Вибрационная конвекция в областях со свободной границей

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Физико-математические науки


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

Механика жидкости и газа Вестник Нижегородского университета им. Н. И. Лобачевского, 2011, № 4 (3), с. 789−790
УДК 532. 51
ВИБРАЦИОННАЯ КОНВЕКЦИЯ В ОБЛАСТЯХ СО СВОБОДНОЙ ГРАНИЦЕЙ © 2011 г. С.М. Зеньковская1, В.А. Новосядлый2, О.А. Прозоров1
'-Южный федеральный университет, Ростов-на-Дону 2НИИ «Спецвузавтоматика», Ростов-на-Дону
zenkov@math. sfedu. ru
Поступила в редакцию 16. 05. 2011
Рассмотрено влияние высокочастотной вибрации на возникновение конвекции в неоднородной жидкости с недеформируемой в среднем свободной границей. Исследуется случай подогрева сверху, когда числа Рэлея отрицательны и велики по модулю. С применением метода погранслоя проведен асимптотический анализ колебательной неустойчивости. Это позволило исследовать влияние вибрации на возникновение внутренних и поверхностных волн и показать ее стабилизирующий эффект.
Ключевые слова: высокочастотная вибрация, вибрационная конвекция, конвекция Марангони, метод пограничного слой Вишика — Люстерника, метод осреднения.
Изучается конвекция в горизонтальном слое вязкой несжимаемой жидкости, ограниченном сверху свободной поверхностью, а снизу — твердой стенкой. Слой как целое совершает поступательные колебания вдоль вектора s = = (cos ф, 0, sin ф) по закону af (wt)/w, где f — периодическая функция с нулевым средним, Ю ^ ^ го, a = O (l). На свободной поверхности действует поверхностное натяжение с коэффициентом, а = С0 — аТ (Т — Т0).
К обобщенным уравнениям Обербека — Бус-синеска (О-Б) применяется метод осреднения: асимптотическое решение задачи разыскивается в виде суммы плавных и быстрых, имеющих нулевое среднее по Т = Wt, слагаемых. Случай, когда свободная граница деформируема в целом, был рассмотрен в [1].
Исследуется случай, когда свободная граница недеформируема в среднем, выводятся осреднен-ные уравнения и в них производится переход к уравнениям О-Б. В результате приходим к задаче:
— + (v, V) v = -Vq + Av — GrTy + ^,(w, У) УФ,
dt
dT
z = 0:
dv1 = Ma dT
dv2 Ma dT
dz
Pr dx' dz Pr dy '
dT
Ф = 0,------------BiT = 51
dz
v3 = 0,
(3)
dT
z = 1: v = 0, B1---------------+ B0T = 52, w3 = 0.
dz
В результате осреднения в уравнениях конвекции появилась виброгенная сила, пропорциональная параметру ц=ah в (f'-) sin ф/v, где в — параметр Буссинеска. Далее находится равновесное решение v0 = 0, Т0 = z, w0 = 0, Ф0 = = -z2/2, q0 = -Grz2/2 + const и исследуется его устойчивость. Соответствующая спектральная задача изучается асимптотически и численно. В случае монотонной неустойчивости получено, что нейтральные кривые Ma (a) с ростом вибрационного параметра поднимаются вверх и теряют выпуклость. Построена длинноволновая асимптотика Ma (a), из которой видно влияние вибрации на монотонную неустойчивость. Колебательная неустойчивость подробно рассмотрена в случае нагрева сверху, когда число Рэлея, отрицательно и велико по абсолютной величине: Ra ^ Вводя малый параметр по формуле в = V — Pr/ Ra, получаем систему дифференциальных уравнений с малым параметром при старших производных, что позволяет применить метод Вишика — Люстерника к задаче
(1)
div v = 0,--------+ (v, VT) = Pr 1 AT,
dt
w + VФ = -yТ, div w = 0- (2)
краевые условия
XLu = в2L2u — a2T — r V (DF + Т), XT = в2Pr-1 LT — u, LF = -DT, z = 0: u = 0, в2D2u + a2p-1T = 0, DT — BiT = 0, F = 0, p = Ra /Ma, z = 1: u = Du = 0, B1DT + B0T = 0, DF + Т = 0, L = D2-a2.
(4)
(5)
(6)
Параметр г 2 = Рг цв 4, рассматривается случай г2 = O (1) при? ^ 0. Исследуется колебательная неустойчивость X = /'-А,. Случай г2 = 0 (отсутствие вибрации) был рассмотрен в [2].
Неизвестные функции и критические значения параметров задачи разыскиваем в виде рядов по степеням малого параметра: X = X0 +вХ1 +… ,
Р =Р0 +вР1 + •••
Из нулевого приближения получаем дисперсионное соотношение вида:
+1) + a2)(x1 p2 coshp2 sinh p1 -- x2 p1 cosh p1 sinh p2) = 0, (7)
где
x1 = (l -^1 — 4X20r2) a2 /2X20, x2 = (l + J1 — 4X20r2) a2/2X20,
p1 =a2 + x1, p2 = -Ja2 + x2.
Уравнению (7) соответствуют две ветки значений Х0, которые отвечают за возникновение поверхностных и внутренних волн. Далее из условия разрешимости краевой задачи для первого приближения находится в0, при этом получаем, что Х1 = 0. Полученные формулы совпадают с формулами [2] при r = 0. Численно построены нейтральные кривые колебательной неустойчи-
вости на плоскости (a, Ma), (а, X). Получено, что они замкнуты, и критическое значение Ma растет по абсолютной величине с ростом вибрационного параметра Ц, то есть вибрация препятствует возникновению конвекции и в случае колебательной неустойчивости. Произведено сравнение асимптотических и численных результатов, которое показывает хорошее совпадение.
Работа выполнена при поддержке РФФИ, проект № 09−01−658-a.
Список литературы
1. Зеньковская С. М., Шлейкель А. Л. Влияние высокочастотной вибрации на возникновение конвекции Марангони в горизонтальном слое жидкости // Прикладная математика и механика. 2002. Т. 66. С. 573−583.
2. Rednikov A. Ye. et al. Rayleigh-Marangoni oscillatory instability in a horizontal liquid layer heated from above: coupling and mode mixing of internal and surface dilatio-nal waves // Journal of Fluid Mechanics. 2000. Vol. 405. P. 57−77.
VIBRATIONAL CONVECTION IN LAYERS WITH FREE BOUNDARY S.M. Zenkovskaya, V.A. Novosiadliy, O.A. Prozorov
The research is focused on the influence of high-frequency vibration on the onset of convection in a layer with a non-deformable on average interface. The case of heating from the top was studied. The Rayleigh number is assumed to be negative and large. Vishik — Lusternik method was applied to the oscillatory stability problem. Vibration was shown to stabilize the onset of inner and surface waves.
Keywords: high-frequency vibration, vibrational convection, Marangoni convection, Vishik-Lusternik method, averaging method.

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой