Алгоритм синтеза матрицы Т. Саати для сравнения факторов нечисловой природы

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Физико-математические науки


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

УДК 51. 62−505. 72 Аввакумов Владимир Григорьевич,
к.т.н., профессор
Макурина Марина Владимировна,
ст. преподаватель Филиал Российского заочного института текстильной и легкой промышленности в г. Омске
e-mail: macmar9669@mail. ru 664 010, г. Омск, ул. Пушкина, д. 63 р.т. 8 (3812) 31-79-77
АЛГОРИТМ СИНТЕЗА МАТРИЦЫ Т. СААТИ ДЛЯ СРАВНЕНИЯ ФАКТОРОВ НЕЧИСЛОВОЙ ПРИРОДЫ
Порядковая шкала важностей факторов Т. Саати служит для трансформации экспертных оценок в нормализованный вектор важностей. Технология, в основе которой лежит синтез матрицы Саати заключается в манипулировании с экспертными оценками по жестким правилам. Это обеспечивает развитие матрицы. Синтезом матрицы Саати заканчивается разработка математической модели сравнения факторов. Эта модель дает основу для вычисления нормализованного вектора важности.
Ключевые слова: шкала важностей- матрица
экспертных оценок- синтез матрицы- несостоятельная матрица- нормализованный вектор важности.
Широко используемые в научной практике экспертные оценки зачастую вызывают недоумения и разночтения ввиду того, что исследователи не обосновывают шкалу измерений, в которой представлены экспертные оценки. На этом фоне предложенная Т. Саати [2] порядковая шкала важностей факторов внушает уважение из-за логики ее построения и развития математического аппарата для трансформации экспертных оценок в нормализованный вектор важностей факторов.
Технология такой трансформации опирается на исследование матрицы экспертных оценок (назовем ее матрицей Саати) с использованием предложенного им строгого математического аппарата. Ключевым моментом этой технологии является синтез матрицы Саати, которая, по существу, выступает математической моделью операции
сравнения факторов. Этому ключевому моменту и посвящается настоящая статья.
Синтез матрицы Саати начинается с назначения факторов, которые существенно важны для реализации обозначенной исследователем цели операции. Заметим, что порядок следования факторов в списке совершенно произволен. Например, при исследовании кадровой политики предприятия по авторитетному мнению [1] факторами могут выступать:
— комплектование штата (фактор 1) —
— оплата и стимулирование персонала (фактор 2) —
— повышение квалификации персонала (фактор 3) —
— распределение персонала по работам (фактор 4) —
— использование трудовых ресурсов (фактор 5). Назначенные факторы задают структуру будущей
матрицы Саати (табл. 1).
Таблица 1 — Структура матрицы Саати
Фактор 1 Фактор 2 Фактор 3 Фактор 4 Фактор 5
Фактор 1
Фактор 2
Фактор 3
Фактор 4
Фактор 5
Если общее количество факторов обозначить за п, то видно, что будущая матрица — это матрица квадратная п-го порядка.
Затем следует запросить индивидуальные или консолидированные (от группы экспертов) экспертные сравнительные оценки первого фактора по отношению ко всем остальным в шкале Саати. Предположим, что эти оценки таковы (табл. 2).
Таблица 2 — Сравнительные оценки пе] рвого фактора к остальным
Факторы Фактор 1 Фактор 2 Фактор 3 Фактор 4 Фактор 5
Оценки по Саати 1 4 7 6 5
Заметим, что сравнение фактора 1 с самим собой, в согласии со шкалой Саати, дает 1. Это же положение будет сохраняться и для всех сравнений типа «сам с собой». Занесем результаты таблицы 2 в первую строку таблицы 1, учтем
приведенное выше замечание и получим следующее развитие матрицы Саати (табл. 3).
Таблица 3 — Развитие матрицы Саати
Фактор 1 Фактор 2 Фактор 3 Фактор 4 Фактор 5
Фактор 1 1 4 7 6 5
Фактор 2 1
Фактор 3 1
Фактор 4 1
Фактор 5 1
Видно, что в первой строке находятся экспертные оценки, а по главной диагонали матрицы — единицы как отражение факта сравнения типа «сам с собой».
Следующий шаг — заполнение левой треугольной подматрицы, т. е. той части матрицы, что лежит слева и внизу от главной диагонали.
Если матрицу обозначим А, то общий ее член запишем как, а ¦, где первый индекс — номер строки, а второй индекс —
и
номер столбца.
Каждая компонента левой треугольной матрицы вычисляется по правилу
а. =1/а… /& gt-1 (1)
ЛУ
С учетом этого будущая матрица Саати получает следующее развитие (табл. 4).
Таблица 4 — Развитие матрицы Саати
Фактор 1 Фактор 2 Фактор 3 Фактор 4 Фактор 5
Фактор 1 1 4 7 6 5
Фактор 2 ¼ 1
Фактор 3 1/7 4/7 1
Фактор 4 1/6 4/6 7/6 1
Фактор 5 1/5 4/5 7/5 6/5 1
Следующий шаг — заполнение правой треугольной подматрицы, т. е. той части матрицы, что лежит сверху и справа от главной диагонали. Каждая компонента правой треугольной подматрицы вычисляется по правилу:
а. =аЛ. / а,., аЛ. Ф 0, / & gt- 1 (2)
г] I] Ь ' Ь ' w
С учетом этого будущая матрица Саати приобретает законченный вид (табл. 5).
Таблица 5 — Матрица Саати
Фактор 1 Фактор 2 Фактор 3 Фактор 4 Фактор 5
Факторі 1 4 7 6 5
Фактор2 ¼ 1 7/4 6/4 5/4
ФакторЗ 1/7 4/7 1 6/7 5/7
Фактор4 1/6 4/6 7/6 1 5/6
Фактор5 1/5 4/5 7/5 6/5 1
Синтезированная матрица по терминологии Т. Саати называется состоятельной в том смысле, что она построена на основе одной строки экспертных оценок и выражений (1) и (2). Характерными чертами состоятельной матрицы являются:
ранг =1- след = п.
В некоторых случаях одной строки экспертных оценок может оказаться недостаточно и это приводит к появлению несостоятельной матрицы (по терминологии Т. Саати). Это вытекает из того, что если один фактор важнее другого, а последний — важнее третьего, то эксперты необязательно оценят первый фактор как более важный, чем третий. Если это так, то возникает необходимость синтеза несостоятельной матрицы Саати, и он имеет свои особенности.
Для синтеза несостоятельной матрицы вначале следует получить экспертные оценки не только первого фактора по отношению ко всем остальным, но и для второго фактора по отношению ко всем остальным и т. д. до предпоследнего фактора включительно. Первую строку сохраним такой, как она была в состоятельной матрице (табл. 5). Новые экспертные оценки разместим в правой треугольной подматрице. Для рассматриваемого примера эти экспертные оценки могли бы быть такими, как это дано в табл. 6.
Таблица 6 — Начало синтеза несостоятельной матрицы
Фактор 1 Фактор 2 Фактор 3 Фактор 4 Фактор 5
Фактор 1 1 4 7 6 5
Фактор 2 1 9 7 5
Фактор 3 1 ½ 5
Фактор 4 1 3/5
Фактор 5 1
Левая треугольная подматрица заполняется по выражению (2). Тогда несостоятельная матрица Саати будет такой, какой она дана в табл. 7.
Таблица 7 — Несостоятельная матрица Саати
Фактор 1 Фактор 2 Фактор 3 Фактор 4 Фактор 5
Фактор 1 1 4 7 6 5
Фактор 2 ¼ 1 9 7 5
Фактор 3 1/7 1/9 1 ½ 3/5
Фактор 4 1/6 1/7 2 1 1
Фактор 5 1/5 1/5 5/3 1 1
Характерными чертами несостоятельной матрицы являются: ранг & gt-1- след = п.
Из выше изложенного следует, что синтез матрицы Саати осуществляется по строгим формальным правилам, легко алгоритмизируется, а, значит, и автоматизируется, и может быть повторен и проверен любым исследователем. Иначе говоря, при заданных экспертных оценках в шкале Саати матрица исключает разночтения.
Синтезом матрицы Саати заканчивается разработка математической модели сравнения факторов. Эта модель дает основу для вычисления нормализованного вектора важности факторов в долевых единицах или процентах.
Литература
1. Исследование операций: модели и применения: в 2 т. / под ред. Дж. Моудера, С. Элмаграби. М.: Мир, 1981. Т. 2. 677 с.
2. Саати Т. Л. Математические модели конфликтных ситуаций. М.: Сов. Радио, 1977. 302 с.

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой