Зонные системы Делоне как математическая модель почти-кристаллических структур

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Физико-математические науки


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

УДК 513.8. 87
Д. В. Коваленко ЗОННЫЕ СИСТЕМЫ ДЕЛОНЕ КАК МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ПОЧТИ-КРИСТАЛЛИЧЕСКИХ СТРУКТУР
The paper deals with the mathematical patterns of arrangement of atoms in solid matters — dot systems. A new approach is suggested to construct this kind of patterns: by applying an operation of differentiation of dot systems the author obtains a general mathematical criterion of identification of crystal and almost-crystal structures. Several theorems setting limits for the dot systems resulting in such structures are proved.
Введение
Точечные системы, обладающие теми или иными свойствами, вот уже более века привлекают к себе пристальное внимание ученых. В 1924 г. выдающийся российский геометр Б. Н. Делоне представил оригинальную конструкцию дискретных множеств, получившую впоследствии его имя, а также метод ее исследования [1]. Системы Делоне являют собой математическую модель расположения атомов в твердых веществах (которые заполняют все вещество и не подходят слишком близко друг к другу). В частности, кристаллическим структурам отвечают правильные системы Делоне [2], в которых каждая точка равно окружена всеми другими точками.
В 1984 г. был получен сплав с дальним (абсолютным) порядком, обладающим осями симметрии 5-го порядка, запрещенными в кристаллах [3]. Подобные соединения получили название квазикристаллов. В дальнейшем появились и другие физические структуры (фул-лерены, кристаллы-двойники), не являющиеся кристаллическими, но, тем не менее, обладающие определенным порядком (симметрией). Такие соединения — будем в дальнейшем называть их почти-кристаллическими — вызвали наплыв математических моделей, пытающихся объяснить их существование. Однако, в отличие от кристаллов, исчерпывающее описание строения которых задают правильные системы Делоне, почти-кристаллические структуры пока не имеют своего единого описания.
Автором настоящей статьи найден оригинальный метод исследования точечных систем [4], открывающий путь к полному законченному описанию всех кристаллических и почти-кристаллических структур с комплексной единой моделью. Основная идея разработанного им подхода состоит в следующем: выяснить, какие условия следует наложить на общую систему Делоне, чтобы получилась точечная система, обладающая каким-либо порядком (симметрией).
Необходимые определения
Определение 1. Системой Делоне называется множество точек X, удовлетворяющее следующим двум аксиомам:
a) аксиома дискретности: расстояние между любыми двумя точками множества X не меньше длины r некоторого фиксированного отрезка-
b) аксиома покрытия: расстояние от любой точки пространства до ближайшей к ней точки множества X не больше длины R некоторого фиксированного отрезка.
Определение 2. Пусть X — произвольное множество точек в и-мерном евклидовом пространстве. Векторной системой точки ЛеХ назовем множество VA, состоящее из векторов, соединяющих точку Л со всеми остальными точками системы X. Производной системы X назовем множество точек X'-, получающееся откладыванием от некоторой точки Л eX всех векторов, соединяющих точки системы X. Очевидно, система X'- центрально-симметрична относительно Л.
Получение системы X'- из X будем называть дифференцированием. Несмотря на то, что операцию дифференцирования можно применить к любым точечным системам, мы в дальнейшем ограничимся лишь системами Делоне.
Введем еще одно, ключевое, определение.
Определение 3. Будем называть систему Делоне X зонной, если ее производная X'- снова является системой Делоне.
Примеры.
1. Если X = T — целочисленная решетка, то X'- = X = T — также система Делоне, поэтому X — зонная.
2. Если X — мультирешетка, т. е. объединение конечного числа параллельно расположенных решеток T1, T2,…, Tk, то, поскольку векторные системы точек A и B из одной решетки совпадают, X'- есть объединение таких векторных систем для точек A1, A2,…, Ak, где AiєTi, поэтому аксиома дискретности сохраняется (с меньшим г), следовательно, X'- - система Делоне и X — зонная.
Замечание. Вообще, поскольку X с X'-, то при дифференцировании может нарушиться аксиома дискретности, но не аксиома покрытия.
Следствие. Всякое подмножество зонной системы Делоне, удовлетворяющее аксиоме покрытия, также обладает свойством зонности.
Это вытекает из того факта, что если X с Y, то и X'- с Y'-.
Приведем пример не зонной системы Делоне.
3. В качестве пространства возьмем прямую R1 и занумеруем точки системы Делоне X целыми индексами (в силу аксиомы дискретности это можно сделать, поскольку их число счетно- в дальнейшем, рассматривая одномерные системы Делоне, будем применять такую же конструкцию). Определим X как
п, п & lt- 0,
Xп = 2k, п = 2k, k & gt- 0,
2k +1 ±----, п = 2k +1, k & gt- 0.
102k+1 ' '
Тогда спектр расстояний между точками системы X: 8р (Х) = {|х, — - х,|| xI, xj¦eX} не дискретен,
и, тем более, X'- - не система Делоне (есть точки накапливания, а именно x = 1), поэтому X — не зонная.
Если система X — зонная, имеет смысл построить вторую производную X" = (X')'. В связи с этим важное конструктивное значение приобретает вопрос о зонности системы X'-. Другими словами: может ли нарушиться аксиома дискретности при повторном дифференцировании, если она не была нарушена при взятии первой производной? Заметим, что определение зонной системы и пример 3 показывают, что при первом дифференцировании аксиома дискретности может быть нарушена.
Для ответа на поставленный вопрос обратимся вновь к наиболее наглядному — одномерному случаю.
Одномерные зонные системы и спектр расстояний между точками
Итак, пусть X = {хп| пе2} - последовательность точек на прямой, являющаяся зонной системой Делоне. Образуем множество 8р^ = {X — х& gt-11 Xi, xJ?-X} - спектр расстояний множества X. Заметим, что в силу одномерности пространства X'- = где
8р-^ = {-|xi — х& gt-|| xi, XjsX} = -8р^, а началом координат считается точка х0. Поэтому в одномерном случае зонность системы X, т. е. выполнение аксиомы дискретности для ее производной X'-, сводится к дискретности спектра расстояний 8р^, и в дальнейшем, говоря о производной X'-, будем в силу ее центрально-симметричности забывать о «левой» половине 8р-да и отождествлять X'- с 8р®.
Перепишем 8р^ в следующем виде:
ад
Бр (X) = У Д k,
k=0
где Дk = {|х-х^Ц ieZ} - множество расстояний междусоседками, т. е. точками системы, между которыми разместилось ровно k — 1 точек X. В частности, Д0={0}, Д1={|х, — - х,+1|| iеZ} - множество всевозможных расстояний между соседними точками системы X.
Оказывается, условие зонности системы X непосредственно связано с внутренней структурой введенных множеств Д*. Первым приближением к установлению этой связи служит следующая теорема.
Теорема 1. Пусть X — одномерная зонная система Делоне. Тогда каждое из множеств Д* конечно: Д & lt- ад VkеN.
Доказательство. В силу того, что X — система Делоне, имеем Д1 с [г-2Я], где г и Я — константы из аксиом дискретности и покрытия. Поэтому необходимым условием зонности X будет конечность множества Д1: |Д1| = т & lt- ад. Кроме того, имеем X — х+^ = X — х,+1|+ Х+1 — х,+2| + …+ |х-+*-1 — Xi+k| - и коль скоро для каждого из слагаемых в правой части существует лишь конечное число вариантов, будет конечным и число возможных сумм. Теорема доказана.
Замечание 1. Если |Д1| = 1, то X = Т — решетка.
Замечание 2. Условие конечности множества Д1 не является достаточным для зонности системы X. В самом деле, для системы
Гп, п & gt- 0,
хп =| п
[па, п & lt- 0,
где, а е Я+^ - иррациональное положительное, имеем Д = 2, но Sp (X) = {/ + та| I, т & gt- 0 — целые} не обладает свойством дискретности. Известно, что всякое иррациональное число, а можно приблизить рациональной дробью р/ц с точностью до 1/ц2, т. е. VаеЯ+Q,
VqеN ЗреМ |а — р/ц | & lt- /ц2, илиа — р| & lt- 1/ц, но qа, pеSp (X) Vp, qеN. Поэтому для любого е & gt- 0 найдутся две точки в 8р^, отличающиеся друг от друга менее чем на е, что нарушает аксиому дискретности для X'-, и стало быть, X — не зонная.
Согласно теореме 1, из зонности X необходимо следует, что Д1 состоит из конечного числа элементов: Д1 = {г1, г2,., гт}, где Г1 — возможные расстояния между соседними точками. Если все гi попарно соизмеримы, то, полагая г1 = 1, получаем гi = ai|bi, ai, biеZ, i = 1,…, т. Поэтому X с Т, где Т — решетка с шагом ----------1------, и X'- с Т = Т- следовательно, X'- -
НОК (Ь2,…, Ьт)
зонная.
Пусть теперь не все г1 из Д1 соизмеримы между собой. Рассмотрим подробно случай, когда |Д1| = 2, т. е. Д1 = {а, Ь}, где а/Ь гQ. Здесь исследовать структуру множеств Д* поможет геометрическая интерпретация.
Зонные системы с двумя несоизмеримыми расстояниями между соседними точками: геометрическая интерпретация
Заметим, что если какое-то из расстояний, например а, присутствует в системе X лишь конечное число раз *, то X есть подмножество мультирешетки, а именно * + 1 решеток с шагом Ь, каждая из которых проходит через левую вершину одного из отрезков длины а, а последняя — через правую вершину самого правого из таких отрезков (рис. 1). Как уже отмечалось выше, в этом случае X'- - также подмножество некоторой, вообще говоря, более мелкой, мультирешетки (с большим количеством решеток), следовательно, обладает свойством зонности. Поэтому следует остановиться на тех системах X, в которых оба возможных расстояния, а и Ь между соседними точками встречаются бесконечное число раз.
Изобразим систему 8р (Х) (которая, напомним, отождествляется с производной X'-) на плоскости: каждой паре к-соседок (х, х1+к) точек системы X, такой, что |х, — - х+к = та + пЬ, т. е. между точками х, и х+к расположено т отрезков длины, а и п отрезков длины Ь, поставим в соответствие точку плоскости с координатами (т, п).
Например, для системы X, описанной в замечании 2 предыдущего раздела (в этом случае, а = 1 и Ь = а), 8р (Х) заполнит весь первый квадрант плоскости, поскольку Ут, п & gt- 0 Эх, — = Хт х,+к = Х-п: |х, — х,+к| = та + пЬ.
Для правильной системы X:
J_________I___________I_______I___________I_______I___________1_
а Ь, а Ь, а Ь
Рис. 2
8р (Х) изобразится так:
0 1 2 3 4 5 6
Рис. 3
Действительно, для к = 2п Ак состоит только из одного элемента |х, — - х,+2п| = п (а + Ь), а для к = 2п + 1 — из двух: г1 = п (а + Ь) + а, г2 = п (а + Ь) +Ь.
Заметим, что при таком изображении 8р (Х) множество Ак изображается точками, лежащими на прямой х + у = к, т. е. состоит из таких точек (п1,п2), что п1 + п2 = к и Зх"хІ+кєХ: |х — х+к1 = п1а + п2Ь.
Обозначим через Ак и ак наибольшее и наименьшее количество отрезков а, а через Вк и Ьк — наибольшее и наименьшее количество отрезков Ь, входящих в расстояния между к-соседками. Очевидно, Вк = к — ак и Ак = к — Ьк, при этом необязательно Вк = Ак или Ьк = ак.
Заметим, что все промежуточные значения между Ак и ак достигаются (то же для Вк и Ьк). Действительно (рис. 4), двигаясь по прямой от пары точек (х,-, х,+к), на которой достигается максимум по количеству а, т. е. Ак, к паре-, х+к), на которой достигается минимум по количеству а, т. е. ак, мы пробежим все промежуточные значения. Поэтому, изображая 8р (Х)
а
Ь
Ак -----------------------------------^ ак
X Хі+к Xj Х]+к
Рис. 4
на плоскости, будем отмечать только крайние точки множества Дк, соединяя их с крайними точками множеств Дк-1 и Дм и получая, таким образом, нечто вроде бесконечной изгибающейся трубы (рис. 5). При этом ширина «трубы» на к-м участке (количество отрезков с целочисленными координатами, входящих в Дк) равна Ак — ак + 1 (или Вк — Ьк + 1). В дальнейшем 8р (Х и систему X'- будем отождествлять с точками или отрезками Дк полученной «трубы».
Рис. 5
Геометрические свойства производной
Пусть для Дк известны Ак и ак (или, что-то же самое, Вк и Ьк). Так как любое расстояние между (к + 1)-соседками образуется из расстояния между к-соседками добавлением либо а, либо Ь, то, очевидно, Ак+1 & gt- Ак, ак+1 & lt- ак + 1.
Из тех же соображений Ак-1 & gt- Ак — 1, ак-1 & lt- ак.
Получаем
Свойство 1. Если отрезок Дк принадлежит системе X'-, то ей во всяком случае принадлежат все целочисленные точки прямоугольника, имеющего Дк своей диагональю.
Далее, поскольку для любого элемента из Д2п выполнено равенство |х, — хі+2п =
= |х, — - х+п + хі+п — х+2п, то А2к & lt- 2Ак, а2к & gt- 2ак, и вообще для любого п: Апк & lt- пАк, апк & gt- пак,
отсюда имеет место
Свойство 2. Дпк не выходит за пределы «конуса», образованного лучами, исходящими из начала координат и проходящими через крайние точки Дк.
Замечание 1. Вся «труба», конечно, при этом не обязана содержаться в таком конусе (что видно, например, на рис. 3, где «конус» для к = 2 состоит только из прямой х = у). Речь идет лишь об участках «трубы» с номерами, кратными к.
Замечание 2. Свойства 1 и 2 справедливы для любой одномерной системы Делоне X и ее производной X'.
Геометрия зонных систем
Выясним, какие ограничения накладывает на «трубу» условие зонности. Проведем на плоскости, изображающей X'-, прямую ах + Ьу = 0. Заметим, что поскольку а/Ь г Q, то прямая не содержит других целочисленных точек плоскости, кроме (0,0), но проходит сколь угодно близко от них. Пусть теперь изображению системы X'- = 8р (Х) на «трубе» принадлежат точки М (шьш2) и МП1, п2). Это значит:
а) найдутся такие точки xy, z, tеX, что |х -у| = т1а + т2Ь, р — /| = п1а + п2Ь-
б) системе X'- принадлежат точки т1а + т2Ь и ща + п2Ь, причем расстояние между ними равно (п! — т1) а + (п2 — т2) Ь. Таким образом, это расстояние будет тем ближе к 0 (что нарушает аксиому дискретности для X'), чем ближе к прямой ах + Ьу = 0 располагается конец вектора ММ, отложенного от начала координат.
Теорема 2. Пусть X — зонная система Делоне с Д1 = {а, Ь}, где а/Ь г Q. Тогда
3 зир (Ак — ак) = зир (Вк — Ьк) = т & lt- ад. Иными словами, Дк не может растягиваться по длине
к к
более чем на ш, т. е. для расстояний между к-соседками возможно лишь не более чем т различных комбинаций из, а и Ь.
Доказательство. Поскольку прямая ах + Ьу = 0 проходит сколь угодно близко от точек с целочисленными координатами, можно для любого е & gt- 0 найти точку Ц/ь/2) с целыми координатами такую, что 0 & lt- а11 + Ь12 & lt- е, т. е. лежащую сколь угодно близко к прямой ах + Ьу = 0, и такую, что ее радиус-вектор имеет целые (разумеется, достаточно большие) и при этом разнознаковые координаты.
Предположим, что конечной точной верхней грани ш, указанной в формулировке теоремы, не существует. Тогда найдется отрезок Дк сколь угодно большой ширины. Но по свойству 1 Дк входит в X'- вместе со всем прямоугольником, для которого он является диагональю. Поскольку величина этого прямоугольника может быть выбрана сколь угодно большой, мы сможем найти в нем две точки М (ш1,ш2) и Ж (п1,п2) (рис. 6), такие, что вектор ММ имеет координаты (/1,/2), — как это было показано непосредственно перед формулировкой теоремы 1, две точки в X'-, расстояние между которыми меньше е, что противоречит зонности Л'-. Полученное противоречие доказывает теорему.
Замечание 1. Выше уже говорилось, что конечность множества Ді (а в нашем случае |Ді | = 2) влечет конечность Дк для любого номера к. Теорема 2 утверждает гораздо большее, а именно — наличие единой константы т, ограничивающей мощность всех множеств Дк.
Замечание 2. Геометрически теорема 2 означает, что для зонной системы X ее «труба» X'- имеет конечную ширину т (рис. 7).
Рис. 7
Дальнейшее развитие этих идей позволяет более полно выявить геометрические свойства зонных систем Делоне и получить ответ на сформулированный в конце второго раздела вопрос. Автор смеет утверждать, что именно зонность может служить критерием наличия в структуре вещества, отвечающего Х, какого-либо порядка (симметрии). Таким образом, по меньшей мере для одномерных систем Делоне, зонные системы являются единой моделью кристаллических и почти-кристаллических структур.
1. Делоне Б., Падуров А., Александров А. Математические основы структурного анализа кристаллов. М. :
Гостехтеориздат, 1934. 328 с.
2. Делоне Б. Н., Долбилин Н. П., Штогрин М. И., Галиулин Р. В. // ДАН СССР. 1976. Т. 227. № 1. С. 19−21.
3. Гратиа Д. // УФН. 1988. Т. 156. № 2. С. 347−364.
4. Коваленко Д. В. // Изв. Междунар. академии наук высшей школы. 2003. № 4 (26). С. 195−209.

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой