Разработка конечно-разностного регуляризованного решения одномерной обратной задачи, возникающий в электромагнитных процессах

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Физико-математические науки


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

^Г, Сибдк
м'-и'-и '-. яЬаагШо
ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ
СЕКЦИЯ
«МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ, ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ И КОМПЛЕКСЫ ПРОГРАММ»
РАЗРАБОТКА КОНЕЧНО-РАЗНОСТНОГО РЕГУЛЯРИЗОВАННОГО РЕШЕНИЯ ОДНОМЕРНОЙ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ, ВОЗНИКАЮЩИЙ В ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ПРОЦЕССАХ
Маматкасымова Алийма Торожановна
старший преподаватель кафедры «Информатика» Ошского технологического университета, Кыргызская Республика, г. Ош
Сатыбаев Абдуганы Джунусович
д-р физ. -мат. наук, проф., заведующая кафедрой «Управление и информатика в технических системах» Ошский технологический университет, Кыргызская Республика, г. Ош

FINITE DIFFERENCE REGULARIZED SOLVE DEVELOPMENT OF ONE-DIMENSIONAL INVERSE PROBLEM ARISING IN ELECTROMAGNETIC PROCESS
Aliyma Mamatkasymova
senior lecturer & quot-Informatics & quot- Osh Technological University,
Kyrgyzstan, Osh
Abdugany Satybaev
dr. of phys. -maths. sciens., Professor, Head of the Department & quot-Management and informatics in technical systems& quot- Osh Technological University, Kyrgyzstan, Osh
АННОТАЦИЯ
В данной статье построено конечно-разностное регуляризованное решение одномерной обратной задачи уравнения Максвелла.
ABSTRACT
Finite difference regularized solve of one-dimensional inverse problem of Maxwell'-s equation had been made in this article.
Ключевые слова: Электромагнитные процессы- уравнения Максвелла- конечно-разностная регуляризация.
Keywords: Electromagnetic processes- Maxwell'-s equations- finite difference regularization.
Постановка задачи. Электромагнитные процессы во многих случаях описываются системами уравнений Максвелла.
В работе [1] обратная задача для системы уравнений Максвелла приведена к об- ратной задаче с прямолинейной характеристикой
o2V (z, t) _ o2V (z, t) oz2 ~~dt2
(e (z) m (z))'--^-v h m (z)
oV (z, t) +
oz
(1)
+Sz). EVM + PiSU 0(t) — (z, t) e R2
e (z) ot e'-(z) e (z)
V (z, t)|t& lt-o ° 0, z e R+ (2)
Пусть относительно решения прямой задачи задана
V (2,г) 0 =, t е [0,2^ (3)
и=0 е (0) 1 1
Пусть относительно коэффициентов уравнения выполнены условия
(ёф, ?(*), ст (2))еА0 (4)
где:
А (0) =

ст (+0) = 0, 0 & lt-М1 & lt-ст (2) & lt- М2, ||ст (2)|С2(^) & lt-Ы^
р (г) еА (5)
А (1) = (р (г): р (1) е C1(R+), ||р (г)||С] & lt-М5, р (г) & gt-М4 & gt- 0)
Тогда, т. к. уравнение (1) является гиперболического типа, задачу можно рассматривать в области [1]:
Д (Т) = ((г, г): 2 е (0,Т), & lt- г & lt- 2 Т -|) (6)
Обратная задача. Определить ст (г) -электропроводимость среды при известных значениях: т (2), е (г) -магнитной и диэлектрической проницаемости и р (г) p (t) — ток в кабеле, а также дополнительной информации о решении прямой задачи (3).
Обозначим через
г
ё (2) =(е (2) т (2)х'--т^.
Выделим теперь сингулярную и регулярную часть решения прямой задачи (1) — (2) по методике В. Г. Романова, для этого представляем решение задачи в виде [2]:
V (z, г) = V (z, г) + Б (2)в (1-| + Я (2Щ (г-| г|), (7)

где: У (г Л) — гладкая непрерывная функция, 0(0 9(1) Хевисайда. Из (7) получим
Г'-,'- (г Л) = У,(гЛ)+8(2)8(1 — |г|) +Щг)в (Г — |г|),
р- (г Л) = ?"Ш) + 8(2)8'-(Г — 2)+Я (2т — |г|). У- (2 Л) = Уг (2Л) + 8'- (2)в (Г -г) — Б (г)8(Г -+ +Я-'- (2)в,(1 —) — Я (2)в (Г — 2),
Г- (г. О = V. (г, 0 + 8=& quot- (2)0(1 — |г|) — 2 Б'-(2)8(1 — 2) + Б (2)8'- (Г — |*|) + +Я-& quot- (2)0, (Г — 121) — 2Я- '- (2)в (Г — 121) + Я (2)8(Г — 2).
Подставим последние выкладки в уравнение (1), и тогда получим
У: (гЛ) + 8(2)8'-(Г — |г|) +11(2)8(1 — |г|) =
= *)+& amp-/'- (2)0(1 — |г|) — 2 Б'-(2)8(1 — 2) +
+? (2)8 '- (/ -| 21) + (2)вх (1 -| 21) —
-2к[ (2)0(1 — |г|) + К (2)8(г — |г|) + 8(2)Т (г, О +
+?(*)? (2)0(1 — 2) — 8(2)Б (2)8'-(Г — 2) + (8)
+Я (2)Я2 '- (2)0, (/ - 121) — Я (2)Я (2О — 121) —
8(2) '- 8(2) '- М Г
-Щ Я (2)0(/-| 2|)-М) 0(,)-ер- 8″. е (2) е (2) е (2)
Собираем коэффициенты при одинаковых
8(/ -12|), 0(1 -2), 0,(/ -12|) и приравниваем их к нулю:
м'-и'-и sibacinto
8: 2Бг (2) +
8 (2) 2)
е (2)
Г Г /
в: ^ + 8(2)^2 (2) — 2Ж (2) —
п г
в: К (2) + 8 (2)Яг (2) = 0
5 (2) + = 0,
е (2)
8 (2)
е (2)
Ж 2) + ^^ = 0,
е (2)
Тогда получим задачи (при этом учтем начальное условие)
5 (2) — ^
8 (2) + ТТ. е (2).
5 (2) +1 р^ = 0, 2 е (2)
5 (0) = I р (0)
2 е (0)
Ж (2)+2
8 (2) + ?) е (2)
1 & quot- 1 '- 1 п (2) Л (2) = 1 ^ (2) + - 8(2)52(2) — 1 ^^,
2 2 2 е (2)
(9)
Ж (0) = -1 8(0) + ^ 1 Ж — -
21 е (0))ё (0) 2 е (0)
(10)
Решая первую систему, получим
1 р (0) 1 гр (Х) 1 г
5 (2) =-
2 Jo е (Х) 2 Jo
2 е (0) 2-& gt-° е (Х 2-«& gt- Решая вторую систему, получим
8 (X) +
ё (Х).
5 (??1 (11)
Ж2) = 1 (8 (0) + ^ 1 р (0) -1 ^ +
2^ е (0)0е (0) 2 е (0)
1 '- 1 {2 '- + 2 52 (2) + 210 8Х)^ (XX-
-1Г 1 г2
2•'-о е (Х) 2-& gt-°
8(Х) +

(12)

Учитывая, что =0, а также выше полученных
выкладках получим следующую обратную задачу с прямолинейной характеристикой:
у= (г, г) = у (г, г)+я ((г, г) + +
Я (Г) + 2 + _Р^
5 (I) е (I), Б (I)
(2,1) еД (г)
у (2,г)(13) е (I)
у (2,г)| = 5(2), I е[0,Г]. (14)
У (2,г)2=0у ^[0,2Т]. (15)
Здесь обратная задача заключается в определении функции
У (I, t), Б (I) при известных функциях е (I), ^(Х) (она зависит от известных функций т^) и е (I), при известной функции /(г) -дополнительная информация о решении прямой задачи.
Если мы определим функции Б (I), то по формуле
= -я (е) -Г ^^+_р (±_ ^е^), (16)
I, Б (I) Б^е! 0
можем определить и неизвестную функцию ст (I).
Используя формулу Даламбера для прямой задачи (13),(14) получим решение этой задачи
У= (I, г) =-[ / (г +1)+/ (г -1)] +
2е (0) 1
1 /-I г г+1-X
2 -10 '-г-^Х
8(?)У. (X-) +
я (X)+2-^ + Б (X)
, р (Х)
е (Х), Б (X)
у- (Х, г) — 4-)
е (Х)
йтйХ. (17)
С1
1 СибАК
м'-и'-и '-. яЬаагШо
Отсюда, при t = г, то получим
К (2, 2) ° 5(2) = е) [/(22) + /(0)] +
1 Г 2 Г22-Х
-1121 2 -& gt-0 ?х
Я (ХГх (Х, Т) +
5ХХХ)
Я (X) + 2+ 5 (X)
, р (Х)
е (Х), 5 (X)
у- (Х, г) — 4(Г)
е (Х)
. (18)
йтйХ.
Конечно-разностное решение. Введем сеточную область для решения задачи (13) — (15)
Дк (Т) = -х1 = '-к, tk = кк, к = -- '- = 0, N, 1к & lt- кк & lt- Т — 1к
где: к сеточный шаг по X, t
Напишем разностный аналог дифференциального уравнения (13)
у+ - 2ук + у= Ук+1 — 2ук + Ук+1
& quot- Я,
ук — у ук+1 — ук у-^ + е. -^ '-

Р — Р 2ке
(19)
, (2, tk) еДк (Т)
где:
е = а + 2 + Р
к5 е
(20)
Отсюда получим
у+1=у г1 + у 1 — у-1 + кя (у к — у--1)+
/т/к+1 Т/к-Л (к+1 к-1
+кв& lt- (у — у) — к (Р — Р)


'- = 1, N -1, к =, N -1
2
2
к
к
к

Из последних выражений можно получить рекуретную формулу [3]
у,-1 = У- + 2 + у-1 — У-+1 + ^ (У-+1 — у- + ,) +
— У-1) — И ,
2 А 2е-1
,= 2,^ - 2, к = г -1, N-г-1-
ук-1 = у-1 + у--2 — у--1 + кя ,-1(у--1 — у--1)+ ь (у-1 — у--2) л рк — рк-2)
+ке. --- - к---,
2 2е-1 -1
г= 2, N — 2, к = , — 2, N
Подставляя последние выражения последовательно в правую часть (21), а также опять же записывая такую же рекуррентную формулу и ее поставляя в (21) и продолжая это процесс получим разностный аналог интегральной формулы Даламбера (17)
(/+'-+4 /-'--1),уу 2
у+1=--^-+иЦ 8 М (У: -,-т+2 р — укл-т+2 р)+
р=1 т=1
(у к-г-т+2 р+1 — у к-г-т+2 р-1). р (рк -,-т+2 р+1 — рк-,-т+2 р-1)
+ИЦ^-^-& gt- -кХХ^-^-~& gt-
р=1 т=1 2 р=1 т=1 2е т
, р
,= 1, N -1- к = г, N — г.
(22)
Пологая в последней формуле (22) к = + 1и учитывая формулы (14), получим разностный аналог интегральной формулы (18)
(/2'-+2 +), „
Б,+1 = 1, 7+ кЦ 8 т {у-т+2р+1 — ут7−1+2 р+1) +
2 р=1 т=1
р (у-т+2р+2 — у-т+2р) ! р (р-т+2р+2 — р-т+2р) _
У -т-1-кУУ^--р-,= 1, N-1-
. (23)
+иУУт--^-- иУУ 2е
р=1 т=1 2 р=1 т=1 т
Естественные и математические науки в современном мире пщ'-М'-. яЬааМо_№ 1 (36). 2016 г.
Таким образом (22) и (23) составляют систему разностных нелинейных уравнений второго рода.
В разностном аналоге (22) мы записали без малых величин о (и).
Таким образом, для формулы (22) с малой величины о (н) можно получить такие же формулы как (22) и (23), но с малой величиной 0(1т). Обозначим решение с малой величиной 0(1т) через У*+1 и.
Тогда для У^ = - и = 5& quot-,. получим следующее:
-к, хЪ? Т7к-,-т+2Р ~к-,-т+2р
У,+1 = 8ЛГт — ?т-) +
р=1 т=1
/-к-,-т+2 р+1 -к-,-т+2 р-1
XX еЛУт — Vт) + О (И)
Р=1 т=1 У '-
т '- '- т-
. рР=1 т=1 (24)
/-к-,-и+2 р+1 -к-,-т+2 р-1 ---
+й?Х (V“ — V») + О (А), '- = 1, N -1- к = г, N -,.
р=1 т=
о, /тт-т+2р+1 --т+2р+Л
Б+1 = кХХ V — Vm-l) +
_ /=1 т=1 (25)
+ЬХХет (VГ+2р+2 — VГ+2р) + О (Н), г =
р=1 т=1 V '-
Введем обозначения
О = шах|g?I, Р = тах рк, Е = шш |е. |, = тах Ук, , = 0, N-
г=0, N к=0,2^ 1 ?=0,^ 1 k=?, 2N-1^ 1
Б, = шах |5,|, Б, = тш |5. |,
п лI I — -_п ЛГI I
(26)
Учитывая эти нормы из (24) и (25) получим оценки
2 м & lt- 2hоn x гр + 2шох гр + 2шерх 2рбр + о (н) (27)
р=1 р=1 р=1
Б,. +1 & lt- 2hОNX 2Р + 2ШОХ 2р + 2МЕРХ 2Р + O (h) (28)
р=1 р=1 р=1

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой