Об одном классе алгебраических уравнений, не имеющих рациональных решений

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Физико-математические науки


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

Об одном классе алгебраических уравнений, не имеющих рациональных решений Кочкарев Б. С.
Кочкарев Баграм Сибгатуллович /Kochkarev Bagram Sibgatullovich — кафедра высшей математики и математического моделирования, кандидат физико-математических наук, доцент Институт математики и механики имени Н. И. Лобачевского, Казанского (Приволжского) федерального университета, г. Казань
Аннотация: строится счетный класс (параметром служит степень уравнения n) алгебраических уравнений и доказывается, что все уравнения этого класса при n& gt-3 не имеют рациональных решений. Предлагается алгоритм, который для любого конкретного n& gt-3 определяет не рациональность решений соответствующего уравнения из класса. Доказывается, что решенная в работе проблема является эквивалентом доказательства известного утверждения П. Ферма (Великой теоремы П. Ферма) без использования эллиптических кривых в геометрии Евклида. Abstract: we build the countable class (parameter is the degree n of the equation) of the algebraic equations and we prove that all equations of this class not have the rational decision at n& gt-3. We propose an algorithm which define for any concrete n& gt-3 that the corresponding equation from class not have the rational decisions. We show that the problem which is decided in this work is equivalent of proof of the well-known affirmation Fermat'-s Last Theorem without utilization of elliptic curves in Euclidean geometry.
Ключевые слова: диофантово уравнение, алгебраическое уравнение, параболическая геометрия, гиперболическая геометрия, эллиптическая геометрия.
Keywords: diophantine equation, algebraic equation, parabolic geometry, hyperbolic geometry, elliptic geometry.
Памяти Бориса Лукича Лаптева и Нила Замиловича Габбасова
В 1637 году П. Ферма сформулировал проблему: найти решение Диофантова уравнения и _ ^ при п& gt- 3. На
полях книги «Арифметика» Диофанта [1] против уравнения иг+уг^м, г он написал: «невозможно разложить ни куб на
два куба, ни биквадрат на два биквадрата и вообще никакую степень, большую квадрата на две степени с тем же показателем. Я открыл этому поистине чудесное доказательство, но эти поля для него слишком узки». Известно [1], что дата опубликования в бумагах доказательства частного случая для п = 4 была позже 1637 года, именно, в августе 1659 года. Поэтому, можно предполагать, что для п = 3 П. Ферма утверждение не доказал, и запись на полях книги Диофанта, и в письме к Каркави [1] о методе бесконечного спуска, (в то время аксиоматики Пеано для натуральных чисел не было), который он применил к доказательству случая п = 4 говорит о том, что П. Ферма доказал утверждение для всех п & gt-4, а для и = 3, как отмечено в [2,14], даже доказательство Л. Эйлера небезупречно. Элементарного доказательства утверждения Ферма нет ни для одного показателя п ^ 4 [2,14].
Рассмотрим алгебраическое уравнение степени п:
(х-2)*+(х-1)& quot- = х& quot- (1)
Теорема. Уравнение (1) имеет рациональные решения только при п~ 1 и п~2.
Доказательство. Действительно, для п= уравнение (1) принимает вид х -3 = 0, которое имеет решение х = 3. Для п = 2 уравнение (1) принимает вид х2 — 6х + 5 = 0, которое имеет решения Х1=1,х2 =5.
Докажем методом полной математической индукции, что у уравнения (1) при п& gt- 3 нет рациональных решений.
1. Для п = Ъ уравнение (1) эквивалентно уравнению х3−9×2+15х-9 = 0. По теореме Виета, если полученное уравнение имеет рациональные решения, то они должны быть делителями свободного члена -9 уравнения, т. е. рациональные решения могут быть только среди чисел ±1,±3, ±9- Подстановкой этих чисел в уравнение вместо х убеждаемся, что ни одно из них не является решением уравнения.
2. Предположим теперь, что и при любом я = 4,5,… Д уравнение (1) не имеет рациональных решений.
3. Допустим, что при п = к +1 уравнение (А: 2)'-& quot-'- I (л: I/'-1 -лу'- имеет рациональное решение с/1Г которое является делителем свободного члена (-1)*+1(1 + 2*+1) этого уравнения, но тогда делитель (/(свободного члена (-1)*(1+2*) уравнения (х-2)к+(х-1)к = хк является его решением, что противоречит нашему индуктивному предположению. Последнее утверждение является сутью метода спуска в терминологии П. Ферма.
Полученное противоречие доказывает сформулированную теорему.
Доказательство теоремы доставляет нам алгоритм проверки утверждения П. Ферма для любого конкретного п алгоритм состоит в проверке, есть ли среди делителей свободного члена (-1)& quot-(1 + 2& quot-) уравнения (х-2)& quot- +(х-1)& quot- =х& quot- решение этого уравнения.
Покажем теперь, что утверждение доказанной теоремы эквивалентно утверждению Ферма для Диофантова уравнения
п. п п
и + V =м& gt-
Если уравнение (1) имеет рациональное решение X при некотором п & gt- 3, то Диофантово уравнение (2) также имеет рациональное решение при этом п. Для этого достаточно положить и = х — 2, v = х — 1 и w — x. Отсюда, если уравнение (1) не имеет рациональных решений для любого п & gt- 3, то и уравнение (2) не имеет рациональных решений при п & gt- 3. Таким образом, доказательство утверждения Ферма эквивалентно доказательству сформулированной выше теоремы.
В заключение отметим следующее: признанное экспертами, прорецензировавшими доказательство утверждения П. Ферма Эндрю Уайлсом [3] указывает, что эксперты упустили из виду то, что Э. Уайлс использовал в своем доказательстве только геометрию Евклида (параболическую по классификации Ф. Клейна [4]). Однако для полноты доказательства ему необходимо было бы рассмотреть и неевклидовы геометрии, а, именно, геометрию Н. И. Лобачевского (гиперболическую по классификации Ф. Клейна [4]) и геометрию Б. Римана (эллиптическую по классификации Ф. Клейна [4]).
Литература
1. Самин Д. К. Сто великих ученых. Москва, «Вече», 2001. 592 с.
2. Постников М. М. Введение в теорию алгебраических чисел. Москва, Наука, 1982. 240 с.
3. A. Wiles. Modular elliptic curves and Fermat'-s Last Theorem, Annals of Mathematics, v. 141 Second series № 3 May 1995 p. 443−551.
4. Лаптев Б. Л. Николай Иванович Лобачевский. Изд. Казанского университета, 1976. 136 с.

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой