Квазилинейная задача аналитического конструирования оптимальных регуляторов

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Физико-математические науки


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

СИСТЕМЫ И
ПРОЦЕССЫ
УПРАВЛЕНИЯ
УДК 618. 514. 01:517. 977. 5
КВАЗИЛИНЕЙНАЯ ЗАДАЧА АНАЛИТИЧЕСКОГО КОНСТРУИРОВАНИЯ ОПТИМАЛЬНЫХ РЕГУЛЯТОРОВ
РАДИЕВСКИЙА. Е. ___________
Исследуется процедура разработки математического обеспечения процедуры динамического синтеза в классе задач аналитического конструирования оптимальных регуляторов для квазилинейного обьекта управления.
tl
J (u) =J W (x, u, q, t) dt (2)
t0
при наличии ограничения
(x, u, p, q, t) є E (3)
и граничных условий
(x, to) Є Po,(x, ti) Є Pi, (4)
где x = x (t) є En -состояние- u = u (t) є Er — управление- E — область определения задачи- En, Er — некоторые пространства- цє Eц = (ц: |ц| & lt- цmax) -параметр ОУ (1) — q є Eq = (q: |q| & lt- qmax) — параметр критерия качества (2) — pmax = const & gt- 0 ,
qmax = const & gt- 0 — заданные числа- P- - многообразия, i є [0,1]- t є [t0,t1] c R1 — время, [t0,t1] - интервал управления, R1 — числовая прямая.
3. Особенности процедуры динамического синтеза в классе задач АКОР
1. Введение
На современном этапе автоматизации технологических процессов в таких областях как энергетика, машиностроение, металлургия, химия, нефтехимия, управление подвижными объектами, современные средства ведения вооруженной борьбы определяющей в научно-техническом аспекте является проблема динамического синтеза [1]. Специфика моделей, использующихся в качестве объектов управления (ОУ), в задачах динамического синтеза проявляется, в частности, в связи с их нелинейностью. Последнее обуславливает нелинейный характер функционирования синтезированных систем управления (СУ). При исследовании последних широкое распространение получили методы линеаризации [2]: замена исходной нелинейной модели ее квазилинейным аналогом [3]. Одним из методов, использующихся при реализации процедуры динамического синтеза, является аналитическое конструирование оптимальных ре -гуляторов (АКОР) [4]. Задачи АКОР для квазилинейного ОУ рассматривалось в [5−9], где исследуются вопросы существования непрерывного решения уравнения Ляпунова-Веллмана [5], нахождения субоптимального управления на основе приближенного решения уравнения Гамильтона-Яко-би-Беллмана [6−8], схема последовательных приближений метода возмущений [9].
Целью исследования является разработка математического обеспечения процедуры динамического синтеза в классе задач АКОР для квазилинейного ОУ.
2. Постановка и особенности задачи
Процедура динамического синтеза, реализуемая в классе задач АКОР, может быть сформулирована следующим образом. На движениях ОУ
dx
— = F (x, u, М) (1)
dt
Одной из особенностей процедуры динамического синтеза в классе задач АКОР является необходимость выбора параметра q критерия качества (2) [4]. Последнее обуславливается тем, что функционирование СУ, синтезированных в классе задач АКОР, оценивается посредством «вторичных» показателей качества [10], которые априори не могут быть учтены в исходной структуре критерия качества (2). Поэтому целесообразной является следующая процедура динамического синтеза в классе задач АКОР [11]:
— определение структуры управляющего устройства (УУ) при заданной структуре ОУ (1), критерия качества (2), ограничения (3) и граничных условий (4) (структурный синтез) —
— в рамках синтезированного УУ выбор параметра q критерия качества (2), при значении которого движение синтезированной СУ при отработке требуемого задания удовлетворяет наперед заданным показателям качества (параметрический синтез).
В настоящее время при реализации процедуры структурного синтеза в задаче (1) — (4) используются принцип максимума, метод динамического программирования, метод введения новых переменных, итерационные методы, применение которых предполагает необходимость привлечения численных методов. В случае линейного ОУ решение задачи структурного синтеза сводится к процедуре построения стабилизирующего решения матричного уравнения Риккати. Невозможность реализации аналитического решения задачи структурного синтеза не позволяет реализовать решение задачи параметрического синтеза в плане связи параметра q критерия качества (2) и «вторичных» показателей качества. В настоящей работе исследование задачи (1) — (4) базируется на положениях функционально -аналитического подхода решения экстремальных задач [12].
оптимизируется критерий качества РИ, 2005, № 2
33
4. Структура алгоритма управления
Пусть E = Cn (t0,t1)хL^(10,1!)хЕ^хЕq хR1, где
Cn (to, ti) — пространство n -мерных непрерывных на [to, ti] функций x (t) c нормой ||x|| = max|x (t)|, Vtє [to, ti], xєQ = (x: |x| & lt- xmax), xmax = const & gt-0 -заданное число, intQ Ф0 — L1^(t0,t1) — пространство г -мерных существенно ограниченных на[t0, ti] измеримых функций u (t) с нормой
HI = vrai sup|u (t), Vt Є [t0,ti], U Є U = (u: |u| & lt- Umax) ,
umax = const & gt- 0 — заданное число, intU0 — x (t0) = x0, x (ti) = 0 — ti — конечный, не фиксированный моментом времени- (x0,u0) — решение задачи (1)-(4).
Если множество пар вариаций (x, u), удовлетворяющих подынтегральному выражению критерия качества (2), принадлежит конусу убывания К 0, то функционал f 0 (x, u) є K 0 получим в виде ti, ,
f0(x, u) = - J[Wx (x0,u0,q, t), x + Wu (x0,u0,q, t), u]dt t0
где W^ (x 0, u 0, q, t), Wu (x 0, u 0, q, t) — производные в точке (x0, u0) по x и u от W (x, u, q, і) соответственно- * - символ операции сопряжения.
Если Ki конус возможных направлений в точке u0 и функционал fi (u) є K*, то fi (u) = (0,fi (u)), где fi (u) Є Lr^ (t 0, t i) и является опорным к множеству U в точке u0. Пусть Hi с E — множество пар вариаций (x, u), удовлетворяющих выражению
f = Fx (x0, u0, p, t), x + fu (x0, u0, p, t), u, x (t0) = 0 ,(5)
а H2 c E — x (ti) = 0, (6)
где F^(x0, u0, p, t), Fu (x0, u0, p, t) — производные в точке (x0,u0) по x и u от F (x, u, p, t) соответственно.
Тогда Hi и H2 — подпространства, а касательное пространство K2 = Hi nH2, K2 = H* + H2 • Поэтому, если функционал f2(x, u) є H*, то f2(x, u) = 0, и если функционал f3 (x, u) є H 2, то f2 (x, u) = (0, a), aeRn, Rn — n-мерное евклидово пространство. Если K4 — конус возможных направлений в точке x0 и f4(x) Є K4, то f4(x) = (0,f4(x)), где f/4 (x) Є Cn* [t0, ti ] и является опорным к множеству Q в точке x0. Тогда уравнение Эйлера запишем в 4
виде? fi (x, u) = 0 или, учитывая вид найденных
i=0 ' _ _ г і
функционалов fi (x, u), i є [0,4|,
fi (u) = J [W^(x0,u0,q, t), x + t0
+ Wu (x0,u0,q, t), u]dt + f4(x).
Пусть [12] dT (t)
dt
+ (F-(x0,u0, p, t))T T (t) = W^(x°, u°, q, t)
при T (ti) = 0. (7)
Учитывая выражения (5)-(7), можно записать
ti 0 0 J Wx (x0,u0,q, t), xdt =
t0
= J (-^ + (Fx (x0, u0, p, t))T T (t)), xdt = dt
t0
= J-d^dtt), xdt + J (Fx (x°, u°, p, t))1 T (t), xdt =
t0 dt t0
ti
= T (t), x
ti ti dx
Iі -j (mfodt+
t0 t0 dt
+ J (Fx (x0,u0,p, t))T T (t), xdt = t0
= -1 OF (t) ¦d-j")dt + J (F- (x0,u0,w, p, t))T T (t), xdt =
t0 dt t0
ti 0 0
= -|T (t)[Fx (x0, u0, p, t), x + Fu (x0, u0, p, t), u]dt +
t0
ti 0 0
+ J (F^(x0,u0, p, t) T (t), xdt = t0
ti 0 0 T
= -J (Fu (x0,u0,p, t))TT (t), udt. t0
Тогда
ti 0 0 T fi (u) = J [-(Fu (x0,u0, p, t))T T (t) +
t0
+ Wu (x0,u0,q, t), u]dt + f4(x).
Так как множества U и Q являются выпуклыми телами [13], то для их крайних точек fi (u) = signumax,
f4(x) = signx max, а для внутренних — fi (u) = 0, f4(x) = 0 и управляющее воздействие определяется выражением
-(Fu (x0,u0, p, t))TТ (t) + Wu (x0,u0,q, t) = 0.
5. Структурый синтез
Пусть x = (xi,., xn) -матрица-столбец n -мерного
вектора фазовых координат- u = (ui,., ur) -матрица-столбец г -мерного вектора управляющих воз-
34
РИ, 2005, № 2
действий, n & gt- r — W (x, u, q, t) = xTRx + uTMu ,
R = diag||r- ||n, M = diag|m- ^ - F (x, u, p, t) = FxX + FuU.
Тогда алгоритм управления (АУ) получим в виде [12]
u (t) =
umax при L (t) — umax L (t) прИ — umax ^ L (t) ^ umax _ umax при L (t) & lt- -umax
(8)
где L (t) = |m-1 (Fu (x0, u0, p, t))T T (t),
+ (F- (x0, u0, p, t))T T (t) = 2Rx dt
при T (t1) = 0. (9)
Умножая выражение (9) слева на матрицу получаем
1r-1
2:
1r +1r -1
2 dt 2
(F^(x0,u0, p, t))TT (t) = x. (10)
Принимая во внимание выражение (10), можно записать
^ = !fxR+ [Ir1(F^(x0,u0, p, t))T + dt 2 x dt 2 x
±^FuM-1(Fu (x0,u0, p, t))T]T (t) ,
подставляя которое в выражение
d2^(t), (0 0 t))T dT (t) 2R dx
---- + (Fx (x, u, PA" -- = 2R — ,
dt2 dt dt
получаем векторное однородное дифференциальное уравнение второго порядка:
d2 T (t) dT (t)
(- + C1-^ + C2Т (t) = 0 при T (t1) = 0, (11)
dt
2
dt
где C1 = (F^(x0,u0,p, t))T -RFxR1-
C2 = -RFxR1(F^(x, u, p, t))T --RFuM-1(Fu (x0,u0,p, t))T.
Однородное решение уравнения (11) запишем в виде
4*1 (t) ®u (t)®12(t) ^1(t0)
^2(t) Ф 21(t)® 22 (t) *2(t0)
где Т (t) = Т1 (t), dTt (t) = Т2 (t) — Ф (t) — n x n — мер-dt
ные матрицы, i, j є [1,2].
Так как фц (t1) — ф22(t1) — 1, ®12(t1) — Ф21 (t1) — 0 ,
(I и O — n x n -мерные единичная и нулевая матрицы), а T (t1) = 0, то T1(t0) = Т (t0) = 0. Поэтому сопряженную систему дифференциальных уравнений (СДУ) (9) можно записать [14] в «прямом» времени:
РИ, 2005, № 2
dT (t)
dt
(F^(x0, u0, p, t))T T (t)
при T (t0) = 0.
2Rx (t0)
(12)
dx
Пусть — -
Ax + Bu + pf (x), где A
B=1 Ml!
n
ajj |І1 —
устойчивая, f (x) = - аналитическая вектор-
функция, p — малый параметр. Тогда СДУ (12) запишем в виде
-ATT (t) =-2Rx (t0)-pf (x), при T (t0) = 0, а ее решение — в виде
Т c (t) = 2Z0 (t)Rx (t0) + pZ0 (t)f {x),
где Z0 (t) = - J eA ^_^dx. t0
Для открытой области получим
Lc (t) = M_1BTZ0 (t)(Rx (t0) + 0. 5pf (x)),
— = Ax +pf (x) + B (M_1BTZ0(t)(Rx (t0) + 0. 5pf (x))). dt 0
x (t) = (eAt + Z02(t)R)x (t0) +
+ p (Z0: (t) + 0. 5Z02(t))f (x),
где Z01(t) = J e ^"^dx,
t0
Z02(t) = J e A& lt-t-^BM-1B TZ0(t)dx t0
Пусть p = A (t)x + B (t)u + pf (x, t), где элементы матриц A (t) =|| ajj (t) ііП и B (t) =|| bij (t) ||Г — непрерывно дифференцируемые функции на р0, Д], р —
малый параметр, f (x, t) =|| fi (x, t) llj1 — аналитическая вектор-функция. Тогда СДУ (12) запишем в виде
d^(t)
dt
a T (tmt)
2Rx (t0) — pf (x, t)
при T (t0) = 0,
а ее решение — в виде
^ нс (t) = 2ZHC (t)Rx (t0) + pZ 2с (t)f (x, t),
где ZHC (t)
JX T (t)X"1T (x)dx, t0
35
ZHC (t) = -}xT (t)X-1T (x)f (x, x) dx. to
Для открытой области получим
LHC (t) = M-1BT (t) (Zj10 (t)Rx (t0) + 0. 5|rZ2C (t)),
dx …
— = A (t)x +pf (x, t) + dt
+ B (t)(M_1BT (t)(ZjC (t)Rx (t0) + 0. 5|rZHC (t))),
x (t) = (x (t) + ZHC (t)R)x (t0) + +^(z2C (t)+0. 5zHC (t)),
где
zHC (t) = Jx (t)x1(T)B (T)M_1BT (T)zHC (t)dT
t0
Z2i (t) = Jx^x-^B^M^B^zf (фх,
t0
z22(t) = Jx^x-^fx, x) ix. t0
6. Заключение
В классе задач AKOP сформулирована задача динамического синтеза для квазилинейного объекта управления. Проведенное исследование позволило получить следующие новые результаты, имеющие научное и прикладное значение:
— на основании исследования множества допустимых управлений показано, что синтезированный АУ относится к классу нелинейных, предельнолинейного типа-
— получено аналитическое решение задачи структурного синтеза, что позволит на этапе параметрического синтеза связать аналитической зависимостью параметры оптимизируемого критерия качества (2) и «вторичные» показатели качества.
УДК 519. 6:514. 1
ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ НА
КОМПОЗИЦИОННЫХ ОБРАЗАХ КОМБИНАТОРНЫХ МНОЖЕСТВ
ГРЕБЕННИК И.В. __________________________
Исследуются экстремальные свойства выпуклых и сильно выпуклых продолжений функций, заданных на композиционных образах комбинаторных множеств
— множествах парных перестановок, парных размещений и парных сочетаний с повторениями.
Введение. Многие классы задач, возникающих в проектировании, управлении, контроле, описываются моделями комбинаторной оптимизации [1]. Области допустимых решений этих задач часто
36
Практическая значимость результатов исследования определяется возможностью их использования в качестве математического обеспечения при проектировании СУ в рассматриваемом классе задач.
Литература: 1. Радиевский А. Е. Проблематика современного этапа автоматизации технологических процессов // Автоматизація виробничих процесів. 2004. № 1(18). С. 126−132. 2. Методы исследования нелинейных систем автоматического управления / Под ред. P. А. Нелепина. М.: Наука, 1975. 448с. 3. Моисеев Н. Н. Асимптотические методы нелинейной механики. М.: Наука, 1969. 380с. 4. Справочник по теории автоматического управления / Под ред. А. А. Красовского. М.: Наука, 1987. 712с. 5. Альбрехт Э. Г. О существовании оптимальной функции Ляпунова и непрерывного оптимального управления для одной задачи об аналитическом конструировании регуляторов // ДУ. 1965.Т. 1, № 10. С. 1301−1313. 6. Garrard W. L, McClamroch N.H., Clark L. G. An approach to suboptimal feedback control for nonlinear system // IntJ. Control. 1967.V. 5, No5.P. 425−435. 7. Garrard W.L. Additional result on suboptimal feedback control of nonlinear system //Int J. Con-trol. 1969. V. 10, No6. P. 657−663. 8. Garrard W.L. Suboptimal fe-edback control for nonlinear system // Automatica. 1972. V. 8, No2. P. 219−221. 9. Колмановский В. Б. Применение метода возмущений к некоторым задачам оптимального управления // ПММ. 1975.Т. 39, № 15.С. 788−796. 10. ЛетовА.М. Динамика полета и управление. М.: Наука, 1969. 360с. 11. Ли Э. Б., Маркус Л. Основы теории оптимального управления: Пер. с англ. М.: Наука, 1972. 576с. 12. Гирсанов И. В. Лекции по математической теории экстремальных задач. М.: Изд-во МГУ, 1970. 117с. 13. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1968. 496с. 14. Арнольд В. И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М. :Наука, 1971. 240с.
Поступила в редколлегию 01. 11. 2004
Рецензент: д-р техн. наук, проф. Кузнецов Б. И.
Радиевский Анатолий Евгеньевич, заведующий лабораторией Харьковского НИИ комплексной автоматизации (ХИКА) Минтопэнерго Украины. Научные интересы: математическая теория экстремальных задач, динамические задачи многокритериальной оптимизации. Адрес: Украина, 61 003, Харьков, пер. Кузнечный, 2, тел. 731−35−67, 731−41−80.
представляются классическими комбинаторными множествами [2]. Разработка адекватных моделей ряда задач требует построения комбинаторных множеств с более сложной структурой, отражающей комбинаторную природу решаемой задачи. Это справедливо, в частности, при решении многих экстремальных комбинаторных задач геометрического проектирования [3,4].
Для построения эффективных моделей задач указанного класса в [5] вводится новый класс комбинаторных множеств со сложной структурой — композиционные образы (k -образы) комбинаторных множеств. В связи с этим актуальной задачей является анализ различных оптимизационных моделей на k -образах комбинаторных множеств.
Целью настоящей работы является исследование свойств некоторых классов задач оптимизации на k -образах комбинаторных множеств. При этом
РИ, 2005, № 2

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой