Л (ж)& gt-, если у е Л (ж), у& gt-ж-
является показателем ошибки, причем функция а (ж'-, жи) является его а-оператором Доказательство. Доказательство этой теоремы, совершенно аналогично доказательству предыдущей теоремы, гак как функция Ф (*) является гомеоморфизмом множеств X и Ф (Х) и естественный линейный порядок на Ф (Х) совпадает с линейным
• •
порядком, индуцируемым отображением Ф (*).
г •
Литература:
• * t-» • *
[1]Биркгоф /' Теория решеток М.: Наука, 1984.
• «•
[2] Буздалнп А. В. Верификация прогнозов: Случай многоточечных экспертных оценок //Формирование новой парадигмы обществоведения, М.: Международный фонд Н.Д.
• **
Кондратьева, 1996,
v .* •
[3J Буздалин А. В. Близость и порш) ки Управление большими системами. М.: ИПУ РАН, 1997. С. 369
Z •
[4] Кудрявцев Л. Д. Краткий курс математического анализа. М.: Наука, 1989.
[5] Литвак Б Г. Экспертные щепки и принятие решений. М- Патент, 1996.
к
[6]Миркин Б. Г. Проблема группового выбора. М.: Наука, 1974.
4 * • • '- «
• % • *
т Сидень ников JOB Теория и организация экспертного прогнозирования. М. :
ИМЭМО, А Н СССР. 1990.

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой