Процесс глобальной блок-диагонализации матриц

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Физико-математические науки


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

УДК621. 37
ПРОЦЕСС ГЛОБАЛЬНОЙ
Задачи исследования:
1) анализ методов решения СТУ-
2) построение формальных рядов-
БЛОК-ДИАГОНАЛИЗАЦИИ МАТРИЦ
АГАПОВА И.С., ДИКАРЕВ В.А., ПОДГОРБУНСКИЙ Н. С. __
Описывается алгоритм блок-диагонализации матриц, используемый для вывода систем телеграфных уравнений из уравнений Максвелла. Данный алгоритм реализован при более общих предположениях об элементах матрицы системы (например, когда элементы матрицы являются кусочно -аналитичными).
1. Введение
Процедура блок-диагонализации предложена Й. Си-буйя [4]. Однако метод блок-диагонализации, излагаемый в данной статье, отличен от метода Сибуйя и имеет по сравнению с его подходом ряд важных преимуществ. Сибуйя получает свой результат в предположении, что элементы матрицы уравнения либо аналитичны, либо бесконечно дифференцируемы (или имеют конечный запас производных). Для каждого из этих случаев его доказательства различны. Приводимое ниже построение является более общим и включает оба указанных случая, а также случаи, к которым результат Сибуйя неприменим. Отметим, например, часто встречающийся в радиоэлектронике случай, когда элементы матрицы кусочно-аналитичны. Кроме того, что особенно существенно для дальнейшего, процесс блок-диагонализации, описанный в статье, имеет «операторный» характер и применим и в бесконечномерном случае. Это дает возможность произвести вывод СТУ (систем телеграфных уравнений) из уравнений Максвелла.
Данная статья посвящена исследованию асимптотических свойств обобщенной системы телеграфных уравнений [1]:
шh
dx
Aq (x)+eAi (x)+e2A2 (x)+…
(1)
Здесь є - вещественный малый параметр- у — вектор размерности n, матрица Aq (x) подобна самосопряженной- A- (x) — гладкие функции, h є N. Соответствующий выбор h определяет характер частотной дисперсии погонных параметров (например, при h=2 учитывается скин-эффект).
Спектр матрицы Aq (x) состоит из m положительных собственных значений X^x),…, Xm (x) и m отрицательных — -Xi (x), -Xm (x). Свойства матриц A- (x)
(i & gt- 1) в большинстве случаев роли не играют.
3) теоретическое обоснование процедуры блок-диа-гонализации-
4) решение СТУ для нескольких частных случаев.
2. Построение формальных рядов Рассмотрим систему порядка n
h «¦
єУ~ 2 єJAj (x)y=A (x, є)у (2)
j=Q
где є - малый параметр (возможно комплексный), x є [ a, b], правая часть (2) представляет собой асимптотический ряд по степеням є, в котором матрицы Aj (x) — гладкие функции x.
Основное наше предположение состоит в том, что собственные значения {X-(x)} матрицы Aq (x) распадаются на две группы X^x),…, Xr (x) и
Xr+i (x), Xn (x) (нумерация собственных значений
проведена с учетом кратностей), причем при любом
x є [а, b] числа первой группы отличны от чисел второй, хотя в любой из каждой групп их поведение произвольно.
Пусть, кроме того, матрицы Aj (x) из (2) имеют бесконечную гладкость. В этом случае справедливо следующее утверждение [3]. Существует формальный степенной ряд
2 єjTj (x) j=0
такой, что формальная подстановка
у=
2 єjTj (x)
переводит уравнение (2) в формальное дифференциальное уравнение
A
єhz'-=| Z Br (x)r
r=Q
где все матрицы Br (x) имеют блочно-диагональный вид
Br (x)=
ґ Bri (x)
Br22(x) ,
Цель исследования — получение решения обобщенной системы телеграфных уравнений с помощью метода блок-диагонализации, имеющего существенное значение для решения уравнений Максвелла.
при x є [ а, Ь. Процесс отыскания матриц Tj (x), Bj (x) называется блок-диагонализацией.
24
РИ, 2007, № 1
Первый шаг конструкции будет состоять в блок-диагонализации матрицы A0(x). Покажем, что существует невырожденная гладкая матрица T0(x), такая, что матрица T (-1A0T0 имеет блочную структуру
Во =
(в011)
о в:
о
(22)
0 ,
(3)
где матрицы-блоки в (11), в (22) имеют порядки, соответственно, r и (n-r).
Для построения матрицы Т рассмотрим интеграл
P (X)=& quot-2niГ К1)^ (4)
по контуру, охватывающему r первых собственных чисел матрицы A ((x) и не содержащему других. Контур Г- зависит от x, однако, если он пригоден для некоторого x=x (, то он пригоден и для x, близких к x (. Поэтому можно выбрать конечное число контуров Гj, таких, что для каждого x є м пригоден один из Г.
Замечание. Несмотря на то, что в определении оператора P (x) формулой (4) участвует интеграл, его конструкция является, по сути, не трансцедентной, а алгебраической. В самом деле, резольвента (A0 (x)_^I) является рациональной функцией. Поэтому интеграл (4) может быть записан через ее вычеты. Последние могут быть записаны через элементы обратной матрицы к A0-pj (x)I, где p-(x) — соответствующие собственные числа. Таким образом, P (x) можно записать через миноры A0 -р- (x)I, которые находятся алгебраически.
Известно, что оператор P (x) из (4) является проектором, проектирующим на инвариантное (спектральное) подпространство M (x), отвечающее первым r собственным числам матрицы A0 (x), параллельно спектральному подпространству N (x), отвечающему остальным собственным числам A0(x). Из (3) видно, что P (x) гладко зависит от x.
Известно [3], что существует m линейно-независимых гладких вектор-функций {x- (t^m=1 таких, что x- (t) є N (t) при всех a & lt- t & lt- b.
Применяя к P (x) и 1-P (x) изложенный выше факт, построим n линейно-независимых гладких векторфункций X1(x),. хn (x), первые r которых образуют базис в M (x). А остальные (n-r) — в N (x).
Образуем теперь гладкую невырожденную матрицу T)(x), столбцами которой являются векторы {Xj (x)}j=1. Поскольку подпространства M (x) и N (x) инвариантны для A0(x), матрица B0(x)=T (01A0T0 будет иметь вид (3).
Сделаем в (2) замену y=T)Z и заменим вновь z на у.
Тогда в (2) матрица A0=B0 будет иметь блок-диагональную структуру (3). Будем искать формальную замену
y=T (x, s) z, T (x, є)=- + S єjTj (x), j=1
которая произвела бы блок-диагонализацию в дальнейших членах системы (2). Пусть в результате замены получится система
, & lt-».
єг'-= Z єjB. (x)z=B (x, є)z (5)
j=0
с коэффициентами Bj (x) вида
Bj= (B (U) j О У
0 B (22)
V j)
(6)
блоки которых B (11) и B (22) имеют, соответственно, порядки r и n-r. Подстановка в (2) и сравнение коэффициентов при степеняхє дает равенства
B (x, є)=T'-1AT-єhT-1T, AT-TB=єhT'-,
B0Tk-TkB0 =
=Bk +
-Ak-Tk-h- 2 (AsTk-s-Tk-sBs)
s=1
(7)
поскольку A0 =B0. Здесь член Tk-h следует опустить при k& lt-h. Допустим, что T) = 1 и Т1, Т2, Т1 уже выбраны, и известны B1, B2, Bk-1. Тогда (7) при-
нимает вид:
B0Tk -TkB0 =Bk +Sk, (8)
где матрица Sk известна. Будем искать Tk (x) в виде
Tk =
'- 0 T (12) & gt- Tk
T (21) 1 Tk 0 J
где t (12) и t (21) — матрицы, соответственно rx (n-r) и (n-r) xr, а Bk в виде (6). Выражение (8) эквивалентно равенствам:
Bk11)=sk11),
B (22)=S (22)
Bk Sk '
B011) Tk12)-Tk12)B022)=sk12), (9)
B{22)T (21)-T (21)B{11)=S (21).
0 k k 0 k
Первые два равенства из (9) дают значения Bk11) и B (k22). Из 3-го и 4-го надлежит определить прямоугольные матрицы Tj (12) и t (21), решая их как системы линейных уравнений.
РИ, 2007, № 1
25
Известно [1], что эти системы однозначно разрешимы, благодаря предположению, что собственные значения матрицы B0U), равные I1,…, 1r, отличны от
собственных значений матрицы B022), равных
Xr+1,., 1п при любом X. Решения этих систем являются гладкими функциями x.
Указанная процедура позволяет последовательно определять Bk и Tk. В случае, если матрица A (x, є) имеет бесконечную гладкость, для B (x, є) и T (x, є) получаются бесконечные формальные ряды, если же гладкость A (x, є) конечна, мы получим лишь конечное число членов разложения, так как, согласно (7) в уравнения для Tk и Bk входят производные от T^h.
Итак, в результате проведенной процедуры мы привели (формально) исходную систему (2) к системе (5), которая распадается на две системы меньших порядков r и n-r.
Рассмотрим отдельно два частных случая. Пусть сначала r=1. При этом первая из систем, на которые распадается (5), имеет порядок 1 и интегрируется квадратурами
z (t)=exp
x їх
: '-h J Z єjB (11)(s)ds
J=o J
=exp
є41 *Z єjB (11)(s)ds
J=o J
Z єkck (t) k=o
(10)
Пусть теперь r& gt-1, 1і=І2 = … =1r=, и матрица A0 (X не имеет векторов, присоединенных к собственным, отвечающих этому собственному числу. Иными словами, Ao (X скалярна (равна loIr, Ir -единичная матрица rxr) на соответствующем инвариантном подпространстве.
Произведем блок-диагонализацию. Тогда B0n)= 1oIr. Сделаем замену в соответствующей блок-системе
порядка r — z=exp
x
є & quot-h 110(t)dt
W. Тогда в системе
для W (x) будет отсутствовать член, содержащий є в нулевой степени, и можно сократить обе части на є. После этого получим систему с левой частью є1& quot-^'- и главной матрицей справа B (11). К ней, в зависимости от свойств матрицы B (11), можно опять применить блок-диагонализацию, производя дальнейшее понижение порядка систем.
Если предположить, что h=1, то новая система не будет содержать малого параметра при производной:
" ,
W= Z єМ^), (12)
k=o
где dk (x) — векторы порядка r. Подставим (12) в (11). Тогда
го го k
Z єkdk= Z єk Z cjdk j k=o k=o J=o
Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях є, имеем
k
d0=codo, dk=codk+ 2 cjdk-j.
J=1
Первая система является однородной линейной, не содержащей є. Если найти фундаментальную систему ее решений, то остальные системы последовательно решаются квадратурами, поскольку неоднородные части их известны.
3. Обоснование процедуры блок-диагонализации
При обосновании процедуры блок-диагонализации ограничимся рассмотрением обобщенной СТУ с h=1. Техника доказательства допускает перенесение на более общий случай и при h& gt-1. При этом можно получить условия, близкие к необходимым, но формулировки оказываются весьма громоздкими, и мы не будем их приводить.
Более точно, мы рассмотрим случай, когда существует непрерывно дифференцируемая матрица-функция U (x) такая, что U-1(x)Ao (x)U (x) — самосопряженная матрица. Ясно, что существование блок-диа-гонализирующего преобразования у системы (1) эквивалентно существованию его у системы (1) после замены y=U (x)z. Поэтому мы можем считать сразу, что матрица Ao (х) самосопряжена.
Замечание. Если система (2) есть СТУ, то предположение о существовании матрицы U (x) всегда выполнено. В самом деле, для СТУ
Ao (x)
o L
C o J,
где L (x) и C (x) — гладкие функции. Возьмем
(L½ o 1
U (x)=
o C½
U (x) — гладкая и
U-1(x)Ao (x)U (x)=
lV2cV2'-
cV2lV2
W'-=
Z єJcj (x) W, cj (x)=B (+11)(x). (11)
U=o) j j
Будем искать решение (11) в виде формального ряда:
самосопряженная.
Нам достаточно доказать, что уравнение (7) iєT'-=AT-тB
(13)
26
РИ, 2oo7, № 1
имеет решение T (x, є):
Здесь
T (x, є)=Б (х, є)+в (х, є).
p, «р k
F (x, є)= Z єkTk (x), B= Z єкБк (х) (14)
k=0 k=0
— отрезки построенных в п. 2 формальных рядов, а G (x, є)=0(єр1). При этом достаточно считать, что A0=B0. Тогда
iєG'-=AG-GБ-H, (15)
где
H^F'--AF+FBK)^^1), (16)
поскольку н — погрешность при подстановке f в (13).
Заменим f и G в (14), (15) на F+a и G-a, где а=єР+1Тр+1. Получим
іє& lt-5'-=aG-GB-H, G=G-a, H=0(єр+1).
Если мы получим оценку G=0(єр1), то отсюда будет следовать, что G=0^p1). Поэтому мы можем сразу положить в (15) н=0(єр+2).
Нам будет удобно переписать (15) в виде
ієя-R (x, є^-h, (17)
где g и h — векторы размерности n, отвечающие
матрицам G и H, а R (x, є) — матрица в пространстве
2
размерности n, отвечающая линейному оператору AG-GB.
Пусть
R (x, є)=Ro (x)+єRl (x)+є2R2(x, є),
где R2(x, є)=о (1). Матрица R0(x) самосопряженная в скалярном произведении
^12)=^^^).
В самом деле:
^0Ш2)=Бр[(Б0^-01В02]=
=Sp[(GlG2Бo-GlБoG2)]=
=Sp[Gl (G2Бo-БoG2)]=
=8р [G1 (B0G2-G2B0)]^ (g1^ R0g2& gt-.
Введем V (x, x0, є) — матричное решение уравнения
dz
ієdT^^, z (x0}= 1
и покажем, что V на [a, b] ограничено константой, не зависящей от є. Действительно,
_d_
dx
(V, V)=2Re (V, V)=
=2Re[-1(R1V, V)--(R0V, V)]=
=2Re[-i (R1V, V)]?c (V, V.
Из полученной оценки вытекает ограниченность на [a, b] нормы (V, V), а значит, и матрицы V (x).
Уравнение (17) можно переписать в виде интегрального уравнения
x
g (x)=-iє 1 V (x, s, є)R2 (s, є^^^-
a
1x
-7−1 V (x, s, є)И^^. (18)
іє a
Действительно, дифференцируя последнее равенство и учитывая, что V (t, t, є)=1,
V'-(t, s, є)=-(R0 (t)+eR1 (x))V (t, s, є), (19) іє
имеем
iєg'-(t)=є2V (t, t, є)R2(t, є^(c)-У0, t, є)h (t)+
t
+1 Vt'-(t, s, є)[є2R2(s, є)g (s)-h (s)]ds=
a
=є 2R2(t, є)g (t)-h (t)+[Ro (t)+єRl (t)] x
t 1
x 1 Vt'-(t, s, є)[-iєR2(s, є)-h (s)]ds=
a іє
=[R0 (t)+eR1 (t)+є2R2 (t, є)М)-И. (20)
Поскольку второе слагаемое в правой части указанного интегрального уравнения есть 0(єр1), а его ядро мало (имеет порядок є), методом последовательных приближений легко доказывается, что g^fc1), т. е. G=0^р+1), что и требовалось доказать.
В случае если все собственные значения матрицы A0 (x) простые, последовательное применение блок-диаго-нализации приводит к распадению системы (2) на n независимых уравнений, которые, как уже указывалось, интегрируются в квадратурах по формулам (10):
z1(x)=exp[є-h 1 Z єJbj i (s)ds]x Z єkCk, i (x). (21). =0 k=0
Этот случай является классическим и хорошо изучен. Обозначим
, h-1.
pl (x, є)=є-И z є jbj l (x)
. =0
Справедлива следующая теорема, обосновывающая в этом случае блок-диагонализацию.
РИ, 2007, № 1
27
Теорема. Пусть в некотором угле с центром в нуле комплексной плоскости при достаточно малом |є| выполняется одно из неравенств
Re рі(х, є) & gt- Re pm (x, є), (22)
Re pi (x, є) & lt- Re Pm (x, є), (23)
при m Ф l, a & lt- x & lt- b. Тогда выражения (21) асимптотически представляют n линейно-независимых решений системы (2).
Если система (2) есть СТУ, то матрица iA0 подобна самосопряженной и, значит, функции bo, i (x), являющиеся собственными числами матрицы Ao (x), чисто мнимые. Поэтому, если выполнено одно из неравенств Re bj, i (x) & gt- Re bj, m (x), Re bj, i (x) & lt- Re bj, m (x) при 1 & lt- j & lt- h-1, m, l=1,…, n и при всех a & lt- x & lt- b и є вещественно, имеют место n ВКБ-асимптотик (21), асимптотически представляющих решения обобщенной СТУ.
Рассмотрим также частный случай: СТУ с h=1, когда спектр матрицы A0(x) прост на всем интервале [a, b]. Тогда функции b0, l (x) чисто мнимые и не равны друг другу. Следовательно, условия (22), (23) выполнены в каждой из полуплоскостей 0 & lt- a^ & lt- п, -п & lt- argє & lt- 0 и там ВКБ-асимптотики представляют n ВКБ-реше-ний.
Заметим, что хотя вид ВКБ-асимптотик одинаков в обеих полуплоскостях, им соответствуют разные ВКБ-решения в каждой из этих полуплоскостей. Одного ВКБ-решения для всей плоскости є, вообще говоря, нет.
4. Склейка ВКБ-асимптотик в случае, когда коэффициенты разрывны
Рассмотрим систему (1) при h=1, a & lt- x & lt- b в предложении, что коэффициенты Ak (x) (k=0,1,2,…) кусочно-гладки. Иначе говоря, существует конечное число точек a=x0 & lt-xj<-x2. . <-xs & lt-b, вне которых функции Ak (x) являются достаточно гладкими, а в точках xi они (или их производные) могут иметь разрыв первого рода. Ясно, что этот случай важен в приложениях.
Будем предполагать, что кратность собственных чисел матрицы A0(x) на интервалах (x^xi) (включая ее пределы при xi1+0 и xi_! -0) постоянна. Тогда на интервале [xi-1, xi ] существует матрица линейно-независимых ВКБ-ассимптотик [2]:
x
Yi-1(x, є^Х^, є)exp{є-1diag (Pk (s)ds)} (24)
xi-1
и Xi-1,0(x) — невырожденная матрица n*n. Матрица Zi-1(x, є)=Yi1(x, є)xX_. 11(xi1, є) является формальным решением системы (2) на интервале [x^^xj и Zi-1(x, є)=1.
Здесь Х-1!^!, є) — формальный ряд, обратный Xi-1(xi-1, є). Существование его обеспечено тем, что матрица Xi-1,0(x) обратима.
Пусть xk-1& lt-x<-xk. Рассмотрим
z (x, є)=Zk-l (x, є)Zk-2(xk-l, є). ^^, є). (25)
Очевидно, Z (x, є) непрерывна и формально удовлетворяет системе (1). На каждом интервале [x^, xi]:
іє--A (x, є)z=G (x, є)=0(єр+1) (26)
dx
По доказанным теоремам на каждом интервале [xi-1, xi] она является асимптотическим представлением некоторого решения. Докажем, что она асимптотически представляет некоторое решение на интервале [a, b].
При доказательстве будем предполагать, что A0(x) гладкоподобна самосопряженной на каждом интервале [xi-1,xi].
Лемма. Пусть V (x, s, є) — матричное решение уравнения
іє-=[Ao (x)+єAl (x)]z dx
z (s)=1.
(27)
Тогда ||V (x, s, є)|| & lt- С, где С не зависит от є.
Доказательство. Пусть сначала х меняется на интервале гладкости и D0(x)=U-1(x)A0(x)U (x) — самосопряженная.
Сделаем замену z (x)=U (x)W (x). Тогда (27) перепишется в виде
dW -1 -1
іє---=[D0 (x^U-1A1U^U-1U'-]W=
dx
=(D0(x)+eD1(x)]W.
Имеем
¦dx^W (x), W (x))=2Re (W, W) =
=2Re[--(D0W, W-^D1W, W)]= =-2Re (iD1W, W) ^ C (W, W) ,
где С не зависит от є. Пусть теперь, для определенности, x& lt-xk. & lt-xi & lt-s. Тогда
V (x, s, є)^(у xk, є)V (Xk, xk+1, є). ^^, s, є).
где
XM (x, є)=Xi_l, o (x)+єXi_lд (x)+. +єpXi-1,p (x)
Каждый из сомножителей, как уже доказано, ограничен константой, не зависящей от є. Значит, утверждение справедливо и для их произведений. Лемма дока-
28
зана.
РИ, 2007, № 1
Последующие выкладки проводятся по той же схеме, что и в п. 3. Записывая A (x, є) в виде
A (x, є)=А0(х)+єА!(х)+є 2B (x, є), составим интегральное уравнение
X
в (х)=іє 1 V (x, s, є)В^, є)G (s)ds-
a
1 x
— 1 V (x, s, є)G (s, є)ds. (28)
іє a
Поскольку второе слагаемое в правой части (27) имеет порядок 0(є P+1), а ядро интегрального оператора мало (порядка є), методом последовательных приближений легко доказать, что G (x)=0fcp1).
Поскольку разность W=z-G в силу (26) и (28) удовлетворяет (1), z (x, є) асимптотически представляет решение на всем интервале [a, b].
5. Выводы
Получен алгоритм «склеивания» ВКБ-асимптотик в точках разрыва коэффициентов СТУ. Исследуя выражения (24) и (25), легко увидеть, как разрывы -сосредоточенные неоднородности канала — порождают преломления и отражения ВКБ-волн [2]. На этих неоднородностях, таким образом, происходит рассеяние волн. Оно происходит на любом неоднородном участке канала. Но в случае, когда неоднородность имеет высокий порядок гладкости, рассеяние имеет сверхстепенной порядок малости. Такие порядки не могут быть учтены ВКБ-методами.
Научная новизна: усовершенствован метод блок-диагонализации матриц при достаточно общих пред-
УДК519. 21
КОРРЕЛЯЦИОННАЯ ТЕОРИЯ НЕКОТОРЫХ КЛАССОВ НЕСТАЦИОНАРНЫХ СЛУЧАЙНЫХ ФУНКЦИЙ КОНЕЧНОГО РАНГА НЕСТАЦИОНАРНОСТИ
ПЕТРОВА А.Ю. ________________________________
Вводятся функциональные и числовые характеристики, позволяющие описать отклонения векторных случайных процессов и последовательностей от стационарных. Вводится понятие эволюционной представимости для векторного случайного процесса (последовательности) и получены необходимые и достаточные условия в терминах корреляционной матрицы для соответствующей эволюционной представимости.
Введение
Определенный интерес представляют векторные нестационарные случайные функции. Векторные стационарные случайные последовательности и процессы изучены достаточно подробно [1, 2]. Скалярные не-
РИ, 2007, № 1
положениях об элементах матриц, включая бесконечномерный случай, что позволяет использовать этот метод для решения уравнений Максвелла.
Практическая значимость: разработанный алгоритм блок-диагонализации матриц позволяет произвести вывод систем телеграфных уравнений, шороко используемых в электродинамике.
Литература: 1. Дикарев В. А. Асимптотические представления обобщенной системы телеграфных уравнений // Радиотехника и электроника АН СССР. 1974б Т. XIX,. № 11. С. 2349−2356. 2. Дикарев В. А. Волны в многопроводных системах с распределенными параметрами // Радиотехника и электроника АН СССР. 1974б Т. XX, № 12. С. 2618−2621. 3. Дикарев В. А., Кольцов В. П., Мельников А. Ф., Шкляров -Л. И. Вычислительные методы в задачах радиоэлектроники. К.: Вища школа, 1989. 303 с. 4. Sibuya J. Formal Solution of a Linear Ordinary Differential Equation on the n-th order at a Fuming Point // Ervas. 1962, № 4. Р. 115−139.
Поступила в редколлегию 12. 03. 2007
Рецензент: д-р техн. наук, проф. Кривуля Г. Ф.
Агапова Ирина Степановна, канд. техн. наук, ст. преподаватель кафедры ПМ ХНУРЭ. Научные интересы: математическая физика, теория вероятностей, случайные процессы. Адрес: Украина, 61 166, Харьков, пр. Ленина, 14, тел. 70−21−436.
Дикарев Вадим Анатолиевич, д-р физ. -мат. наук, проф. кафедры ПМ ХНУРЭ. Научные интересы: математическая физика, теория вероятностей, случайные процессы. Адрес: Украина, 61 166, Харьков, пр. Ленина, 14, тел. 7021−436.
Подгорбунский Никита Сергеевич, инженер-программист ДП ТОА «Украина». Научные интересы: теория вероятностей, случайные процессы. Адрес: Украина, 61 195, Харьков, ул. Метростроителей, 15, кв. 23, тел. 71 602−70.
стационарные случайные процессы и последовательности исследованы в [3−6].
Целью работ ы является изучение некоторых классов векторных нестационарных случайных функций.
Задача: введение функциональных и числовых характеристик, описывающих отклонения векторных случайных функций от стационарных, а также получение критериев принадлежности нестационарных векторных случайных функций тому или иному классу.
Рассмотрим некоторые классы нестационарных векторных случайных функций.
Пусть §(n) = (§ 1(n),§ 2(n),… ,?, k (n)), Щj (n) = 0, j = 1, k — случайная векторная последовательность (далее |(n)). Рассмотрим матрицу W (n, m) с элементами Wap (n, m) = Kap (n, m) — Kap (n +1, m +1), где Kap (n, m) — корреляционная матрица.
В дальнейшем матрицу Wap (n, m) будем называть матрицей корреляционных р азностей (МКР).
Векторную последовательность |(n) будем называеть квазистационарной, если ранги квадратичных форм
29

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой