Сильное вырождение особых управлений принципа максимума в распределенных задачах оптимизации

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Физико-математические науки


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

Поступила в редакцию 10 апреля 2011 г.
БЛАГОДАРНОСТИ: Работа поддержана грантом Российского фонда фундаментальных исследований № 08−01−410 и Федеральной программой содружества УрО РАН с СО РАН.
Subbotina N.N., Shagalova L.G. Application of the optimal control theory to solutions of Hamilton-Jacobi equations with state constraints. Two Cauchy problems with state constraints are considered for the Hamilton-Jacobi equations arising in molecular biology and economy, accordingly. The problems have no classical solutions. The generalized solutions are introduced, that are subdifferentiable everywhere in domain. A method is suggested to construct the generalized solutions using auxiliary optimal control problems. Results and analysis of numerical experiments are exposed.
Key words: Hamilton-Jacobi equations- state constraints- viscosity solutions- minimax solutions- optimal control- value function- subdifferential.
Субботина Нина Николаевна, Институт математики и механики УрО РАН, г. Екатеринбург, Российская Федерация, доктор физико-математических наук, заведующий сектором отдела динамических систем, e-mail: subb@uran. ru.
Шагалова Любовь Геннадьевна, Институт математики и механики УрО РАН, г. Екатеринбург, Российская Федерация, кандидат физико-математических наук, научный сотрудник отдела динамических систем, e-mail: shag@imm. uran. ru.
УДК 517. 95
СИЛЬНОЕ ВЫРОЖДЕНИЕ ОСОБЫХ УПРАВЛЕНИЙ ПРИНЦИПА МАКСИМУМА В РАСПРЕДЕЛЕННЫХ ЗАДАЧАХ ОПТИМИЗАЦИИ © В.И. Сумин
Ключевые слова: распределенные задачи оптимизации- управляемые вольтерровы функциональные уравнения- поточечный принцип максимума- особые управления. Показывается, что для широкого класса распределенных оптимизационных задач характерно сильное вырождение особых управлений поточечного принципа максимума, когда вместе с принципом максимума, который можно рассматривать как необходимое условие оптимальности первого порядка при игольчатом варьировании управлений, вырождаются и все необходимые условия оптимальности особых управлений до порядка, равного размерности пространства независимых переменных. Описан способ получения содержательных необходимых условий оптимальности сильно вырожденных особых управлений.
Управления, особые в смысле поточечного принципа максимума (п.п.м.), на которых он вырождается, играют важную роль в теории оптимизации и ее приложениях [1−4]. Однако, для распределенных систем вопросы получения необходимых условий оптимальности (н.у.о.) особых управлений (о.у.) изучены еще относительно слабо: в основном рассматривались управляемые системы Гурса-Дарбу и близкие им [2, 5−9]. Главные усилия были
направлены на конструирование с учетом специфики таких систем формул приращения, удобных для вычисления старших вариаций функционалов. За допустимые брались обычно кусочно-непрерывные управления. Предполагалось, как правило, что каждому допустимому управлению отвечает единственное глобальное решение управляемой начально-краевой задачи. Принципиально важно изучение более широкого класса управлений — измеримых (например, [3, С. 291- 4, 10], причем без указанного ограничительного условия на разрешимость управляемой начально-краевой задачи.
Соответствующий достаточно общий способ изучения о.у. п.п.м., опирающийся на возможность представления управляемой начально-краевой задачи в форме функционального уравнения второго рода специального вида в лебеговом пространстве и использующий теорию тензорных произведений лебеговых пространств для вычисления старших вариаций функционалов, был предложен в [11] (описание указанной формы см., например, в [12, 13]- в [13] можно найти самые разнообразные примеры приводимых к этой форме начальнокраевых задач для нелинейных дифференциальных и интегро-дифференциальных уравнений с частными производными). В [14−16] была представлена обобщающая способ [11] схема изучения о.у., обслуживающая широкий класс распределенных управляемых систем (приводимых к упомянутой форме) и обширный аксиоматически описанный в [14−16] класс способов варьирования, включающий большинство способов, традиционно использующихся в теории н.у.о. (классическое варьирование, игольчатое, импульсное на полосах, варьирование пакетами, сдвигом и др.).
Доклад посвящен конкретизации схемы [14−16] применительно к игольчатому варьированию [16, 17]. Показывается, что для распределенных задач оптимизации достаточно характерно сильное вырождение о.у. п.п.м., когда вместе с п.п.м. (н.у.о. 1-го порядка при игольчатом варьировании) вырождаются и все н.у.о. о.у. до порядка, равного размерности пространства независимых переменных. Это происходит, если задача «устроена не слишком сложно», как часто и бывает в приложениях.
ЛИТЕРАТУРА
1. Габасов Р., Кириллова Ф. М. Особые оптимальные управления. М.: Наука, 1973.
2. Васильев О. В. Качественные и конструктивные методы оптимизации управляемых процессов с распределенными параметрами: автореф. дис. д-ра физ. -мат. наук Л.: ЛГУ, 1984.
3. Мордухович Б. Ш. Методы аппроксимации в задачах оптимизации и управления. М.: Наука, 1988.
4. Зеликин М. И., Борисов В. Ф. Синтез оптимальных управлений с накоплением переключений. // Итоги науки и техники. Серия Современная математика и ее приложения. Тематические обзоры. 90. Оптимальное управление 4. М.: ВИНИТИ, 2001.
5. Срочко В. А. Условия оптимальности для одного класса систем с распределенными параметрами // Сиб. математ. журн. 1976. Т. 17. № 5. С. 1108−1115.
6. Ащепков Л. Т., Васильев О. В., Коваленок И. Л. Усиленное условие оптимальности особых управлений в системе Гурса-Дарбу // Дифференц. уравнения. 1980. Т. 16. № 6. С. 1054−1059.
7. Габасов Р., Кириллова Ф. М., Максимов К. Б. Необходимые условия оптимальности второго порядка для систем с распределенными параметрами. Мн, 1982. (Препринт/АН БССР. Ин-т математики, № 31).
8. Бурдуковский А. Н. Условия оптимальности особых управлений в задаче Гурса-Дарбу // Управляемые системы. Новосибирск, 1986. Вып. 26. С. 16−24.
9. Мансимов К. Б. Необходимые условия оптимальности особых процессов в задачах оптимального управления: автореф. дис. д-ра физ. -иат. наук Баку: Бакинский гос. ун-т, 1994.
10. Силин Д. Б. Линейные задачи оптимального быстродействия с разрывными на множестве положительной меры управлениями // Матем. сб. 1986. Т. 26. № 3. С. 439−448.
11. Сумин В. И. Оптимизация управляемых обобщенных вольтерровых систем: дис. канд. физ. -мат. наук. Горький. 1975.
12. Сумин В. И. Функционально-операторные вольтерровы уравнения в теории оптимального управления распределенными системами // ДАН СССР. 1989. Т. 305. № 5. С. 1056−1059.
13. Сумин В. И. Функциональные вольтерровы уравнения в теории оптимального управления распределенными системами. Вольтерровы уравнения и управляемые начально-краевые задачи. Н. Новгород: Изд-во ИНГУ. 1992.
14. Сумин В. И. Дифференцирование функционалов оптимального управления / & quot-Материалы итоговой научной конф. радиофиз. ф-та ГГУ за 1982 г., Горький 1−2 февр. 1983. Ч. 2. Деп. в ВИНИТИ: № 6035−83 ДЕИ. С. 84−91.
15. Сумин В. И. Сильное вырождение особых управлений в распределенных задачах оптимизации // ДАН СССР. 1991. Т. 320. № 2. С. 295−299.
16. Сумин В. И. Сильное вырождение особых управлений в задачах оптимизации распределенных систем // Оптимизация. Сб. научн. тр. Новосибирск, 1993. № 52 (69). С. 74−94.
17. Сумин В. И. Об особых управлениях поточечного принципа максимума в распределенных задачах оптимизации // Вестник Удмуртского государственного университета. Серия: Математика. Механика. Компьютерные науки. Ижевск, 2010. Вып. 3. С. 70−80.
Поступила в редакцию 10 апреля 2011 г.
БЛАГОДАРНОСТИ: Работа выполнена при финансовой поддержке ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» (2009−2013 годы) (проект НК-13П-13) и АЦВП «Развитие потенциала высшей школы (2009−2011 годы)» Минобрнауки Р Ф (регистрационный номер проекта 2.1. 1/3927).
Sumin V.I. Strong degeneration of singular controls in the sense of the maximum principle in distributed optimization problems. It is proved that for distributed optimization problems a sufficiently typical situation is strong degeneration of the singular controls in the sence of the maximum principle, when together with the maximum princile (which is a first order necessary optimality condition in the case of spike-shaped variation) all necessary optimality conditions through order n are degenerate. A derivation of constructive necessary optimality conditions for singular controls is suggested.
Key words: distributed optimization problems- Volterra functional equations- pointwise maximum principle- singular controls.
Сумин Владимир Иосифович, Нижегородский государственный университет им. Н. И. Лобачевского, г. Нижний Новгород, Российская Федерация, доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой математической физики, e-mail: v sumin@mail. ru.
УДК 519. 853, 517. 983
РЕГУЛЯРИЗОВАННАЯ ПАРАМЕТРИЧЕСКАЯ ТЕОРЕМА КУНА-ТАККЕРА И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ
© М.И. Сумин
Ключевые слова: выпуклое программирование- параметрическая задача- теорема Куна-Таккера в недифференциальной форме- двойственная регуляризация- оптимальное управление- некорректные задачи.
Обсуждаются т. н. регуляризованная теорема Куна-Таккера в недифференциальной форме для параметрической задачи выпуклого программирования в гильбертовом пространстве и возможности ее приложения при решении задач оптимизации, оптимального управления и некорректных задач.

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой