Сравнение значений числовых выражений

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Физико-математические науки


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

ИНТЕГРАЦИЯ ОБРАЗОВАНИЯ
*> V V
«д ^
СРАВНЕНИЕ ЗНАЧЕНИЙ ЧИСЛОВЫХ ВЫРАЖЕНИЙ
З. Я. Якупов, доцент кафедры физики и математики Казанской
сельскохозяистеенной академии.
А. З. Якупов, студент кафедры ЛСОІТУ Л/ГУ им. Н П Огарева
Думаю, что и для других людей
На школьных факультативных занятиях, олимпиадах различного уровня, а также на вступительных экзаменах нередко используются задачи на сравнение действительнозначных числовых выражении без использования вычислительных средств (таблиц, калькуляторов. ПК и др.).
Сравниваемые выражения всегда связаны одним из отношений: больше»,
«меньше» или «равно», а сами выражения могут быть как однотипными, так и разнотипными по форме записи (в функциональном смысле). Например, выражения 2'-'- и З’оо буЛем считать однотипными, а выра-
жения4 и ч 17 разнотипными.
Условно, по главной идее сравнения выражений, выделим следующие наиболее часто встречающиеся методы:
1) метод разности-
2) метод частного,
3) меюд вставки-
4) метод тождественных преобразовании,
5) фу нкционально-графическин метод-
6) метод «готовых» неравенств.
Условность названий предзагаемых
способов сравнения числовых выражений очевидна уже в силу того, что в «чистом» виде каждый из этих методов встречается очень редко Например, преобразования как таковые присутствуют всегда и везде, а использование основных свойств числовых неравенств просто необходимо при сравнении числовых выражений почти в любой ситуации. Скорее следовало бы говорить о комбинации указанных выше способов сравнения, но мы все же будем стараться придерживаться приведенной ранее у слов-ной систематизации, проиллюстрировав применение каждого из методов рядом примеров Подобное перечисление способов дока-
о кажете я
Лукиан
зательства неравенств приведено в книге И. С. Петракова (Математические кружки в 8−10 классах. М. 1987. С. 89).
Вкратце охарактеризуем каждый из методов сравнения значений числовых выражений.
I. Суть первого метода заключается в установлении знака разности сравниваемых выражений. По этому знаку и делается соответствующий вывод.
Пример 1. Сравнить числа, а =, 3 н
Ь = !о9.
Рассмотрим разность
а — b = log, 3 — log* 9 = log, 3 — log*
log, 9
log, 6
log- 3- log, 6 — 2 log, 3 log, 6
_ log- 3 (log, 6−2) log, 6
Значит, a & gt- b Пример 2. Что больше:
& gt-0.
%, 9978 + 79 981 ИЛИ V 9979 + 79 980 ?
Вычтем из первого числа второе- после перегруппировки каждую разность радикалов одновременно у множим и разделим на их сумму, а затем для числителей получившихся дробей используем формулу разности квадратов двух чисел:
(79 978 + & gt-, 9981) — (ч 9979 + 79 980) =
(79 981 — 79 980)-(79 979 + 79 978) =
(79 981
9980 К V 9981 + 79 980)
79 981 * % 9980
(c)З.Я Якупов, А. З. Якупов, 2001
4, 2001?
(V9979 — л/9978Кл/9979 + л/9978)
л/9979 + л/9978
1
1
/9981 + л/9980 л/9979 + л/9978
В последнем выражении знаменатель первой дроби больше знаменателя второй дроби, поэтому исходная разность отрицательна- следовательно,
л/9978 + л/9981 & lt- л/9979 + л/9980.
2. Для двух (чаще всего однотипных) выражений, А и В рассматриваем, например,
отношение — & gt- 0. Сравнивая его с едини-
В
цей, делаем соответствующий вывод о соотношении чисел, А и В.
Пример 3. Доказать, что
1о& amp-10>-1к 11.
Рассмотрим дробь А
Igll
log, 10
Ясно, что, А & gt- 0. Нужно доказать, что А& lt- I.
Для этого достаточно доказать,
Га & lt-1. Используя свойство логарифмов при переходе к новому основанию и неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим, получаем
что
л/Л
lgll
log, 10
л/lgll lg9
& lt-
& lt-
(lgl 1 + lg9)
lg 99 IglOO
2 & lt-
1
Ja
тельно 1о10& gt- ^ 11.
3. Метод вставки, как правило, заключается в нахождении числа, раздел я юще-
Оба логарифма больше 1, но меньше 2. Подберем такое рациональное число ц, которое бы разделило данные числа, т. е. было бы больше одного из них и меньше другого числа. В качестве такого числа q
3
попробуем взять — Действительно.
log, 3 & gt-
3 2-
3
так как 3 & gt- 22. 3: & gt-2
а
log з 5 & lt- -. Так как 5: & lt- З3.
Таким образом log, 3 & gt- log. 5.
— 127-
Пример 5. Что больше- 12& quot-: или 513 я? Очевидно, что
1212- & lt- 128: ,=2161 & lt- 2|62= 512 * & lt- 5 13
Пример 6. Сравнить числа 1о§,
и
1,1.
Имеем
log, 3 & lt- log, 1 = 0 = log, 1 & lt- log, 1. 1
2
Пример 7. Доказать что
А = 15+ л/30 + /50 & lt-В= л/То 20+ л60.
Сначала оценим каждое из слагаемых суммы, А с точностью до единицы.
Имеем
2 & lt- л/5 & lt- 3, 5 & lt- л/30 & lt- 6, 7 & lt- ч 50 & lt- 8,
т. е.
14 & lt- л/5 + л/30 + v 50 & lt-17. Итак,
14 & lt- Л & lt- 17.
Теперь оценим каждое слагаемое из В также с точностью до единицы.
Имеем
3 & lt- л/Т0 & lt- 4. 4 & lt- л/20 & lt- 5. 7 & lt- л 60 & lt- 8.
т. е. 14 & lt- л/10 + л/20 + % 60 & lt-17.
Итак. 14 & lt- В & lt- 17.
Получили одни и те же оценки хля чи-
сравниваемых числа. При этом так- сел ^ и ^ что не позволяет сравнить эти
величины друг с другом. Поэтому учень-
частей. состав-
)щих то или иное выражение. Пример 4. Сравнить log
шим точность оценки каждого из слагаемых сумм, А и В. Возьмем точность 0,1.

ИНТЕГРАЦИЯ ОБРАЗОВАНИЯ
И моем
2,2& lt- 5 & lt-2,3, 5,4 & lt-v 30 & lt-5.5. 50 & lt-7.1.
Аналогично
т.п.). При этом также используются известные свойства числовых неравенств.
Сравнить числа
Пример
11
3,1 & lt-ч 10& lt-3,z 4,4& lt- 20& lt-4,5, 7,7& lt-ч60<-7. 8
и 15,2 & lt- В & lt- 15,5.
Следовательно, А & lt- В.
Пример 8. Сравнить числа log, 150 и
log, 290.
Имеем
log 150 & lt- log, 169 = logi}l 3: = 2 =
= log (717'-=iogl7289& lt-log 7290. Пример 9. Сравнить числа
А = & gt-/26 + Л и 5 = 13 + V I7
Предположим, что. -1 & gt- В. Тогда, используя свойства числовых неравенств (А, В & gt- 0). получаем
(У26 + 6)& quot- & gt- (VI3 + V17)'
32 + 2-/l56 & gt-30+ 2 221.
1 + VI56 & gt- V 221,
log
1

/
Д15 + v2 j
и 1оВ
1
(1 + /Ї56): & gt- 221. vi56 & gt-32.
80
Итак, А & gt- /?& lt-=>- 156 & gt- 32.
И м с е м
log
1

Д 5 + Л
& gt- log
1
J
16
4
log
1

і
81
& gt- log
1
і
80
Но 7156 & lt-32 Значит, и исходные числа связаны тем же неравенством, т. е. А & lt- В Пример 12. Что больше 1002 — 99-н- 98--97-+…+ 2: — 1- или 5000? Преобразуем исходное выражение:
1 00- - 99: + 982 — 97-'+…+ 2: — 12 = =(1 00+99)(1 00−99)+(98 + 97)(98−97)+ +… +(2+1)(2−1) — 100 + 99 + 98 +…+ 3 = = 5047 & gt- 5000.
так как
15 + v-2 & gt-16.
Пример
13
Сравнить число
Метод вставки также называют «ме- 0,99 999 100 001 1. 0001
0. 99 999
с единицей
тодом разделения», так как в процессе решения задачи находится величина, разделяющая данные два числа. Этот метод иногда реализуют и в другой форме: определяют та кое натуральное число п. при умножении на которое сравниваемых чисел 5 и / получают числа п. ч и ш такие, что меж-д ними находится хотя бы одно целое число Однако метод вставки реализуется с грузом, если сравниваемые числа очень близки др г к другу, как, в частности, в примере 3
Пример 10. Сравнить числа, 4 и
1о& amp-6.
Обозначим, А = 0,1. Тогда
0,99 999
1. 1
• 1,0001°-99 999
(1-Л)и4(1 + Л)
1-А
Пример
1 + Л
?4
Сравнить число
+
л/Тз — д/7-V13 — Л
с нулем.
Имеем
Имеем: 5log. 4
loe, 729 = log, 3'=6
5log, 4 и flogjo. Iog. 45 = log, i 024 & gt- log 56= log, 4 и 5log& lt-6.
+ yf3 — v7 — vi3 — I2
Значит, iog, 4 & gt-, 6.
4. Метод тождественных преобразовании подразумевает равносильное преобразование сравниваемых выражений или одного из них к некоторой «упрощенной» фор-
13 + 2у13 + 1
1
2& gt-?n +1
2
13 + l-v'-l

-& gt-
1−2
множители
2
о
2УУ у V & quot-/V
'. 4Г^^^^л7^^^ЛЛ^Л^г+4Г+ ¦ ¦.¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦. ¦ ¦ ¦ ¦ ¦¦& gt-¦¦*¦
Ш8& amp-№ 4, 20 011
При решении этого примера также можно было использовать формулу сложного радикала, справедливую для любых
А, В € Я, таких, что, А & gt- Л?, В & gt- 0:
•1а±у[в
А + у[Ж^В, ІА-УІА'--В
----------- 4-
2
Пример
15.
2
Сравнить число
+ gtg2& quot- +… + ^/#89° с нулем.
Поскольку (gA^ig
л
2
А
1 для
любого, А є
0-
к
2
, то
^/^1° +1§/^2° + … + 1в#89(' =
= 11° #89° /?2° #88° …
--^44°-^46°-^45°) = ^1=0.
Пример 16. Доказать, что 2,8: :+ 1 больше 1 ООО ООО.
Запишем
2'-, в-+ 1 = (2,8: + 29Ч2+ I) — 2чч: = ((2991 +
+ 1) — 24%): = (2491 + 1 + 2446) (г4″" + 1 + 2^) & gt-
& gt- I ООО 1 ООО = 1 ООО ООО.
5. Функционально-графический метод основан на использовании функциональных (например, непрерывности, монотонности, выпуклости и т. п.) и геометрических свойств сравниваемых выражений. Пример 17.
доказать.
что
бш 20°
& lt-
7
20
Разделим единичный круге центром
секторов
сектора
к
1
гг площади единичного круга, т. е. -
1 О I О
Рассмотрим ДАОВ. Его площадь равна
— • ОА ¦ ОВ • біп /. АОВ = - - біг" 20°
И,
очевидно, меньше площади сектора АОВ
1 ^
Следовательно, — зіпіО & lt- -
2 18
т. е
8Іп20° & lt- -
9
тс 7
Поскольку — & lt- -, получаем, что
$?1120°
& lt-
7
20
Рис. I
Пример
18.
Доказать.
что
8Іп20° & gt-
I
3
График функции у = $?11 .г на отрезке
0-
к
6
является выпуклым вверх, поэтому
при всех X е
0-
6
он расположен выше
3
графика прямой у = - х, проходящей че-
71
рез его концевые точки с координатами
п 1
(0- 0) и I Т' & quot-9 I (Рис- 2). Следовательно.
при всех х е
ж
0- - [выполняется неравен-
У
і
2
sin
і
З
>
3
ство sin x & gt- - x. Полагая в этом неравен-
л
Рис. 2
л
стве х = -. получаем
9
* ллО ^ 3 Л 1
БШ 20 = БШ — & gt------------= -
9 л 9 3
Пример 19. Что больше: 1 986
I 985'-Эд6?
І чи
или
Сравним числа, полученные после извлечения корня (1 985 1 986)-й степени из
есь
данных чисел: |9®-У1986 V |9®-^1985. Зл
и далее значок «V «означает неопределенное неравенство. Заметим, что указанные
і
у = Xх прих = 1 985 их = I 986. Производ-
I
-2
ная этой функции у'- = х* (1 — 1пх) отрицательна при х & gt- е, так что на промежутке
I
Так как х & gt- 0, то, логарифмируя обе части неравенства, получим: х& gt-е-пх,
, ^ е • 1п х «» ,
или 1 & gt---------. Действительно, функция
X
у = - * (х & gt- 0) достигает наиболь-
X
шего значения (у = 1) в точке х — е (дока-
€ • 1п X
жите!). Поэтому 1 & gt------------ (х & gt- 0) и
х
е* & gt- хс (х& gt- 0). Положив х = /г, получа-
& lt- к
ем требуемое в условии примера неравен-
выше корни являются значениями функции СТВО.
Пример 21. Доказать, что
log3 3 log36
ІШШШшя. чиї і #.
log3 5 log3 7
* • #
log3 80 1
log3 81 2
Функция /(х)
logjX
logj (x + l)
при X & gt- 1
(е- + оо) функция у — х х убывает. Поэто- возрастает (почему?). Обозначим правую му «^?986 & lt-, 98^1985, а значит,
часть исходного неравенства через А, А & gt- 0.
1 986'-985 & lt- 1 985м*6.
Пример 20. Доказать, что е* & gt- лс Сначала сравним две функции е1 и х*,
доказав, что е* & gt- хе (х & gt- 0).
Те
Пусть
В
log3 3 log3 5 logj4 Iog, 6
log3 79 logj 80
Так как, А & gt- В, то А2 & gt- ВА
log33
1
logj 81 4
и, А & gt-
1
2
6. Метод «готовых» неравенств (по главной идее, лежащей в основе) опирается на использование уже известных неравенств, доказанных ранее в общем виде, а также базируется на приеме усиления очевидных (числовых) неравенств.
С этой точки зрения взглянем на некоторые рассмотренные выше примеры.
В примере 3 можно было сразу использовать готовое неравенство
1оё"(а + 1) = 1ов"+|(с/ + 2).
справедливое при любом вещественном и & gt- I.
В примере 19 можно было применить неравенство, верное при любых натуральных т ^ 3 — (м + 1) & lt- /я
В примере 20 мы предварительно доказали неравенство общего вида, опираясь на свойства функций, а потом использова-
ли его.
Иногда
полезно
неравенство
lg (n +1) & gt-
3
Юл
любом натуральном п.
Пример 22. Какое число больше: 99! ил и 5 О94?
Используем известное неравенство между средним геометрическим и средним
арифметическим неотрицательных чисел. Тогда
99= (1 • 99) • (2 • 98) • (3 • 97)•(49 51) • 50 & lt-
1+99-V 2+98V
2
2
'-3+97
/
49+ 51
V
2
50=
502 • 502 … -502−50 = 50
То есть 99! & lt- 50& quot- Пример
99
23.
Что
больше
1 3 5
2 4 6
• «I
99
100
1
или
10 '-
Обозначим произведение дробей через, А и рассмотрим усиление неравенства в выражении
А
1 13 3 5 5
¦ • Ні • - • Ш* Ш •. ¦ «¦»
2 2 4 4 6 6
99 99
100 100
& lt-
1 2 3 4 5 6
99 100
1
2 3 4 5 6 7
100 100 100
т. е. А2 & lt-
Значит, А & lt-
100
10
+ lgw, справедливое при 0,01?
Пример 2−4. Что больше: — sin 22 или
Воспользуемся неравенством sin г & lt- х. верным для любых г & gt- 0. Кроме того.
22−0. 01 & lt-7 3. 1415 & lt- 1л & lt- 7 3. 142 & lt-22
Значит,
-sin 22 = sin (22 — ln) & lt- 22 -7,т & lt- 0,01.

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой