О ПРИБЛИЖЕНИИ ФУНКЦИЙ КЛАССА C (?) СРЕДНИМИ ПОДПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ СУММ ФУРЬЕ

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Физико-математические науки


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

ИЗВЕСТИЯ ВЫСШИХ УЧЕБНЫХ ЗАВЕДЕНИЙ
1998 МАТЕМАТИКА № 5 (432)
КРАТКИЕ СООБЩЕНИЯ
УДК 517. 518
АЖ СЮСЮКАЛОВ
О ПРИБЛИЖЕНИИ ФУНКЦИЙ КЛАССА С (е)
СРЕДНИМИ ПОДПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ СУММ ФУРЬЕ
Пусть С271
пространство непрерывных 2−7г-периодических функций с нормой
11/11 = max |/(Ж)|-
Sn (f) — сумма Фурье / порядка п- En (f) — наилучшее приближение функции / тригонометрическими полиномами степени не выше п-
С (е) = {/ | / G CW, En (f)& lt-en, п = 0,1,2,… },
где е = {еп} - последовательность чисел, еп 0 при п t оо. В дальнейшем соотношение, а х ?3 означает, что существуют постоянные С & gt- 0, С2 & gt- 0, для которых выполняется неравенство
С (]& lt-а<- Сф.
С. Б. Стечкин [1] доказал, что для сумм Фейера
1
п
1
i/=0
на произвольном классе С (е) выполнены соотношения
sup II/ - an (f)II х —
/ ЄС (є) П + 1
[/=0
Аналогичный результат для сумм Фурье получил К. И. Осколков [2]. М. Ф. Тиман [3] установил оценки в терминах наилучших приближений для общих матричных методов суммирования.
Задачи о восстановлении функций по подпоследовательностям их частных сумм Фурье с помощью линейных методов суммирования изучались в [4]-[8] и др. В [8], [9] получены оценки скорости сходимости (С, 1)-средних сумм Фурье 52 (/) (А: = 0,1,2,…). В [9] установлено, что
1
N
sup
/ ЄЬір а
Рассмотрим средние
N+ 1
Е*м/)
к=О
0(N-2a), 0 & lt- а & lt- 1/6-
0(N-2anN), 1/6 & lt- ск & lt- ½-
OiN-1 In N), OiN-1),
a = ½-
½ & lt- а & lt- 1.
(1)
N
Tn (f) = (N + l)-1J2Snk (f),
(2)
k=0
где nk = kJ (7 = 2, 3n = N7- nk = [2* ], [x — целая часть числа x, є Є (0,½], n = [2N ].
/
Теорема. Для средних (2) (к = 0,1,2,…) при любой последовательности е = | еп
0, п = 0,1,2,…} справедливо соотношение
N
-1
(r)ир II/ - т"(/)|| X (ЛГ + 1) 1 (3)
/ЄС (е) І≠0
Для доказательства оценки снизу в соотношении (3), следуя [1], используем функцию
ОС
/(ж) = «е& quot-) С№! их ч=1
из класса С (є). При доказательстве оценки сверху в (3) применяются неравенства для норм в метрике Ьі четных тригонометрических полиномов из [6], [7].
Следствие. При пк = к2 из (3) следует
sup ||/-Т"(/)|
/Є Lipa
N-2a, 0 & lt- a & lt- ½-
Л: 1 ln Л a = ½- (4)
JV-1, ½ & lt- a & lt- 1.
Из сравнения оценок (1), (4) видно, что при 1/6 & lt- a & lt-½ оценка (4) является более точной.
Оценка (4) уточняет также соответствующий результат в [8].
Автором получены аналогичные результаты для средних Абеля-Пуассона.
Литература
1. Стечкин С. Б. О приближении периодических функций суммам, и Фейера // Тр. Матем. ин-та АН СССР. — 1961. — Т. 62. — С. 48−60.
2. Осколков К. И. К неравенству Лебега в равномерной метрике и на множестве полной меры
II Матем. заметки. — 1975. — Т. 18. — № 4. — с. 515−526.
3. Тиман М. Ф. О приближении непрерывных периодических функций линейным, и операторами, построенными на базе их рядов Фурье // ДАН СССР. — 1968. — Т. 181. — № 6. — С. 1339 1342.
4. Zalcwasser Z. Sur la sommabilite des series de Fourier // Studia math. — 1936. — V. 6. — S. 82−88.
5. Izumi S., Kavata T. Notes on Fourier series // Tohoku Math. J. — 1936. — V. 46. — № 1. -P. 154−158.
6. Бугров Я. С. Условия равномерной ограниченности тригонометрических полиномов в метрике L И Тр. Матем. ин-та АН СССР. — 1975. — Т. 134. — С. 31−37.
7. Bugrov Ya.S. On linear summation methods of Fourier series // Anal. math. — 1979. — V. 5. -№ 2. — P. 119−133.
8. Бугров Я. С. Линейные средние рядов и интегралов Фурье и скорость их сходимости // Тр. Матем. ин-та АН СССР. — 1984. — Т. 170. — С. 77−85.
9. Баскаков A.B. Приближение функций линейным, и методами.: Автореф. дис. … канд. физ. -матем. наук. — М., 1987. — 14 с.
Рязанская государственная Поступила
радиотехническая академия 30. 06. 1997

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой