Число Эберлейна и классические кардинальные инварианты

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Физико-математические науки


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

Труды Петрозаводского государственного университета
Серия «Математика» Выпуск б, 1999
УДК 515. 12
ПРИМЕР СЧЕТНО КОМПАКТНОГО СЕПАРАБЕЛЬНОГО ПРОСТРАНСТВА, НЕ ЯВЛЯЮЩЕГОСЯ БИКОМПАКТОМ
Н. С. Стреколовская
В работе в предположении СН строится пример топологического пространства с первой аксиомой счетности со свойствами, сформулированными в заглавии.
В работе [1] сформулирован следующий вопрос о счетно компактных пространствах: совместимо ли с аксиоматикой ZFC утверждение — всякое сепарабельное счетно компактное пространство с первой аксиомой счетности является бикомпактом?
В настоящей статье доказана следующая теорема.
Теорема. В предположении континуум-гипотезы существует сепарабельное счетно компактное пространство с первой аксиомой счетности, не являющееся бикомпактом.
Доказательство. Как обычно, через W (ooi) обозначаем пространство трансфинитов, меньших первого несчетного ординала в стандартной топологии. Пусть h — некоторое непрерывное отображение упорядоченной суммы отрезка I = [0,1] числовой прямой М и пространства трансфинитов W (u)i) на полуинтервал [-1,1), монотонно возрастающее на отрезке I.
Обозначим через / отображение полуинтервала (0,1] прямой М в
отрезок [-1,1], задаваемое формулой f (x) = sin -, и через X — объ-
х
единение двух множеств 1×1 и {0} х WФундаментальная система окрестностей в X состоит из множеств двух видов. Если точка
© Н. С. Стреколовская, 1999
Пример счетно компактного сепарабельного пространства 99
р Е I х I и имеет координаты (ж,?/), х / 0, то ее базу окрестностей образуют открытые прямоугольники квадрата 1×1 со сторонами, параллельными осям координат, содержащие точку р.
Если точка р Е X, р = (0,ж), то базу окрестностей образуют множества вида
0(ж, V, У) = ({0} х V) и {Г1 УУ х 1} п С/,
где — окрестность точки Ь (р) в полуинтервале [0,1) числовой прямой М, V — окрестность точки х в подпространстве Х — {0} х х (1 и ?(и)1)), где I и ?(и)1) — упорядоченная сумма, множество 11 = [0, (Г) х /, где [0, (Г) — полуинтервал.
Очевидно пространство X хаусдорфово. Докажем, что пространство X сепарабельно. Рассмотрим множество точек (3 в множестве 1×1, у которых обе координаты рациональны. Очевидно, [(5] = X, так как любая окрестность точек вида (0, х) пересекается с множеством С} из задания топологии. И, наконец, произвольная окрестность точки вида (у, х), у / 0 очевидно содержит точки из множества С}. Сепарабельность пространства X установлена. Пространство X счетно компактно. В самом деле, если счетная последовательность х& amp- содержит подпоследовательность, все члены которой имеют первую координату, равную нулю, то она имеет предельную точку, поскольку подпространство Хх, Х С I, состоящее из точек с первой нулевой координатой, счетно компактно.
Если последовательность точек имеет подпоследовательность, лежащую в множестве I х /, то возможны два случая: либо первые координаты этой подпоследовательности имеют предельную точку, равную нулю, либо отличную от нуля. В первом случае предельная точка с нулевой первой координатой существует, поскольку существует предельная точка вторых координат проекций этой подпоследовательности на график функции / (вдоль прямых, параллельных оси ординат). Во втором случае подпоследовательность может быть заключена в бикомпакт В = [а, 1] х [0,1], где число, а & gt- 0, и, следовательно, имеет предельную точку в бикомпакте В.
Итак, пространство X счетно компактно, с первой аксиомой счетности, сепарабельно и не является бикомпактом. Теорема доказана.
100
Н. С. Стреколовская
Resume
Assuming СН we construct a separable first countable countably compact noncompact space.
Литература
[1] Архангельский А. В., Федорчук В. В. Об уплотнениях счетно компактных пространств // Фундаментальная и прикладная математика. 1995. Т. 1. В. 4. С. 871−879
[2] Пасынков Б. А., Александров П. С. Введение в теорию размерности. М.: Наука, 1973.
Петрозавозаводский государственный университет, математический факультет,
185 640, Петрозаводск, пр. Ленина, 33

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой