О k-вполне транзитивности вполне разложимых абелевых групп без кручения

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Физико-математические науки


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА
2012 Математика и механика № 4(20)
УДК 512. 541
М.И. Рогозинский
О А-ВПОЛНЕ ТРАНЗИТИВНОСТИ ВПОЛНЕ РАЗЛОЖИМЫХ АБЕЛЕВЫХ ГРУПП БЕЗ КРУЧЕНИЯ
Вводится понятие ?-вполне транзитивности для групп без кручения, исследуется вопрос о ?-вполне транзитивности вполне разложимых групп из некоторых классов.
Ключевые слова: абелева группа, к-вполне транзитивность.
Одним из ключевых понятий теории абелевых групп является понятие вполне транзитивности. Впервые это понятие было рассмотрено Капланским в [1] для р-групп: р-группа О называется вполне транзитивной, если для любых элементов а, Ь е О группы О из выполнения неравенства Н (а) & lt- Н (Ь) следует существование эндоморфизма 9 е Е (О), такого, что 9(а) = Ь (здесь Н (а), Н (Ь) — индикаторы элементов, а и Ь соответственно).
Понятие вполне транзитивной группы без кручения впервые появилось в работе П. А. Крылова [2]: группа без кручения О называется вполне транзитивной, если для любых элементов а, Ь е О из %(а) & lt- %(Ь), где х (а), х (Ь) — характеристики элементов, а и Ь, следует существование 9 е Е (О) со свойством 9(а) = Ь. Заметим, что в [2] группа с указанным выше свойством называлась транзитивной.
В [3] рассматривается понятие «вполне транзитивность» для произвольной абелевой группы. Затем это понятие уточняется в [4]. При этом введенное понятие вполне транзитивной абелевой группы согласуется с рассматриваемыми ранее определениями вполне транзитивной р-группы и вполне транзитивной группы без кручения.
Интерес к изучению вполне транзитивных абелевых групп продиктован следующими соображениями. Вполне транзитивными группами являются группы, обладающие различной структурой, однако имеющие фундаментальное значение в теории р-групп и групп без кручения. К вполне транзитивным группам относятся, например, р-группы без элементов бесконечной высоты, р-адические алгебраически компактные группы и однородно сепарабельные группы, которым посвящены работы Р. Бэра, Ю. Л. Ершова, Л. Я. Куликова, А. П. Мишиной, Л. Фукса и других алгебраистов, квазисервантно инъективные группы без кручения, сильно однородные группы, интенсивно изучаемые в последнее время. Также понятие вполне транзитивной группы тесно связано с изучением вполне характеристических подгрупп абелевых групп [4]. Вполне транзитивные группы без кручения интенсивно изучались в работах [5−9] и др.
В [10] Кэрролл вводит понятие к-вполне транзитивной р-группы, тем самым обобщая понятие вполне транзитивности для р-групп.
Пусть О — р-группа и к е N. Группа О называется к-вполне транзитивной, если из выполнения условий для кортежей X = (х1,х2,…, хк), У = (у1,у2,…, ук) элементов группы О:
(1) H (хг) & lt- H (у), I = 1, к-
(2) кортеж X высотно независим, в том смысле, что при г Ф ] И (гхг) Ф И (^х]-) для любых г, 5 е Z, кроме случая гхг = & amp-'-х} = 0,
следует существование эндоморфизма 9 е Е (О) группы О со свойством
9(Хг) = у-, г = 1, к.
Для рассмотрения групп без кручения нам понадобятся следующие понятия
[11].
Характеристикой называется последовательность неотрицательных целых чисел и символов ж. Обозначим через X множество всех таких последовательностей. Если XI = (& amp-!,…, кп,…) и х2 = (/],…, 1п,…), то полагают х1 & lt-х2 тогда и только тогда, когда к & lt- 1 г для всех I е N.
Пусть О — группа без кручения. Для элемента g е О максимальное целое неотрицательное число к при данном простом числе р, для которого в группе О разрешимо уравнение ркх = g, называется р-высотой элемента g и обозначается Нр (g). Если уравнение разрешимо для любого к е N, то полагаем Нр (g) = ж. Последовательность р-высот
х (g) = Фр1(gX ^р2(g),…),
где р1, р2,… — последовательность всех простых чисел, упорядоченных по возрастанию, называется характеристикой или высотной последовательностью элемента g. Так как характеристика элемента g зависит от группы О, то иногда пишут Хо (g).
Если XI = (к!,…, кп,…)их2 = (/],…, 1п,.) — характеристики, то их сумма определяется как характеристика
Х1 +х2 = (к1 + ll,…, кп + 1п ,… :к, а их разность при х2 & lt- Х1 определяется как характеристика
Х1 -Х2 = (к1 -ll,…, кп — 1п,…),
где ® плюс (минус) нечто есть да. Заметим, что в [11] для указанных операций с характеристиками используется мультипликативная запись, здесь же будет удобна аддитивная форма записи. Характеристика называется идемпотентной, если
Х+Х=Х.
Две характеристики х1 = (к1,.., кп,…) и х2 = (11,. ., 1п,…) называются эквивалентными, если неравенство кп Ф 1п имеет место лишь для конечного числа номеров п и только тогда, когда кп и 1п конечны. Класс эквивалентности во множестве характеристик называется типом. Если х^) принадлежит типу (, то говорят, что элемент g имеет тип t, и пишут t (g) = t или ^ (g) = t, если необходимо указать, что тип элемента g рассматривается в группе О.
Группа без кручения О называется однородной (типа 0, если все ее ненулевые элементы имеют один и тот же тип t.
Тип обычно представляется характеристикой, принадлежащей этому типу. Другими словами, пишут
t = ^.^ ?п. ^
понимая, что характеристику (к1,…, кп,…) можно заменить эквивалентной. Для двух типов ^ и ^ полагают ^ & lt-, если существуют две такие характеристики Х1 и х2, принадлежащие типам ^ и ^ соответственно, что х1 & lt-Х2.
Обозначим через П — множество всех простых чисел, упорядоченных по возрастанию. Тип t называется рк -делимым, если для всех характеристик
Хе t, где х = (х1,Х2,…, Хк,…), имеем х (к) = ж. Заметим, что если О — однородная группа типа t и тип t рк -делим, то ркО = О.
Семейство групп без кручения {О, }ге1 называется жесткой системой, если
шм0,0,) Ця Л1
Далее в работе под словом группа будем понимать абелеву группу без кручения. В настоящей работе рассматривается обобщение понятия вполне транзитивности для групп без кручения.
Определение 1 [12]. Пусть О — группа без кручения и к е N. Группу О назовем к-вполне транзитивной, если для любых двух кортежей длины к X = (х1, х2,…, хк), У = (у1, у2,…, ук) элементов группы О из выполнения условий
(1) х (х,) & lt-х (у, X1 =1 к-
(2) типы t (х-) и t (х1) несравнимы при I Ф ,
следует существование эндоморфизма 9 е Е (О) группы О со свойством 9(х,) = у-, I = 1, к.
При к = 1 получаем понятие вполне транзитивной группы.
Кортеж X, удовлетворяющий условию (2) определения 1, назовем и независимым. Наибольшую длинунезависимого кортежа группы О будем называтьдлиной и обозначать к ((О). К примеру,длина всякой однородной группы равна 1. В случае, если в группе О для любого к е N существуетнезависимый кортеж длины к, будем считать, что к ((О) = ж. Ясно, что при к & gt- к ((О) группа О является к-вполне транзитивной по определению. Тогда очевидно, что всякая однородная группа (в том числе делимая и ранга 1) является к-вполне транзитивной для любого к & gt- 1.
Покажем, что условие (2) определения 1 нельзя заменить условием независимости элементов кортежа X.
Пусть О — группа ранга, не меньшего двух, к & gt- 1- а, Ь е О, причем х (а) & lt- х (Ь) и элементы а, Ь независимы.
Полагаем х1 = а + Ь, х2 = а, у1 = Ь, у2 = а. Если г (О) = 2, то в группе О нет элементов, независимых с (х1, х2). Если же г (О) & gt- 2, то в качестве элементов х3, х4,…, хк выберем элементы, независимые с а, Ь. Тогда полагаем у, = х-,
I = 3, к. Ясно, что для кортежей X = (х1,х2,…, хк) — У = (у1,у2,…, ук) условие (1)
определения 1 выполнено. Также, по построению, элементы кортежа X независимы. Предположим, существует эндоморфизм 9 е Е (О) группы О, переводящий элементы кортежа X в элементы кортежа У. Тогда получаем
Приходим к противоречию, так как эндоморфизм не может понижать характеристики. ¦
Укажем некоторые свойства /-длин прямых сумм групп без кручения.
Пусть О = А © В. Тогда
1. к, (О) & gt- к, (А).
Действительно, если X = (х1,х2,…, хк) — /-независимый кортеж элементов группы А, то X также /-независимый кортеж группы О, значит к, (О) & gt- к.
2. Если для любых элементов, а є А, Ь є В типы /(а) и /(Ь) несравнимы, то к{ (О) & gt- к{ (А) + к{ (В).
Пусть X = (х1, х2,…, хк) — /-независимый кортеж группы А, У = (у1, у2,…, уі) -/-независимый кортеж группы В. Поскольку типы элементов групп, А и В несравнимы, кортеж 2 = (х1,х2,…, хк, у1, у2,…, Уі) также /-независим, т. е. к ((О) & gt- к +1.
3. Если для любых элементов, а є А, Ь є В типы /(а) и /(Ь) сравнимы, то к (О) = тах (к/ (А)-к (В)).
Для определенности будем считать, что к (В) & gt- к{(А). Пусть У = (у1,у2,…, уі) — /-независимый кортеж группы В наибольшей длины. Рассмотрим кортеж У = (у1, у2,…, у, а), где, а є А. Поскольку типы любых элементов групп, А и В
сравнимы, кортеж У не является /-независимым, т. е. в группе О нет /-независимого кортежа длины, большей чем і.
Приведем оценку верхней границы /-длины вполне разложимой группы конечного ранга. Для этого потребуется следующее понятие.
Семейством Шпернера множества Е называется семейство подмножеств Е множества Е, в котором ни один элемент не является подмножеством другого. Другими словами, если X, У є Е, то X & lt-? У и У & lt-?. X.
Теорема Шпернера [13]. Для любого семейства Шпернера Е подмножеств множества мощности п справедливо
Рассмотрим теперь данный результат в контексте вопроса о /-длине вполне разложимой группы конечного ранга.
Лемма 1. Пусть О = © Аі - вполне разложимая группа ранга п, г (Аі) = 1. То-
9(х1) = 9(а + Ь) = 9(а) + 9(Ь) = у1 = Ь и 9(х2) = 9(а) = у2 = а. Учитывая оба равенства, приходим к соотношению 9(Ь) = Ь — а. Рассмотрим характеристики элементов из этого равенства:
Х (9(Ь)) = х (Ь — а) = іпада) — х (Ь)) & lt- х (а) & lt- х (Ь).
и & lt- сп1, где т = П2
п
і=1
Доказательство. Действительно, пусть для некоторого к е N имеется кортеж элементов группы О X = (х1,х2,… хк). Для /-независимости кортежа Xнеобходимо, чтобы индексное множество I (х2) не являлось подмножеством множества I (х ¦) для всех ] ФI. Другими словами, необходимо, чтобы индексные множества
I (х2), I = 1, к, образовывали семейство Шпернера для множества {1,2,…, п}. По теореме Шпернера, наибольшее число таких множеств для вполне разложимой
Замечание. Верхняя оценка достигается, например, для групп вида О = © А2 ,
Поскольку вполне разложимая группа к-вполне транзитивна при к & gt- к (0), далее в тексте для вполне разложимых групп ранга п, в силу теоремы Шпернера,
полагаем к & lt- Сп.
Рассмотрим вопрос о к-вполне транзитивности вполне разложимых групп из некоторых классов.
Теорема 2. Пусть О = А1 © А2, где г (А1) = г (А2) = 1. Тогда О является к-вполне транзитивной для всех к & gt- 1.
Доказательство. Ясно, что при к & gt- 2 в группе О нет /-независимого кортежа длины к. Поэтому при к & gt- 2 группа О является к-вполне транзитивной по определению.
Пусть к = 2. В случае если типы /(А1) и /(А2) сравнимы, в группе О нет /независимых кортежей длины 2, тогда О по определению 2-вполне транзитивна.
Пусть /(А1) и / (А2) несравнимы. Рассмотрим кортежи X = (х1, х2),
V = (У1,У2) элементов группы О, удовлетворяющие условиям (1), (2) определения 1. В силу того, что кортеж X /-независим, заключаем, что х1 и х2 принадлежат различным прямым слагаемым Д, / = 1,2, ранга 1. Не умаляя общности, можно считать, что х1 е А1, х2 е А2. Тогда для любых а1 е А1, а2 е А2 справедливо Х (а1 + а2) & lt- х (х1) и х (а1 + а2) & lt- %(х2). Поэтому из выполнения условия (1) определения 1 для кортежей X, У и из несравнимости типов /(А1) и /(А2) заключаем, что
VI е Аи У2 е А2.
Поскольку всякая группа ранга 1 является вполне транзитивной, существуют эндоморфизмы 91 еЕ (А1), 92 еЕ (А2) со свойствами 9г-(хг-) = у{ (/'- = 1,2). Рассмотрим эндоморфизм 0 группы О, действующий по правилу: для любого g е О, g = а1 + а2, а1 е А1, а2 е А2 полагаем 9(g) = 91 (а1) + 92(а2). Тогда получаем: 9(хг-) = 9г- (хг-) = у1,1 = 1,2. Таким образом, искомый эндоморфизм найден. ¦
Для произвольной вполне разложимой группы ранга 3 уже нет однозначного ответа о к-вполне транзитивности. Приведем примеры.
группы О ранга п равно Сп. Таким образом, кг (О) & lt- Сп. ¦
п
2=1
где 4 =.
1. Рассмотрим группу О = А1 © А2 © А3, где г (А1) = г (А2) = г (А3) = 1 и
/(А1) = (0,ж, ж,…, ж,…) — /(А2) = (ж, 0, ж,…, ж,…) — /(А3) = (ж, ж,0,…, ж,…). Покажем, что О не является 3-вполне транзитивной. Пусть элементы
а е А1, Ь е А2, с е А3 имеют наименьшие характеристики в соответствующих группах. Рассмотрим кортежи X = (х1, х2, х3), У = (у1, у2, у3), элементов группы
О, где х1 = а + Ь, х2 = Ь + с, х3 = а + с, у1 = х1, у2 = Ь + х2, у3 = х3. Запишем характеристики элементов кортежа X:
Х (х1) = Х (а + Ь) = (0,0,ж, ж, ж,…) —
Х (х2) = Х (Ь + с) = (ж, 0,0,ж, ж,…) —
Х (х3) = х (а + с) = (0,ж, 0, ж, ж,…).
Видим, что кортеж X удовлетворяет условию (2) определения 1. Кортежи X, У по построению удовлетворяют условию (1).
Предположим, группа О 3-вполне транзитивна. Тогда существует 9 е Е (О), что 9(х2) = у, 1 = 1,3. Поскольку прямые слагаемые {А1-А2-А3} образуют жесткую систему, получаем, что 9(а) е А1, 9(Ь) е А2, 9© е А3. Но тогда 9(х1) =9(а + Ь) = 9(а) + 9(Ь) = у1 = а + Ь, откуда 9(Ь) = Ь и 9(х2) = 9(Ь + с) = = 9(Ь) + 9© = у2 = 2Ь + с, откуда 9(Ь) = 2Ь. Приходим к противоречию. ¦
2. Рассмотрим теперь группу О = В1 (c)В2 (c)В3, где г (В1) = г (В2) = г (В3) = 1 и /(В1) = (ж, 0,0,…, 0,…) — /(В2) = (0,ж, 0,…, 0,…) — /(В3) = (0,0,ж, 0,…, 0,…). Заметим, что для любых ненулевых элементов, а е В1, Ь е В2, с е В3 имеет место равенство /(а + Ь) = /(а + с) = /(Ь + с) = (0,0,…, 0,…). Таким образом, если кортеж X = (х1, х2, х3) является /-независимым, то, не умаляя общности, можем считать, что х1 е В1, х2 е В2, х3 е В3.
Пусть кортежи X = (х1, х2, х3), У = (у1, у2, у3) элементов группы О удовлетворяют условиям определения 1. В силу приведенных рассуждений, заключаем, что х1 е В1, х2 е В2, х3 е В3. Тогда из выполнения условия (1) определения 1 следует,
что у е В!, у2 е В2, у3 е В3.
Таким образом, получаем, что х (х2) & lt- х (у), 2 = 1,3- х1, у1 е В1, х2, у2 е В2, х3, у3 е В3. Из вполне транзитивности групп В1- В2- В3 следует существование эндоморфизмов 91 е Е (В1) — 92 е Е (В2) — 93 е Е (В3), со свойствами: 92 (х2) = у,
I = 13.
Рассмотрим эндоморфизм 9 е Е (О) группы О, действующий по правилу: для любого элемента g = а1 + а2 + а3, а1 е В1, а2 е В2, а3 е В3, имеем 9(g) = 91 (а1) + + 92(а2) + 93(а3).
Тогда для элементов кортежей X, У получаем 9(х2) = 92 (х2) = у2, 2 = 1,3. Искомый эндоморфизм найден, следовательно, группа О — 3-вполне транзитивна. ¦
Приведем критерий вполне транзитивности для однородно разложимых (в частности, вполне разложимых) групп. Для этого понадобится следующее определение:
Определение 2 [4]. Будем говорить, что однородно разложимая группа G = © Gt удовлетворяет условию контрастности для типов, если для всяких двух
teT
типов tj, t2 e T, t1 Ф t2 и любого простого числа р, такого, что pG Ф G ,
имеет место pG = G.
t2 t2
Предложение 3 [15]. Однородно разложимая редуцированная абелева группа G = © Gt вполне транзитивна тогда и только тогда, когда каждая однородная
teT
компонента ее канонического разложения вполне транзитивна и G удовлетворяет условию контрастности для типов.
Следствие 4 [15]. Вполне разложимая группа G = © Ai вполне транзитивна
iel
тогда и только тогда, когда она удовлетворяет условию контрастности для типов.
Далее, нам понадобятся следующие обозначения. Для произвольной группы без кручения G обозначим n (G) = {р e П- pG Ф G}.
Пусть G = © Ai — прямая сумма групп без кручения Ai, ni e E (G) — проекция
iel
группы G на прямое слагаемое Ai, i e I. Для любого элемента g e G введем следующее множество индексов: I (g) = {i e I: ni (g) Ф 0}.
Пусть G = © Ai — однородно разложимая группа. Для всякого J с I обозна-
iel
чим tJ = inf t (Ai). В частности, если J = {i}, i e I, то tJ = ti = t (Ai).
ieJ
Рассмотрим вопрос о k-вполне транзитивности вполне разложимых групп, имеющих следующую структуру. Пусть G = © Ai — вполне разложимая группа,
iel
r (Д) = 1, причем типы t (Д) и t (Aj) несравнимы при i Ф j. Другими словами, множество прямых слагаемых ранга 1 {Д }iel образует жесткую систему групп.
Для вполне разложимых групп с указанной структурой справедливы следующие результаты.
Теорема 5. Пусть G = © Д — вполне разложимая группа, r (Д) = 1, множество
iel
{Д }iel образует жесткую систему. Если группа G является-вполне транзитивной для некоторого к e N, то для любых конечных подмножеств J1, J2,… Jk с l, таких, что тип tJ несравним с типом tJ, выполнено Jn П Jm =0 при m Фп.
Доказательство. Пусть подмножества Jj, J2,… Jk сl конечны и таковы, что тип tJ несравним с типом tJ при m Ф п. Для всех i = 1, к обозначим
Gi = © A: и xi e Gi, такой, что l (xi) = Jt. Предположим, для некоторых
jeJi
m, n = 1, к Jm П Jn Ф0. Тогда найдется r e Jm П Jn. В силу выбора элементов xt получаем, что xm = ar + a- xn = br + b, где ar, br e Ar и r g l (a) — r i l (b). Тогда существуют u, v e Z, такие, что
uar = vbr. (*)
Рассмотрим кортеж X = (х^, х2,…, хк) элементов группы О. Из условий теоремы следует, что X /-независим. Выберем элементы кортежа У = (у1, у2,…, ук) следующим образом: при / Ф т, / Ф п полагаем у^ = хг-, ут = аг, уп = 2ЬГ. Ясно, что кортежи X и У удовлетворяют условиям определения 1. Тогда, в силу к-вполне транзитивности группы О, существует эндоморфизм 9 е Е (О), такой, что
9(х/) = yi, / = 1, к. Рассмотрим данные равенства подробнее при / = т, / = п:
9(Хт) = 9(аг + а) = 9(аг) + 9(а) = Ут = аг,
9(хп) = 9(Ь + Ь) = 9(йг) + 9(Ь) = Уп = 2йг.
Поскольку семейство прямых слагаемых (Д }ге1 образует жесткую систему, заключаем, что
9(аг) = аг и 9(ЬГ) = 2ЬГ. (**)
Из равенств (*) и (**) получаем
иаг = и9(аг) = 9(иаг) = 9(уЬг) = у9(Ьг) = 2уЬг.
Приходим к противоречию, то есть Jn П Jm = 0 при т Фп. ¦
Следствие 6. Пусть О = © Д — вполне разложимая группа, г (Д) = 1, множе-
/е/
ство (Д }е/ образует жесткую систему. Если группа О 2-вполне транзитивна, то для любых различных индексов т, п, к е 1 тип /(Дт) П /(Дп) сравним с типом / (Дт) П / (Д).
Доказательство. Предположим противное, то есть для некоторых т, п, к е 1 типы /(Дт) П /(Дп) и /(Дт) П /(Дк) несравнимы. Тогда типы элементов ат + ап и ат + ак, где аг- е Д, а-- е Д--, а1 е Дг, также несравнимы. Причем 1(ат + ап) П1 (ат + ак) = т, что противоречит утверждению теоремы 5. ¦
Предложение 7. Если вполне разложимая группа О =© Д1, где г (Д) = 1,
/е/
множество (Д }/е1 образует жесткую систему, вполне транзитивна, то для любых элементов а, Ь е О, из %(а) & lt- %(Ь) следует 1(Ь) с 1(а).
Доказательство. Пусть а, Ь е О и %(а) & lt- %(Ь). Из вполне транзитивности группы О следует существование 9 е Е (О), такого, что 9(а) = Ь.
Получаем Ь = 9(а) = 9(X а) = X 9 (аг-) е © Дг-, то есть 1(Ь) с 1(а). ¦
/е/(а) /е/(а) /е/(а)
Учитывая приведенные выше результаты, получаем следующие факты. Теорема 8. Пусть О = © Дг- - вполне разложимая группа, г (Д) = 1, множество
/е/
(Д }/е1 образует жесткую систему. Группа О к-вполне транзитивна для всех к е N тогда и только тогда, когда выполнены условия
(А) группа О удовлетворяет условию контрастности для типов-
(Б) для любых двух элементов а, Ь е О с несравнимыми типами выполнено 1 (а) П1 (Ь) =0.
Доказательство. Необходимость. Пусть О является к-вполне транзитивной для всех к є N. Тогда, так как О является вполне транзитивной, в силу утверждения предложения 3 О удовлетворяет условию контрастности для типов, и, так как О является 2-вполне транзитивной, из теоремы 5 при к=2 следует выполнение условия (Б).
Достаточность. Пусть для группы О выполнено (А) и (Б). Из предложения 3 следует, что О является вполне транзитивной. Докажем, что О к-вполне транзитивна для всех к & gt- 2.
Пусть X = (х1,х2,…, хк), У = (ух, у2,…, ук) — кортежи элементов группы О, удовлетворяющие условиям определения 1. Из условия (1) определения 1 и условия (Б) теоремы следует, что при і Ф ] І (хі) ПІ (х}-) = 0. Обозначим через
_ к ______ к _
Іі = І(хі), Оі = © Л1,І = І(ІІ Іі), О =(c)_ А. Тогда О =© Оі © О.
ІєІ (хі) і=1 ієІ г=1
Из вполне транзитивности группы О следует, что всякая Оі также вполне транзитивна и, из условия (2) определения 1 и по предложению 7, что
І(уі) с І(хі), то есть уі є Оі. Тогда существуют 9і є Е (Оі) со свойством __________________ к
9і (хі) = уі, і = 1, к. Рассмотрим эндоморфизм 9 = ^ 9п є Е (О), где п є Е (О) —
і=1
проекция группы О на прямое слагаемое Оі, і = 1, к. Тогда по построению имеем
9(хі) = 9і(х) = у. ¦
Теорема 9. Пусть О = © Лі - вполне разложимая группа, г (Лі) = 1, множество
ієІ
{Л }ієІ образует жесткую систему и к є N. Группа О к-вполне транзитивна тогда и только тогда, когда для любых конечных множеств Зх,/2,…, Jk с І, таких, что типы ї, и ї, несравнимы при т Ф п, выполнены условия
^ т, п
(I), п П, т =0 при т Ф п —
(II) Группы От = © Л удовлетворяют условию контрастности для типов
іє, т
(т = 1, к) —
(III) Если для конечного множества индексов, с І и натурального т = 1, к справедливо ї, & gt-, то, с, т.
Доказательство. Необходимость. Выполнение условия (I) следует из теоремы 5.
Докажем, что группы От = © Лі вполне транзитивны. Пусть а, Ь є От и
іє, т
Х (а) ?х (Ь). Построим кортежи X = (х1,х2,…, хк), У = (у1,у2,…, ук) следующим образом. При і Ф т выберем хі є Оі так, чтобы І(хі) = , — уі = хі, хт = а, ут = Ь. Поскольку группа О является к-вполне транзитивной, существует 9 є Е (О), что 9(хі) = уі. Рассмотрим сужение 9 т =9|О. Так как {А}ієІ образует жесткую систему, 9 т є Е (От). Получаем, что 9 т (а) = Ь, то есть От вполне транзитивна.
Покажем, что условие (III) также выполнено. Пусть для некоторых J с I и m = 1, к справедливо J ^ J. Тогда существуют элементы х e Gm, y е © Ai, I (x) = Jm-I (y) = J, для которых выполнено x (x) ^ x (y). По-
ieJ
строим кортежи X = (x1,x2,…, хк), Y = (y1,y2,…, Ук). При i Ф m выберем xi e Gi так, чтобы I (xi) = J, yi = xi, xm = x, ym = y. Ясно, что X и Y удовлетворяют условиям определения 1. Тогда, из к-вполне транзитивности группы G следует существование эндоморфизма 9eE (G) со свойством 9(xi) = yi. Но тогда y = 9(x) е Gm, то есть J = I (y) с I (x) = Jm.
Достаточность. Пусть условия (I), (II) и (III) выполнены. Покажем, что G является к-вполне транзитивной. Рассмотрим кортежи X = (xl, x2,…, xk),
Y = (y1, y2,…, yk) элементов группы G, удовлетворяющие условиям определения 1. Для всякого m = 1, к обозначим Jm = I (xm), Jm = I (ym), Gm = © Ai,
ieJm
Gm = © Ai. Из условия (II) следует, что группы Gm вполне транзитивны. Значит,
ieJm
существуют 9m е E (Gm), такие, что 9m (xm) = ym, m = 1, к. Рассмотрим эндомор-
к
физм 9 = ^ 9mnm группы G, где nm е E (G) — проекция группы G на прямое сла-
m=1
гаемое Gm. Тогда получаем
9(xi) = 9mnm (xi) = 9i (xi) = yt ,
m=1
значит искомый эндоморфизм найден. ¦
ЛИТЕРАТУРА
1. Kaplansky I. Infinite Abelian Groups. Ann Arbor: Univ. of Michigan Press, 1954.
2. Крылов П. А. О вполне характеристических подгруппах абелевых групп без кручения // Сборник асп. работ по матем. Томск, 1973. С. 15−20.
3. Гриншпон С. Я., Мисяков В. М. О вполне транзитивных абелевых группах // Абелевы группы и модули. — Томск, 1986. — С. 12−27.
4. Гриншпон С. Я. Вполне характеристические подгруппы абелевых групп и вполне транзитивность // Фундамент. и прикл. матем. 2002. Т. 8. № 2. С. 407−473.
5. Гриншпон С. Я. О строении вполне характеристических подгрупп абелевых групп без кручения // Абелевы группы и модули. Томск. 1982. С. 56−92.
6. Крылов П. А. Вполне транзитивные абелевы группы без кручения // Алгебра и логика. 1990. Т. 29. № 5. С. 549−560.
7. Чехлов А. Р. О разложимых вполне транзитивных группах без кручения // Сиб. матем. журн. 2001. Т. 42. № 3. С. 714−719.
8. Чехлов А. Р. Об одном классе эндотранзитивных групп // Матем. заметки. 2001. Т. 69. № 6. С. 944−949.
9. Grinshpon S. Ya., Krylov P.A. Fully invariant subgroups, full transitivity, and homomorphism groups of Abelian groups // J. Math. Sci. 2005. V. 128. No. 3. P. 2894−2997.
10. CarrollD. Multiple transitivity in abelian groups // Arch. Math. 1994. V. 63. P. 9−16.
11. Фукс Л. Бесконечные абелевы группы. М.: Мир, 1977. Т. 2.
12. Рогозинский М. И. ?-вполне транзитивность абелевых групп без кручения // Наука и образование: 13 Всерос. конф. студентов, аспирантов и молодых ученых. Томск, 2009. С. 14−17.
13. EngelK. Spemer theory. Camb. Univ. Press, 1997.
14. Рогозинский М. И. ?-вполне транзитивные абелевы группы без кручения // Современные проблемы математики и механики: Материалы II Всерос. мол. науч. конф. Томск, 2011. С. 41−44.
15. Гриншпон С. Я. О строении вполне характеристических подгрупп абелевых групп без кручения // Абелевы группы и модули. Томск, 1982. С. 56−92.
Статья поступила 02. 07. 2012 г.
Rogozinsky M. I. ON ?-FULL TRANSITIVITY OF COMPLETELY DECOMPOSABLE TORSION FREE ABELIAN GROUPS. In this work, we define the notion of ?-fully transitive torsion free abelian groups. The problem of multiple transitivity of completely decomposable torsion free abelian groups from some classes is studied.
Keywords: abelian group, ?-full transitivity
ROGOZINSKY Mihail Ivanovich (Tomsk State University)
E-mail: Rogozinsky_mikhail@mail. ru

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой