Нелинейное уравнение Вольтерра в банаховом функциональном пространстве

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Физико-математические науки


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

ИЗВЕСТИЯ ВЫСШИХ УЧЕБНЫХ ЗАВЕДЕНИЙ
2005 МАТЕМАТИКА № 10 (521)
УДК 517. 929
Е.С. ЖУКОВСКИЙ
НЕЛИНЕЙНОЕ УРАВНЕНИЕ ВОЛЬТЕРРА В БАНАХОВОМ ФУНКЦИОНАЛЬНОМ ПРОСТРАНСТВЕ
К нелинейному интегральному уравнению Вольтерра сводятся многочисленные прикладные и теоретические задачи, например, задача Коши для обыкновенного дифференциального уравнения, краевые задачи для уравнений параболического типа и т. д. ([1], с. 754). Современные математические модели в физике, экономике, биологии, учитывающие инерцию объектов, конечность скоростей распространения сигналов, факторы запаздывания, описываются функционально-дифференциальными уравнениями [2]-[4], задача Коши для которых эквивалентна уравнениям с вольтерровыми операторами в некотором банаховом функциональном пространстве. Такие операторные уравнения наследуют многие свойства классических уравнений Вольтерра и являются их естественным обобщением.
В данной работе рассмотрены утверждения о существовании, единственности, продолжаемости локальных решений нелинейных обобщенно вольтерровых уравнений, получены оценки области определения предельно продолженных решений, доказаны теоремы о непрерывной зависимости решений от параметров. Все перечисленные результаты являются новыми применительно не только к обобщенному, но и «классическому» уравнению Вольтерра.
1. Неподвижные точки нелинейных вольтерровых операторов
Поставим в соответствие каждому 7 € [0, b — а] некоторое измеримое множество е7 с мерой /х (е7) = 7 таким образом, что
V7, г/ € [0, b — а] 7 & lt- г/ =& gt- е7 С en. (1)
Обозначим совокупность построенных так множеств через v. Пусть Y, В — линейные нормированные пространства функций /: [а, Ь] -& gt-• Rm. Отображение F: Y -& gt-• В будем называть вольтерровым на системе v, если для каждого множества е7 € v и любых функций у, z € Y из y (s) = z (s) на е7 следует (Fy)(s) = (Fz)(s) на е7. Известное определение из [5] соответствует вольтерровости на системе множеств е7 = [а, а + 7]. Отметим, что современные трактовки понятия вольтерровости для линейных операторов предложены в работах [6]-[15]. Нелинейные обобщенно вольтерровые операторы пока изучались мало. С. А. Гусаренко предложен признак разрешимости уравнения с «б-вольтерровым» оператором ([3], сс. 284, 285).
Исследование свойств нелинейных вольтерровых на системе v операторов начнем с очевидного замечания, что сумма и композиция таких операторов является вольтерровым оператором на системе V.
Будем говорить, что в функциональном пространстве В относительно системы v выполнено
V-условие, если это пространство банахово и для любого множества е7 € v и любой сходящейся последовательности {у*} С В, ||у* - у\в -«• 0, из равенства yi (t) = 0, г = 1, 2,…, при всех t G е7 следует, что и предельная функция y (t) = 0 при t G е7.
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект № 01−01−140), Министерства образования Российской Федерации (проект № Е02−1. 0−212).
Теорема 1. Пусть в банаховом пространстве В выполнено V-условие. Если последовательность вольтерровых на v операторов Ft: Y -«• В сходится на каждом, у G Y к оператору F: Y -«• В, то оператор F будет также вольтерров на системе v.
Рассмотрим уравнение
(Fx)(t) = 0, t (E[a, b, (2)
с вольтерровым на системе v оператором F: Y -«• В. Обозначим через Y (e7), В (е7) пространства сужений функций из У, -В на множество е7. Определим оператор П7: В -& gt-• В (е1) равенством (П7ж)(?) = x (t), t G е7. Пусть оператор Р1: Y (e7) -& gt-• Y некоторым образом продолжает функции из Y (e7) на весь отрезок [а, Ь]. Если существует число 7G (0,i"-a) и элемент z7 G Y (e7), удовлетворяющий равенству П 1FP1z1 = 0, то уравнение (2) будем называть локально разрешимым, а функцию — локальным решением, определенным на е7. Элемент zb_a G Y, удовлетворяющий уравнению (2), назовем глобальным решением. Будем говорить, что функция zv: U е7 -& gt-• Rm, г/ G (0, Ь — а], является предельно продолженным решением уравнения (2), если
при любом 7 G (0, г]) сужение z1 функции zv на множество е7 является локальным решением и lim ^ ||г7|| = 00. Вследствие вольтерровости оператора F сужение г7 решения z^ (локального,
глобального или предельно продолженного) на произвольное множество е7, 7 G (0, ?), будет локальным решением уравнения (2). Будем называть решение z1 частью решения Zq, а решение Z (. — продолжением решения z7.
Рассмотрим утверждения о неподвижных точках вольтеррового на v оператора К: В -& gt-• В, т. е. исследуем разрешимость уравнения
x (t) — (Kx)(t) = 0, t G [a, b, (3)
являющегося частным случаем уравнения (2).
Зададим норму в пространстве В{еп) формулой ||у7||в (е7) = inf IMU) гДе нижняя грань берется ПО всевозможным продолжениям у G В функции у7 G В (е1). Если выполнено V'--yc. IOISIIf. то при таком определении нормы пространство В (е1) становится банаховым. Определим отображение Z: (0, b — а] х В -«• R формулой Z{-y, y) = ||П7у||В (е7). Вследствие (1) при каждом фиксированном у G В функция Z (-, y) не убывает, и поэтому существует lim Z{-y, y) = zQ (y).
7-уО+0
Доопределим отображение Z значением Z (0,y) = zQ (y).
Оператор К: В -«• В назовем локально сжимающим на системе v, если существуют такие числа q & lt- 1, 5 & gt- 0, что выполнены следующие условия:
1) V? G (0, S) Чх, у€В Z^, Kx-Ky)^qZ^, x-yy,
2) Vr, 7 G (0, b — a] r & lt- 7 & lt- r + д Ух, у G В
{x (t) = y (t), Ш G eT =4& gt- Z (7, Kx — Ky) qZ (j, x — y)}.
Оператор К: В -«• В назовем улучшающим на системе v, если
3gtx? B Z (0, Кх) & lt-. в, (4)
Vr & gt- 0 Me & gt- 0 35 & gt- 0 Мх G В Vr, 7 G [0, fo ~ о] ^ «7'- & lt- ^ =Ф& gt- Z (j, Кх) — Z (t, Кх) & lt-е. (5)
[ ||ж|| ^ г
Если оператор К линеен, то условие (4) равносильно равенству Z (0, Кх) = 0 при всех х G В. Отметим также, что линейный улучшающий на v оператор является локально сжимающим на этой совокупности множеств. Более того, имеет место
Теорема 2. Пусть в банаховом пространстве В выполнено V-условие. Если для оператора К: В -«• В существует такой линейный вольт, ерровый и улучшающий на системе V оператор Ш: В -«• В, чт, о при всех х, у Є В, 7 Є [0, & amp- - о] выполнено неравенство
г (ъкх-ку)^г (ъ1?(х-у)), (6)
то оператор К является локально сжимающим на системе V.
Доказательство. Вследствие улучшаемости оператора Ш можно выбрать произвольно д € (0,1) и найти такое положительное 8, что
Ух € В Ут, 7 € [О, Ь — а] т — 7) & lt- 8 =& gt- г (т, Шх) — ^(7, Шх) & lt- д\х\, (7)
и, кроме того, ^(0, ТУж) = 0. Таким образом, при всех? € (0,5) выполнено
г (?, Кх — К у) & lt- ^(^^(ж — у)) — Е'-(0,1?(ж — у)) & lt- д\х — у\.
Вследствие вольтерровости оператора Ш последнее неравенство останется верным, если у функций х, у изменить значения при I € [а, Ь]. Эти значения можно изменить так, что для любого
положительного е будет иметь место оценка ||ж — у|| & lt- Z ((, х — у) + е. Таким образом, получаем
?¦(?, Кх — К у) & lt- дг ((, х-у).
Далее, при всех г, 7 € [0, Ь — а], т & lt- 7 & lt- г + 8, и всех х, у € В выполнено неравенство (6). Если х (1) = у (1) при? € ет, то (ТУ (ж — у))(?) = 0,? € ет, вследствие вольтерровости линейного оператора ТУ, и поэтому 2'-(г, ТУ (ж — у)) = 0. Тогда на основании (7) получаем
г ('-у, Кх — К у) & lt- Е'-(7,Ил (ж — у)) — ^(т, РУ (ж — у)) & lt- д||ж — у||.
Осталось вновь заметить, что значения функций ж, у можно изменить при I € [а, Ь] е7 так, чтобы ||ж — у|| & lt- ^(7, х — у) + е. ?
Класс локально сжимающих на системе V операторов достаточно широк. Ему, конечно же, принадлежат не только сжимающие операторы и операторы, описанные в теореме 2. Важно заметить, что свойством локальной сжимаемости могут обладать даже разрывные операторы. Так, например, оператор
(Кх)(і) =
0,5ж (?), если? € [0, 0,5]-
0,5ж (0,5) + ж (0)(? — 0,5), если? € (0,5, 1], ж (0) — рациональное число-
0,5ж (0,5), если? € (0,5, 1], ж (0) — иррациональное число,
действующий в пространстве Сд] непрерывных на [0,1] действительных функций, ни в какой точке ж € Сод] не является непрерывным. Любая его степень Кп: Сд] -& gt-• Сд] также разрывна в каждой точке. Тем не менее, этот оператор вольтерровый и локально сжимающий на системе
V = {[0,7]}.
Теорема 3. Пусть в банаховом прост, ранет, ее В выполнено V-условие, оператор К: В -«• В является вольт, ерровым, и локально сжимающим на системе V. Тогда при любом 7 € (0, Ь — а] существует единственное решение ж7 € В{еп) уравнения ж7 = П7КР7ж7. Другим, и словами, существует единственное глобальное решение уравнения (3), и всякое локальное решение является частью этого решения.
Доказательство. Возьмем числа д & lt- 1, 8 & gt- 0, удовлетворяющие всем условиям из определения локальной сжимаемости оператора К. Пусть? = 8/2. Уравнение ж^ = И^КР^х^ имеет
единственное решение € В (е^), т.к. оператор К^ = И^КР^: В{е^) -& gt-• В (е^) является сжимающим. Пусть г € В — некоторое продолжение функции Для нахождения решения уравнения
(3) при? € [а, Ь] сделаем замену у = х — г. Получим уравнение
у = К (у + г)-г. (8)
Определяемый равенством Ку = К (у + г) — г оператор К действует в подпространстве В^ С В
функций, тождественно равных нулю на е%. При I € е2^ уравнение (8) является уравнением
У2? = П2? КР25у2? (9)
со сжимающим оператором К2^ = И2^КР2^, действующим в подпространстве функций из В (е2^), равных нулю на множестве е%. Уравнение (9) однозначно разрешимо. Пусть — его решение. Тогда функция (П2^.г + г2^)(1) является решением уравнения (3) при I € е2^.
Продолжая аналогичные рассуждения, за конечное число [^^-] шагов построим единственное глобальное решение гь-а € В уравнения (3). Любое локальное решение г7, определенное на е7, с помощью таких же построений может быть продолжено до глобального решения. Из единственности решения гь-а следует единственность локального решения г1.
Следствие. Пусть в банаховом пространстве В выполнено У-условие, оператор К: В -«• В является вольтерровым на системе V, и найдется такой линейный вольтерровый и улучшающий на системе V оператор Ш: В ^ В, что имеет место оценка (6). Тогда существует единственное глобальное решение уравнения (3), и всякое локальное решение является его частью.
Теорема 4. Если в банаховом пространстве В выполнено V-условие, и если оператор К: В -«• В является вполне непрерывным, вольтерровым и улучшающим на системе V, то уравнение (3) локально разрешимо, любое локальное решение является частью либо глобального решения, либо предельно продолженного решения.
Доказательство. Вследствие улучшаемости оператора К существует число д, для которого выполнено неравенство (4). Пусть г = 2д, е = д/2. Найдем 6, удовлетворяющее условию (5). Обозначим ^ = 6/2. Для любого х € В, ||ж|| & lt- 2д, имеет место
о 3
гц, кх) = (г ((, кх) — г (о, кх)) + г (о, кх)& lt-^ + д= -д. (ю)
В пространстве В (е^) выделим замкнутый шар 17 с центром в нуле радиуса §?& gt-. Оператором Ре продолжим каждую функцию из В (е^) так, чтобы ее норма увеличилась менее, чем на §. Из неравенства (10) следует включение И^КР^и С II. А т.к. оператор К^ = И^КР^: В (е^) -& gt-• В (е^) вполне непрерывен, то он имеет неподвижную точку являющуюся локальным решением уравнения (3), определенным на е%.
Теперь докажем, что любое локальное решение г71, определенное на некотором множестве е71, продолжаемо до глобального или предельно продолженного. Выберем г = ||г71|| + д,? = § и найдем 62, являющееся точной верхней границей всевозможных чисел 6, удовлетворяющих условию (5). Обозначим у2 = 71 + Для любого такого х € В, что ||ж|| & lt- ||г711| + д, х{Ь) = гУ1 (?) при ^ € е71, выполнено
г (ъ, Кх) = (г (ъ, Кх) — г{ъ, кх)) + г (71, кх) & lt- д/2 + р711|. (п)
В пространстве В (еТ2) выделим замкнутый шар с центром в нуле радиуса ||г711| + д, а в нем — множество ½ функций, совпадающих с гГ1(1) при? € е71. Множество ½ замкнуто. Оператором Р72 продолжим каждую функцию из В (е12) так, чтобы ее норма увеличилась менее, чем на д/2. Для таких продолжений можем воспользоваться неравенством (11), из которого будет следовать включение 1К К Р. I С I '•_& gt-. Так как оператор КТ2 = П12КР12: В (е12) -& gt-• В (е12)
вполне непрерывен, то он имеет неподвижную точку г12. Это локальное решение уравнения (3), определенное на е72 и являющееся продолжением решения г71.
Докажем, что, продолжая описанные построения, получим глобальное или предельно про-
°С
долженное решение. Вычислим Нт ^ = т) и рассмотрим функцию г», определенную на и е7. ,
г-юо i=l
сужением которой на е7- будет г1п % = 1,2,… Если функция гп не является предельно продолженным решением, то найдется такое число N, что при всех натуральных % имеет место ||27-|| ^ N. Возьмем г = N + д, е = д/2 и найдем 8, являющееся точной верхней границей всевозможных чисел 8, удовлетворяющих условию (5). Так как ||г7-|| + д ^ N + д, то при любом г выполнено 5* ^ 8. Это означает, что за конечное число шагов будет построено глобальное решение уравнения (3). ?
Будем говорить, что в банаховом пространстве В относительно системы V выполнено С-условие, если для каждого у € В функция 2(-, у) непрерывна. Если дополнительно 2(0,у) = О при всех у € В, то будем считать, что пространство В удовлетворяет условию С0. Заметим, что условие С0 выполнено, например, для любой системы V в пространствах Ь^а щ, 1 ^ р & lt-
оо, суммируемых функций, для системы множеств е7 = [а, а + 7] в пространстве С™а щ таких непрерывных функций х: [а, Ь] -& gt-• Дта, что х (а) = 0. В ([12], с. 25) доказано, что если в банаховом пространстве В выполнены условия V, (7, то элементы любого предкомпактного множества Н С В имеют равностепенно непрерывные нормы
Уе & gt- 0 35 & gt- 0 Ух € Н Ут, 7 € [0,Ъ- а т — 7| & lt- 5 г (т, х) — г (у, ж)| & lt- е.
Следствие 1. Пусть в банаховом пространстве В выполнены условия V, С0, оператор К: В -& gt-• В является вполне непрерывным вольтерровым на системе V. Тогда уравнение (3) локально разрешимо, любое локальное решение является частью либо глобального решения, либо предельно продолженного решения.
Доказательство. Образом шара II произвольного радиуса г является предкомпактное множество К17, элементы которого имеют равностепенно непрерывные нормы ([12], с. 25). Таким образом, выполнено условие (5). Кроме того, для всех у € В имеет место 2(0, К у) = 0, т. е. верно также и (4). Итак, оператор К улучшающий на V, и можно воспользоваться теоремой 4. ?
Аналогично доказывается
Следствие 2. Пусть в банаховом пространстве В выполнены условия V, С, оператор К: В -& gt-• В является вполне непрерывным вольтерровым на системе V и имеет место неравенство (4). Тогда уравнение (3) локально разрешимо, любое локальное решение является частью либо глобального решения, либо предельно продолженного решения.
В формулировке теоремы 4 можно несколько ослабить требование улучшаемости оператора К.
Теорема 5. Пусть банахово прост, ранет, во В удовлетворяет V-условию, для вполне непрерывного, вольтеррового на системе V оператора К: В -«• В имеет место (5) и существуют такие числа д2 ^ ?& gt-1 ^ 0- чт, о при всех х € В, если 2(0, х) € [01,02Ь 1710 2(0, Кх) € [01,02]- Тогда уравнение (3) локально разрешимо, любое локальное решение является частью либо глобального решения, либо предельно продолженного решения.
Доказательство этого утверждения использует те же идеи, что и доказательство предыдущей теоремы.
Большое значение в теории нелинейных интегральных уравнений, обыкновенных дифференциальных уравнений имеют оценки вертикальных асимптот решений. Например, промежуток существования непрерывного решения уравнения Рикатти является промежутком неосцилляции решений соответствующего линейного дифференциального уравнения второго порядка ([16],
с. 42). Метод приближенного построения решений обыкновенных дифференциальных уравнений, имеющих вертикальные асимптоты, предложен в [17]. В терминологии данной работы наличие вертикальной асимптоты I = г] означает, что решение гп является предельно продолженным. В случае, когда уравнение (3) имеет бесконечное множество {г^ предельно продолженных решений, интерес представляют оценки нижней грани щ всевозможных чисел Г] - мер множеств еч, на которых определены предельно продолженные решения. Для уравнений и включений с воль-терровыми по А. Н. Тихонову операторами в пространстве непрерывных функций такую задачу поставил и решил А. И. Булгаков. В [18] он доказал, что г]0 & gt- 0, т. е. асимптоты решений отделены от начальной точки I = а, и существует промежуток, входящий в область определения любого предельно продолженного решения. Сформулируем соответствующий результат для уравнеий в банаховом пространстве.
Теорема 6. Пусть оператор К: В -«• В является вольт, ерровьш, и улучшающим на системе V. Тогда для произвольного г0, г0 & gt- д, существует такое 8 & gt- 0- чт, о для любого локального решения г7 уравнения (3), определенного на некотором множестве е7 € V, если ||г7||В (еу) г? г0, то 7 = /х (е7) ^ 8. В частности, существует такое положительное (3, чт, о для области определения и е7 любого предельно продолженного решения г» выполнено г) = /х (и е7) & gt- /3.
7& lt-«? 7& lt-«г
Доказательство. Выберем числа г, г & gt- г0 & gt- д, е = 0,5(го — д) и найдем 8 & gt- 0, удовлетворяющее условию (5) в определении улучшаемости оператора К.
Возьмем произвольное решение г1, норма которого ||г7||В (еу) ^ т’о- Для любого (€ (0,7] обозначим через г^ = П^Р1г1 сужение решения г1 на множество е%. Функция ||^||в (е{) аргумента? € [0,7] не убывает и непрерывна. Доопределим ее в нуле значением = Нт ||г% ||в (е{) • Согласно
(4) имеем г0 & lt- д. Существует такое 70 € [0,7], что ||г7о||в (е70) = го- Продолжим функцию г1о до некоторой функции г € В так, что ||. г|| ^ г. Из (5) следует 2(8, Кг) Х{) + (2(8, Кг) — 20) ^ И0 + е & lt- 0,5(г0 + д) & lt- г0. Это означает, что 70 & gt- 8. ?
Существенность условий приведенного утверждения подтверждается уравнением
х (1) = x (0)^^J '-x (s)ds^
в пространстве С[од] непрерывных на [0,1] функций. Здесь оператор К: С[од] -& gt-• С[од]!
(Кх){Ь) = ж (0) ^ /х (з)й8^ +1), является вольтерровым (согласно определению А.Н. Тихонова),
вполне непрерывным и удовлетворяет неравенству (5) в условии улучшаемости оператора. Не выполнено лишь неравенство (4). Решением рассматриваемого уравнения являются функции х (Ь) = С052С (е& lt-) — где действительное число с принимает любые значения. Каждое решение, кроме нулевого, имеет вертикальную асимптоту I = Имеем ^ -& gt-• 0 при с -& gt-• оо, т. е. утверждение теоремы 6 не выполнено.
Для того чтобы оценить число (3, определим точную верхнюю границу 8(?, г) всевозможных чисел 8, удовлетворяющих условию (5). Заметим, что само число 8(?, г) также удовлетворяет условию (5). Функция 5(-, •) не убывает по первому аргументу и не возрастает по второму аргументу. Выберем е & gt- 0. Пусть сужение г71 предельно продолженного решения гп на некоторое множество е71 имеет норму \гГ1\В (еу) = ?& gt- + ?'-• Продолжим эту функцию до элемента г € В, || г || ^ д + 2е. Вследствие улучшаемости оператора К выполнено неравенство 2(8(е, д+2е), Кг) ^ д+?. Отсюда 71 ^ 8(е, д+2е). Аналогично, мера 72 множества е72, на котором \г12 ||в (е72) = 6+2е, удовлетворяет неравенству 72 ^ 8(е, д+2е) + 8(е, д+Зе) и т. д. Таким образом,
ОС _
V ^ ${е-& gt- в + пе) — Так как члены этого знакоположительного ряда образуют невозрастающую
п=2
ос_
последовательность, то его сумма 5(е) удовлетворяет неравенству 5(е) ^ / 8(е, д + 1е) сИ. (Здесь
подинтегральная функция аргумента I не возрастает и поэтому измерима.) Вследствие произвольности е & gt- 0 окончательно получаем следующую оценку асимптоты решения.
Теорема 7. Пусть оператор К: В -«• В является вольт, ерровьш, и улучшающим на системе V. Если
поо _
Нт I 8{е, д + ?е)еЙ & gt- Ь — а, (12)
то уравнение (3) не имеет предельно продолженных решений. В противном случае для любого
предельно продолженного решения выполнено
пОО
г] ^ Нт 8{е, д + 1е) Ш,. (13)
Замечание. Если при некотором е & gt- 0 несобственный интеграл в (12) расходится или при
е -У 0 интеграл неограниченно возрастает, то неравенство (12), естественно, считаем выполненным.
Точность оценки (13) проиллюстрируем следующим примером. Рассмотрим в пространстве непрерывных функций уравнение
г*
х{€) = [ (х2(з) + 1)(1з, і, ^ 0. ¦ '-о
Его единственное решение х (і) = tg^ имеет вертикальную асимптоту і = §. Для оператора
І Т2 _________________________________________________________________
(Кх)(Ь) = ]'-(х2(й) + 1) ёй имеем д = 0. Из неравенства /(г2 + 1) ёй & lt- є находим 8(є, г) = т2 — п =
Следовательно, на основании формулы (13) получаем
('-°° Є, ,. (К с Ж
ті ^ пт ---------------------М = пт — - агс1-е2е = -.
'- е_ю у2 еЧ? + 1 г-Ю 2 ъ) 2
2
2. Непрерывная зависимость решений от параметров уравнения
Операторы: В -«• В, г = 1, 2,…, назовем в совокупности локально сжимающим, и на системе V, если существуют такие числа д & lt- 1, 5 & gt- 0, что выполнены условия
1) УС € (0,5) V®, у € в V* гц, Щх — Щу) & lt- дгц, X — у) —
2) Уг, 7е (0,& amp--о] г & lt- 7 & lt- г + 8 Ух, у € В Щ
{ж (?) = у (?), Ш € ет =4& gt- •2'-(7, К^х — К^у) ^ х — у)}.
Если последовательность в совокупности локально сжимающих на V операторов: В -& gt-• В,
* = 1,2,…, сходится на каждом х € В к оператору К: В -«• В, то оператор К будет локально сжимающим на V.
Теорема 8. Пусть в банаховом прост, ранет, ее В выполнено V-условие. Пусть, далее, воль-
терровые на системе V операторы Кг: В -«• В, г = 1, 2,…, являются в совокупности локально
сжимающим, и и для любой сходящейся последовательности {ж*} С В, ||ж* - х\ -& gt-• 0- имеет место \KiXi — Кх|| -& gt-• 0- где К: В -«• В. Тогда при каждом, г уравнение
ж*(?) — (К^Хг)^) = 0,? € [а, & amp-], (14)
имеет единственное глобальное решение всякое локальное решение будет частью соответствующего глобального решения. Уравнение
х (Ь) — (Кх)(Ь) = 0, I, € [а, Ь, (15)
также имеет единственное глобальное решение г, всякое локальное решение будет, его частью и
||^ - г\ -& gt-• 0. (16)
Доказательство. Из условий теоремы следует сходимость последовательности {К^ на каждом ж € В к оператору К. Поэтому оператор К будет локально сжимающим и согласно теореме 1 вольтерровым на V. Из теоремы 3 следует однозначная разрешимость уравнений (14), (15). Докажем, что для их решений г выполнено (16).
Возьмем числа д & lt- 1, 5 & gt- 0, удовлетворяющие условию совокупной локальной сжимаемости операторов Кь К. Для любого е & gt- 0 найдем такие & lt-Т & gt- 0, 1 г € -/V, что при всех х € В, г € N из неравенств \х — г\ & lt- П. / & gt- 1 следует ||Кгг — Кг\ = ||К,.г — г\ & lt- Без ограничения
общности можем считать, что & lt-Т & lt- ¦ Определим а2 & gt- 0, 12 € N так, чтобы при всех х € В,
г е №, если \х — г\ & lt- а2, г & gt- /•_& gt-. то || А'-,. /- - Кг|| = 11/'-,. /- - г\ & lt- Считаем а2 & lt- а1,
12 & gt- /]. Далее, существуют такие о3 & gt- 0, 13 € М, что для любых х ^ Н. / ^ Л:. удовлетворяющих условию ||ж — г\ & lt- а3, % & gt- 13, выполнено ||К^х — Кг|| = ||К^х — г\ & lt- ^1~^172, а3 & lt- ^1~^172, /3 & gt- /•_& gt- и т. д. Всего сделаем I = Г^т5-] вычислений, и на последнем шаге найдем стг, //. Считаем
г
_ т т
& lt-?1 & lt- --§---! -Ч & gt- -Ч-1-
Рассмотрим сужения. г^, г$ функций г^ г на множество е$, являющиеся неподвижными точками операторов Ки =: В (е$) -)• В (ей), К$ = Н$КР$: В (е$) -)• В (е^). При всех г & gt- /г
выполнено \К^г$ - г$\ & lt- Поэтому для каждого натурального п получаем \К^г$ - г$\ ^
\Щг5 — К™ё 1^|| + \К™6 ггь — К™ё & quot-^|| + • • • + \KigZg —11 ^ (яп 1 + дп 2 + • • • + д + 1)11 1& gt-(Т1 ^ -у-Учитывая сходимость последовательных приближений К™5г$ к неподвижной точке гц оператора Кполучаем оценку \г^ - г& amp-\ ^ у.
Пусть га$, г2§ - сужения функций гн, г на множество е26, = П26К1Р26: В (е2 $)
В (е2д), К21 = П21КР21: В (е2д) -& gt-• В (е2д). Построим такое продолжение и) г2 $ € В (е2 $) функции гц € В (е$), что ||го*2{ - г2б\ ^ & lt-тг. При всех г & gt- 1 г ^ 1г_! выполнено — К26г26\ =
. Следовательно, \Ki2gWi2S — гу*25II & lt- как при любом п имеет место равенство (К^чи^)^) = узюб^), ^ € е^, то можно пользоваться локальной сжимаемостью операторов К™25. Получаем \К225'-ша$ - '-ша$\ ^ \К™25'-ша$ - К^51гша$\ +
— К^2и)т\ + • • • + \Ki2sWm — и) т\ & lt- (& lt-/"- 1 + д& quot- 2 + • • • + д + 1)(1~^& lt-7,~1 & lt- Отсюда \KmWi2d — || ^ + '-Т/ & lt- • Так как последовательные приближения К^т2^
сходятся к неподвижной точке оператора Кт, то получаем неравенство \га1 — z2s\ ^
На следующем шаге вычислений находим такое продолжение € В (е3 $) функции г& amp-5 € В (е25), что ||го*3{ - гы\ ^ & lt-Тг-1- Здесь г & gt- 1 г ^ 1г1 ^ /г2- Воспользовавшись сходимостью последовательных приближений К™35у}31 к неподвижной точке оператора Ка1 = П31К1Р31: В (е3 $) -& gt-• В (е3 $), получаем оценку ||^*35 — ^з^Ц ^ И т.д. На последнем 1-м шаге вычислений докажем, что при всех % & gt- /г имеет место ||г* - г|| & lt- е ?
В случае, когда операторы К^ не являются в совокупности локально сжимающими, условия сходимости решений уравнений (14) к решению уравнения (15) можно получить, используя идеи работ [19] и [20].
Операторы К^: В -«• В, г = 1, 2,…, называют в совокупности компактными [20], если для
ОС
всякого ограниченного множества 17 С В множество и К^и компактно.
г=1
Нам потребуется следующее утверждение, полученное в [20].
Лемма 1. Пусть операторы Кг: В -«• В, г = 1, 2,…, в совокупности компактны и для любой сходящейся последовательности {ж*} С В, ||ж* - ж|| -& gt-• 0- имеет место ||К*ж- Кж|| -& gt-• 0- где К: В -& gt-• В. Тогда любая ограниченная последовательность неподвижных точек операторов Кг является компактной, всякая ее предельная точка является неподвижной для оператора К. Если неподвижная точка г оператора К единственна, то ||г* - г\ -& gt-• 0.
Отметим существенность условия ограниченности последовательности неподвижных точек операторов в этом утверждении. Рассмотрим, например, последовательность операторов
Кг: К -& gt-• Д, К-Х = & lt-
х — 1, если х ^ г-
2х — г — 1, если г & lt- х ^ г + 1-
ж, если х & gt- г + 1.
Эти операторы в совокупности компактны, т. к. и К^а, (3] С [а — 1, (3. Далее, для любого х € К
1 = 1
и любой его окрестности и существует такой номер I, что при всех * & gt- I, у € и выполнено К^у = у — 1. Таким образом, для любой сходящейся последовательности {ж*} С Я, ||ж* - х\ -& gt-• О, имеет место \KiXi — Кх\ -& gt-• 0, где К ж = ж — 1. Неподвижные точки оператора К^ образуют множество ^ = [г + 1, оо). Любая последовательность элементов {ж*}, выбранных по одному из каждого множества будет бесконечно большой, а предельный оператор К не имеет неподвижных точек.
Проверка ограниченности последовательности неподвижных точек г^ операторов К^ бывает достаточно сложной. Для уравнений общего вида обычно предполагаются выполненными априорные оценки решений [2], [3], [20], [21], из которых следует ограниченность последовательности г^. Нахождению таких неравенств в пространстве суммируемых функций на основе теорем о неподвижных точках монотонных операторов посвящена работа [22]. Можно также воспользоваться оценками решений, полученными в предыдущем параграфе (теоремы 6, 7). Еще одним препятствием к применению леммы в случае вольтерровости операторов К{ является тот факт, что уравнения (14) могут иметь предельно продолженные решения, более того, определенные на разных множествах. Для преодоления этих трудностей также целесообразно воспользоваться результатами предыдущего параграфа.
Операторы КI: В -«• В, г = 1,2,…, будем называть в совокупности улучшающими на системе V, если
3?& gt- Ух € В Уi ^(0, Кгж) ^ д,
(17)
Гт — /у| & lt-Г д
Уг & gt- 0 у.е. & gt- 0 35 & gt- 0 Ух € В Уi Ут, 7 € [0, Ь — а] & lt- ' =& gt- 1^(7, К^х) — 2'-(г, К^х) & lt- е.
(18)
Лемма 2. Пусть операторы Кг: В -«• В, г = 1.2… являются в совокупности улуч-
шающими на системе V. Тогда для произвольного г0, г0 & gt- д, существует такое 8 & gt- 0, чт, о для любого натурального г и любого локального решения г% уравнения (14), определенного на некотором множестве е7- € V, если ||^7-||в (е7-) г? г0, то 7* = /х (е7-) ^ 8.
Доказательство. Выберем числа г, г & gt- г0 & gt- д, е = 0,5(го — д) и найдем 8 & gt- 0, удовлетворяющее условию (18). Возьмем произвольное локальное решение г% уравнения (14), норма которого \г% \в (еУ1) г? То- Существует такое его сужение г?. на некоторое множество С е7-, что ||^-||в (е{.) = го- Продолжим функцию г^. до некоторой функции г% € В так, что ||г*|| ^ г. Тогда Кг) = ^(0, Кг) + (^(5, Кг) — ^(0, Кг)) ^ д + е & lt- г0. Поэтому 7* ^ С* & gt- $¦
Прежде чем сформулировать утверждение о непрерывной зависимости решения от параметров уравнения отметим следующее. Пусть операторы: 5 -& gt- В, г = 1,2,…, на каждом ж € В сходятся к оператору К: В -& gt-• В. Если операторы К^ являются в совокупности улучшающими на V, то оператор К также будет улучшающим- если операторы К^ в совокупности компактны, то и оператор К будет компактным.
Теорема 9. Пусть в банаховом пространстве В выполнено V-условие. Пусть, далее, воль-терровые на системе V, непрерывные операторы Кг: В -«• В, г = 1, 2,…, являются в совокупности компактными и в совокупности улучшающими. Пусть, наконец, для любой сходящейся
последовательности {ж*} С В, ||ж* - ж|| -& gt-• 0, имеет место ||К*ж- Кх\ -& gt-• О, где К: В -«• В. Тогда при каждом, г уравнения (14) и (15) локально разрешимы, всякое локальное решение продолжаема до глобального или предельно продолженного решения. Кроме того, существует такое (3 & gt- О, чт, о
1) для любого г и для каждого предельно продолженного решения г1 уравнения (14), определенного на и е7, выполнено & gt- (3-
2) для каждого предельно продолженного решения уравнения (15), определенного на и е7, выполнено г) & gt- (3-
3) если при каждом, г выбрать произвольно локальное решение уравнения (14), определенное на ер, то полученная последовательность будет ком, пакт, на в прост, ранет, ее В (е^), все ее предельные точки будут локальными решениями уравнения (15) —
4) если локальное определенное на вр решение уравнения (15) единственно, то
Доказательство локальной разрешимости уравнений (14), (15) и продолжаемости решений следует из теоремы 4, существование числа (3 и сходимость последовательности — из лемм 1, 2.
Условия теоремы 9 можно несколько изменить, исходя из следующих соображений. Совокупная улучшаемость операторов К: И -г И. / 1.2… будет следовать из их совокупной
компактности, если в пространстве В выполнено условие С и операторы К^ удовлетворяют неравенству (17), или если в пространстве В выполнено условие С0. Таким образом, получаем
Следствие. Пусть выполнено одно из условий: либо банахово пространство В обладает свойствами V, С0, либо банахово пространство В обладает свойствами V, С, а операторы К^ удовлетворяют неравенству (17). Пусть, далее, вольтерровые на системе V, непрерывные операторы К: И -г И. / 1.2… являются в совокупности компактными. Пусть, наконец, для
любой сходящейся последовательности {ж*} С В, ||ж* - х\ -& gt-• 0, выполнено \KiXi — Кж|| -& gt-• 0, где К: В -& gt-• В. Тогда имеет место утверждение теоремы 9.
Оценим число (3 — меру множества, на котором последовательность локальных решений уравнений (14) сходится к решению уравнения (15). Обозначим через 8(е, г) точную верхнюю границу всевозможных чисел 8, удовлетворяющих условию (18).
Теорема 10. Пусть выполнены условия теоремы 9. Тогда утверждение теоремы имеет место при любом (3, удовлетворяющем неравенству
1) для любого г уравнение (14) не имеет предельно продолженных решений, т. е. каждое локальное решение продолжаемо только до глобального-
2) уравнение (15) не имеет предельно продолженных решений, т. е. каждое локальное решение продолжаемо только до глобального-
3) если при каждом, г выбрать произвольно глобальное решение г1 уравнения (14), то полученная последовательность будет ком, пакт, на в прост, ранет, ее В, все ее предельные точки будут глобальными решениями уравнения (15) —
4) если глобальное решение г уравнения (15) единственно, то \гг — г\в -«• 0.
(19)
ОС
В частном случае, если Нт / 8(е, д + 1е) И & gt- Ь — а, то
Доказательство. Достаточно показать, что если (3 € (0, & amp- - о] удовлетворяет неравенству
(19), то, во-первых, при всех '-I для любого предельно продолженного решения г% уравнения (14) выполнено 7/* & gt- (3 и, во-вторых, существует такое число Д, что при всех '-I любое локальное решение уравнения (14), определенное на е^, имеет норму \ггр\ ^ Д.
ОС_
Итак, пусть (3 выбрано из условия (19). Тогда существует такое е & gt- 0, что (3 & lt- / 8(е, д+Ье)^ ^
2
ос _ I _
д + пе). Следовательно, найдется такой номер I, что (3 ^ ^ в + пе) — Пусть сужение
п=2 га=2
г71 на некоторое множество е71 предельно продолженного решения г% уравнения (14) имеет норму ||г71 ||в (е71) = д + ?. Продолжим эту функцию до элемента: ^ Н. ||^|| & lt- д + 2 г. Вследствие совокупной улучшаемости операторов К* выполнено неравенство И (8(е, д + 2е), К1г) & lt- д + е. Отсюда 71 ^ 8(е, д + 2е). Аналогично, если сужение г% на некоторое множество е72 предельно продолженного решения г1 уравнения (14) имеет норму \гг ||в (е72) = в + 2е, то 72 ^ 8(е, д + 2е) +
_ I _
8(е, д + Зе) и т. д. Таким образом, г) & gt- 7/ ^ ^ в + пе) ^ Р- Кроме того, здесь установлено,
п=2
что любое локальное определенное на ер решение уравнения (14) имеет норму ||^|| ^ 1е. ?
Автор выражает искреннюю признательность профессору А. И. Булгакову за советы и замечания, во многом повлиявшие на это исследование.
Литература
1. Математическая энциклопедия. Т. 1. — М.: Советская энциклопедия, 1977. — 1152 с.
2. Азбелев Н. В., Максимов В. П., Рахматуллина Л. Ф. Введение в теорию функциональнодифференциальных уравнений. — М.: Наука, 1991. — 280 с.
3. Азбелев Н. В., Максимов В. П., Рахматуллина Л. Ф. Элементы современной теории функционально-дифференциальных уравнений. Методы и приложения. — М.: Институт компьютерных исследований, 2002. — 384 с.
4. Азбелев Н. В., Симонов П. М. Устойчивость решений уравнений с обыкновенными производными. — Пермь: Изд-во Перм. ун-та, 2001. — 230 с.
5. Тихонов А. Н. О функциональных уравнениях типа Вольтерра и их применениях к некоторым задачам млтемлтической физики // Бюлл. Моск. ун-та. Секц. А. — 1938. — Вып. 8. -Т. 1. — С. 1−25.
6. Бродский М. С. Треугольные и жордановы представления линейных операторов. — М.: Наука, 1969. — 364 с.
7. Бухгейм А. Л. Уравнения Вольт, ерра и обратные задачи. — Новосибирск: Наука, 1983. — 208 с.
8. Гохберг И. Ц., Крейн М. Г. Теория вольтерровых операторов в гильбертовом пространстве и ее приложения. — М.: Наука, 1967. — 508 с.
9. Гусаренко С. А. Об одном обобщении понятия вольтеррова оператора // ДАН СССР. — 1987.
— Т. 295. — № 5. — С. 1046−1049.
10. Жуковский Е. С. К теории уравнений Вольт, ерра // Дифференц. уравнения. — 1989. — Т. 25. -№ 9. — С. 1599−1605.
11. Жуковский Е. С. Вольтерровость и спектральные свойства оператора внутренней суперпозиции // Дифференц. уравнения. — 1994. — Т. 30. — № 2. — С. 147−149.
12. Жуковский Е. С. Линейные эволюционные функционально-дифференциальные уравнения в банаховом пространстве. — Тамбов: Изд-во Тамбовск. ун-та. — 2003. — 148 с.
13. Курбатов В. Г. Линейные дифференциально-разностные уравнения. — Воронеж: Изд-во Воро-нежск. ун-та, 1990. — 168 с.
14. Лившиц М. С. О спектральном, разложении линейных несамосопряженных операторов // Матем. сб. — 1954. — Т. 34. — № 1. — С. 145−198.
15. Сумин В. И. Функционально-операторные вольт, ерровы уравнения в т, еории оптимального управления распределенными системам, и // ДАН СССР. — 1989. — Т. 305. — № 5. — С. 10 561 059.
16. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. — М.: Наука, 1976.
— 576 с.
17. Жуковский Е. С. О парам, етрическом задании решения дифференциального уравнения и его приближенном построении // Изв. вузов. Математика. — 1996. — № 4. — С. 31−34.
18. Булгаков А. И. Элементы теории краевых задач для функционально-дифференциальных включений: Дисс. … докт. физ. -матем. наук. — Тамбов. Тамбовский институт химического машиностроения, 1993. — 300 с.
19. Artstein Z. Continuous dependence of solutions of operator equations // Trans. Amer. Math. Soc.
_1977 _231 ____*N*~ 1 _p 1431_66
20. Максимов В. П. О предельном переходе в краевых задачах для функционально-дифференциальных уравнений // Дифференц. уравнения. — 1981. — Т. 17. — Ш 11. — С. 1984−1994.
21. Гусаренко С. А., Жуковский Е. С., Максимов В. П. К теории функционально-дифференциальных уравнений с локально вольтерровыми операторам, и // ДАН СССР. — 1986. — Т. 287. -№ 2. — С. 268−272.
22. Жуковский Е. С. Об интегральных неравенствах в прост, ранет, вах суммируемых функций
// Дифференц. уравнения. — 1982. — Т. 18. — 4. — С. 580−584.
Тамбовский государственный Поступила
университет 26. 12. 2003

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой